东三省名校联盟2025届高三最后一卷联合模拟考试数学试题

东三省名校联盟2025届高三《最后一卷》联合模拟考试 数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把 正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 题号 1 3 4 5 6 8 答案 B C A A B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 题号 10 11 答案 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.513.2414.2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、过程证明或验算步骤 15.(1)证明：如图1，连接BD,交AC于点0，连接M0.… (1分) :四边形ABCD为菱形， .0为线段AC的中点 (2分) M为线段PD的中点， M0/∥PB.… (3分) ,PB丈平面ACM,MOC平面ACM,… (4分) .PB/平面ACM.… (5分) 图1 图2 (2)解：如图2，连接CE, 四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°， ∴.△ABC为正三角形 ·△PAB为正三角形，E为线段AB的中点， .PE⊥AB,CE⊥AB. 侧面PAB⊥底面ABCD 数学D1 .PE,BE,CE两两垂直。 (6分) 如图2，以E为原点，EB、EC、EP所在直线分别为xy:轴建立空间直角坐标系， PA=PB=AB=BC=2,∠PAB=∠ABC=60°， .EA=EB=1,PE=EC=3. 如图2，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F,则在Rt△AFD中，∠FAD=60°，AD=2, AF=1,DF=3. B0.004-10.0810.0.c05,0.-25,0.P005).-1.） m=10,-5).元=(0，).c=15.0-o） …(7分) 设m=(xy,)为平面PBC的法向量， m·PB=1-3:,=0, 则 …(8分) m…p元=3y,-3a=0, 令1=1，则x=3,y1=1, .m=(5,1,1)为平面PBC的一个法向量 (9分) 设n=(x2,2,2)为平面ACM的法向量， [n·AC=+5y2=0, 则 n·=5尽 (10分) F2+2=0, 令y2=1,则x2=-3,2=-1, n=(-√3,1，-1)为平面ACM的一个法向量，… (11分) -3+1+(-1) 3 ∴.C0s(m,m〉= …(12分） √3+1+Π·√3+1+I5 设平面PBC和平面ACM的夹角为0， 则血0个wm号 …(13分) 16.解：(1)由表得，=写(23+4+5+6)=4，含(-)2=41+0+1+4=10， …(2分) 由=写2(-列P=540,得2)-2700 (3分) 含（x-0(列 8(-)(刀 ,r= =0.98. 2()(0 √10×2700 2(x-)(y-）=098×10/27而≈161.014，… (4分) 6=-)(习)161.o1416 10 (5分) 含（属） (2)(i),回归直线=16.1x+5.6过样本中心点(x,),且x=4, 数学D2 =16.1x4+5.6=70,即45+55+70+m+110=70,解得m=70. …(7分) (i):这5个月中销量大于60的月份有3个， “每次抽取到销量大于60的月份的概率为 5 aXB3,） (8分) x=o=C(g'8P==c(-} px=2=c()引x=3=c ,…(12分) .X的分布列为 X 0 1 2 3 8 36 54 27 …(13分） 125 125 125 B0=01 2725*3x229 1x52 3X1255D(0=E()-[E(x)]2=1 25 …(15分】 17.(1)解：：301-6S。=n(n+1(n+2),① .当n≥2时，3(n-1)a.-6S.-,=(n-1)n(n+1),② ①-②，得na1-(n+1)an=n(n+1), (2分) 两边同时除以n(n+1),得：=1(n≥2). (3分) n+l n 当n=1时，3a2-6S,=3a2-6a1=1×2×3=6. a1=1, .32-6=6,解得2=4， (5分) 此时=1，也清足1， (6分) n+l n 六数列侣}是以片=1为首项，1为公差的等差数列， ✉8=1t(n-1）.1=n,即a.=n2. (8分) 11 (9分) (2)证明当n=1时，==l……(9分1 当n≥2时，1=1<111 'a.2n(n-1)n-1n …(12分) 女岁》信》s别 18.(1)解：当a=1时，f(x)=x2-2lnx,x∈(0，+∞)， f(x)=2x22(-_2(x-1Xx+1) …(1分) 数学D3 令)=0，即2-1Xx+D=0,解得，=1话=-1 x>0,x=1, 当0<x<1时，f'(x)<0,八x)单调递减； 当x>1时，∫(x)>0,八x)单调递增，…(3分) fx)的极小值点为x=1,极小值为f1)=12-21=1.…(4分) (2)解x)=￡-2h,E(0,+0). a f"(x)=2年2 ax 当a<0时，'(x)<0恒成立，∴f八x)在(0，+)上单调递减； (6分) 当a>0时，令(x)=0,即红2=0，解得=6， a x ∴当x∈(0，Na)时，∫'(x)<0,f(x)单调递减； 当x∈(a,+)时，∫(x)>0,f八x)单调递增…(9分) 综上所述，当a<0时，f八x)在(0，+)上单调递减； 当a>0时，(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+)上单调递增。…(10分) 证明方法一当a=心2时，八x)=之-2hx,te(0,中 由(2)知，八x)在(0，e)上单调递减，在(e,+x)上单调递增. e)=。-2ne=-1<0, .x1∈(0，e）,2∈(e,+∞）.… …(11分） 2e=2e°-2h(2e)=2-2h2>0,/s)=0, x2∈(e,2e）, (12分) 要证x,tx2>2e,只需证x,>2e-2 八x)在(0，e)上单调递减，且f(x,)=0, ∴只要证明f八2e-x2)>0即可. …(13分) 八x2)= h60 号=2e2lh名，…(14分） (2e-x2)2 .f八2e-x2)= -2ln(2e-x2) e2 4e2-4e,t6-2n(2e-) 4e2-4e,t2eln5-2l1n(2e-x)=4- e 4+2h-2h(2e-x,)4e(e,2e). 令g0=44+2hn1-2n(2e-0.1e(e,2）, …（15分)） 数学D4 六g'=-4,22-4e-)2 e7'2eea(2e-70, ,g(t)在(e,2e)上单调递增， .g(1)>g(e)=0,即f(2e-x2)>0, x1+x2>2… …(17分) 方法三当a=e2时八)=5-2n,e(0,+ fx)有两个零点x,x,(x,<x2), 六6)=)，闻2h号2咖 化简得2(lnx2nx)= 62, (12分) 两边同时除以(x,x,),得 (nx2lnx）+x1 x21 e2 2-1 2e2 六n2-lnxt 设h(x)=nx2(x-1) 老+1(（>】），44…(14分） 则'(x)=14=(-) 本(+)(x+1)>0, .h(x)在(1，+∞)上单调递增」 .h(x)>h(1)=0, In >2(-1) x+1, 2倍 …(16分） 化简得n气o>0>0分到， 2-t12+r 六n-n,2 2-￥1.2e2 n2lnx,xtx’ <空解得x+w>2.…（17分） 方法三当a=心2时，)-2n*e(0,+0小 f八x)有两个零点x1,x(x<x), -2n )=),即-2h,- 数学D5 则2nx2-2nx=。e …(12分) 令1=，则，=， ()2x 代人上式中，得2ln(tx,)-2nx,= 。2。,化简得， 2e In t W2-1 2e2In t x2= V2-1 2e'In t 2elnt =(t+1) 2e In t (1+1)2e1n1 (t+1)2e1nt ,x1+x2= 1 W2-1 ,…(14分)】 W2-1 2-1 2-1 t-1 要证x,标，>2e,只需证+)2cn4e,即证1n-2-》0 1-1 t+1 设w(t)=lnt 2(-1) /t1（>,…（16分） .w'(t)= 14(-1)2 1(+1)-70+1)>0, .w(t)在(1，+)上单调递增， ∴0(t)>w(1)=0, 2(t+1) ∴.lnt- 人10， 无1tx2>2犯 ……(17分) 19.解：(1)由题意得，直线1，过点A(2,0),设直线1，的斜率为k,显然k存在且不为0， 则直线l,的方程为y=k(x-√2)，即xy-√2k=0.…(1分) :直线1与圆0相切于点P, 10-0-5-1,解得k=1,… (2分) √+1 ·直线l,的方程为xy-√2=0或x+y-√2=0. (3分) (2)由题意得，直线1，和直线l2的斜率均存在且不为0. 设直线l2的方程为x=心y+m,即x-y-m=0(n≠0)， 1 则直线l的方程为x=一y+m,即x+y-mn=0.…(4分) 直线11与圆0相切， 1-mnl 1 =1,即n2= (5分) √m+1 m2-1 [x=ny+m, 联立{x2 +y=1, 得(n2+2)y2+2m四y+m2-2=0,…(6分) .△=4m2n2-4(n2+2Xm2-2)=8n2-8m2+16= 8 8m2+16>0,…(7分） m2-1 数学D6 n'345 即m-3m+1<0,解得3-5 44…4小…444小小4…444小小…4444…小4+小444小小44…4…。 2 2 (8分) m>1, 13m<5,即m的取值范图为，1 (9分) (3)设M(x1,y),N(x2,). 由(2)得，y1y2= 2mn n2+252 m2-2 …(10分） n2+2' MN1=+nI*)产-4a可=√1+nr) 2mn -4m-22w2 m2+2 n2+2n2+2 √1+nm2X-m+n+2). …(11分） ~圆心0(0,0)到直线，的距离d=I-m=1ml ,…(12分） √/1+m√1+n 5mw-装列 2则smw==万·+ 令1m …(14分) 2m,。 m2>0,n2+2>0, 六m2-(m2+2)=m2-1-2-m-3m+1 m2-1 m2-1 <0,…(15分) 01<l,…(16分） 当1=时，（5am)-号 …(17分)） 数学D7第 1 页(共 4 页) 第 2 页(共 4 页) 参考机密级管理★启用前 东三省名校联盟 2025 届高三《最后一卷》联合模拟考试 数　 学 (考试时间:120 分钟　 试卷满分:150 分) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上,并认真阅读答题卡上的 注意事项。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确 的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 A= {x︳x2 -3x≥0},B= { -2<x≤2},则(∁RA)∩B= (　 　 ) A. ( -2,0] B. (0,2] C. (0,3] D. (0,2) 2. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1 +a3 = 4,a2 +a4 = 8,则 S5 = (　 　 ) A. 93 5 B. 20 C. 124 5 D. 134 5 3. 已知 | a | = 2, | b | = 4 且(a+b)⊥a,则向量 a 与 b 的夹角是 (　 　 ) A. 2π 3 B. π 3 C. - π 3 D. -2π 3 4. 若 tan α- π 4( ) = 1 3 ,则 cos 2α= (　 　 ) A. - 3 5 B. - 1 3 C. 1 3 D. 3 5 5. 在△ABC 中,已知 AC= 5,AB= 3,BC= 7,AD 是 BC 边上的中线,则 AD= (　 　 ) A. 15 4 B. 　 19 2 C. 7 2 D. 15 7 6. 设 p 为任意给定的大于 1 的整数,每个正整数 n 均可以唯一地表示成 f(n,p) = akpk +ak-1pk -1 +…+ a1p+a0,ai∈{0,1,2,…,p-1} ( i = 0,1,2,…,k),我们将(akak-1…a1a0) p 称为 n 的 p 进制表示. 例 如:由 2 024 = 2×36 +2×35 +0×34 +2×33 +2×3+2 可知,2 024 的三进制表示为 2 024 = (2202222) 3 . 那 么,2 025 的二进制可表示为 (　 　 ) A. (11111101011) 2 B. (11111110001) 2 C. (11111101001) 2 D. (11111101101) 2 7. 已知正三棱锥有一个半径为 R 的内切球,则所有这样的正三棱锥中体积最小的一个的体积是 (　 　 ) A. 2　 3R3 B. 4　 3R3 C. 6　 3R3 D. 8　 3R3 8. 已知 a,b∈R,且 2a>2b>1,则 (　 　 ) A. ea-eb<ln a-ln b B. b a >ea-b C. sin a-sin b a-b <1 D. bln a<aln b 二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部 选对得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分. 9. 2024 年奥运会在法国巴黎举行,中国代表团获得了 40 枚金牌,27 枚银牌,24 枚铜牌,共 91 枚奖牌,取得 了境外举办奥运会的最好成绩,运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的 了解,弘扬奥运精神,某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛,学生得分在[35,95]之间,满分 100 分,现随机调查了 200 位该校学生的成绩,得到样本数据的频率分布直方图如下,则 (　 　 ) A. 图中 x 的值为 0. 029 B. 参赛学生分数位于区间[45,75)的概率约为 0. 85 C. 样本数据的 75%分位数约为 79 D. 参赛学生的平均分数约为 69. 4 10. 已知 f(x)= sin 2x- π 6( ) ,则下列说法正确的是 (　 　 ) A. f(x)在区间 kπ- π 6 ,kπ+ π 3 é ë ê ê ù û ú ú (k∈Z)上单调递增 B. 将函数 f(x)的图象向左平移π 6 个单位长度后得到曲线 C,则曲线 C 关于原点对称 C. 若 f(x+φ)是偶函数,则 φ= kπ 2 + π 3 (k∈Z) D. 若 f(ωx)(ω>0)在区间[0,π]上恰有 3 个零点,则 ω∈ 13 12 , 19 12 é ë ê ê ) 11. 定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足 g(x+1) -f(2-x)= 2,f ′(x)= g′(x-1),且 g(x+2)为奇函数,则 下列结论正确的是 (　 　 ) A. 函数 g(x)关于点(2,0)对称 B. 函数 f ′(x)关于直线 x= 2 对称 C. 函数 f(x)的周期为 4 D. ∑ 2 025 k= 1 g(k)= 0 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 已知双曲线x 2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 y= 2x,则该双曲线的离心率为　 　 　 　 . 13. 把除颜色外完全相同的 5 个红球和 3 个白球排成一行,则恰有 3 个红球相邻在一起的不同排法种 数为　 　 　 　 . (用数字作答) 14. 已知 a,b 为正数,且满足 a3 +b3 = 2,则 1 a + 1 b 的最小值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第 3 页(共 4 页) 第 4 页(共 4 页) 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、过程证明或验算步骤. 15. (13 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC = 60°,△PAB 为正三角 形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD,E,M 分别为线段 AB,PD 的中点. (1)求证:PB∥平面 ACM. (2)求平面 PBC 和平面 ACM 夹角的正弦值. 16. (15 分)2025 年春晚舞台上,机器人扭秧歌表演成为一大亮点. 参与表演的机器人 Unitree A1 由 中国某科技企业制造,其具备出色的负载能力和环境适应能力,可应用于巡检与监控、物流运输、 安防与救援等场景. 现统计出机器人 Unitree A1 在某地区 2024 年 2 月至 6 月的销售量,数据如 下表: 月份 x 2 3 4 5 6 销售量 y 45 55 m 70 110 用最小二乘法得到 Unitree A1 的销售量 y 关于月份 x 的回归直线方程为 ŷ = b̂x+5. 6,且相关系数 r= 0. 98,销售量 y 的方差 s2y = 540. (1)求 b̂ 的值(结果精确到 0. 1); (2)(ⅰ)求 m 的值; (ⅱ)现从这 5 个月份中随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 个月份,设抽取到销售量大于 60 的月份次数为 X,求 X 的分布列和方差. 附: 回归系数 b̂= ∑ n i= 1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i= 1 (xi-x)2 ,相关系数 r= ∑ n i= 1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i= 1 (xi-x)2∑ n i= 1 (yi-y)2 , 54 ≈7. 35, 270 ≈16. 43. 17. (15 分)已知数列{an}的首项为 1,其前 n 项和为 Sn,且满足 3nan+1 -6Sn =n(n+1)(n+2) . (1)求数列{an}的通项公式. (2)证明: 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 +…+ 1 an <2. 18. (17 分)已知函数 f(x)= x 2 a -2ln x(a∈R 且 a≠0) . (1)当 a= 1 时,求 f(x)的极小值点与极小值. (2)讨论函数 f(x)的单调性. (3)若函数 f(x)有两个零点 x1,x2(x1 <x2),且 a= e2,证明:x1 +x2 >2e. 19. (17 分)如图,椭圆 C:x 2 2 +y2 = 1 和圆 O:x2 +y2 = 1,过点 A(m,0)(m>1)作两条相互垂直的直线 l1, l2,其中 l1 与圆 O 相切于点 P,l2 与椭圆相交于不同的两点 M,N. (1)若 m= 2 ,求直线 l1 的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求△OMN 面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋