精品解析：天津市第一百中学、咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中联考 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题(共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 2. 已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则作出原图，求出各个边长即可求解. 【详解】根据斜二测画法的规则作出原图如图： 由直观图中， 可得中，，， 因为，则， 又底边，所以的周长为. 故选：D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 4. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据及可构建方程组，解得. 【详解】∵，∴ ①， ②， 由①②解得，∴ ， 故选：A. 5. 已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用边化角，再由两角和的正弦公式即可求解判断. 【详解】由正弦定理边化角得， 在三角形中，只能取，所以的形状是等腰三角形， 故选：A. 6. 设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④且，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用线面平行的性质定理可判断③，利用面面垂直的性质定理可判断④. 【详解】对于①，由于，，所以或或且， 则有或或且，故①正确； 对于②，由于，只有一条线线垂直，不能确定或，故②错误； 对于③，由，则在内必存在直线，且 又由，则在内必存在直线，且，根据平行的传递性有， 由于，，则，又因为， 所以，又因为，所以，故③正确； 对于④， 由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 同理由，设，可在平面作， 根据面面垂直性质定理可得：，又因为，所以， 因为，由图可知相交，且，所以有，故④正确； 故选：D. 7. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直关系得出，再利用向量的投影的概念即得. 【详解】因为，， ， 解得， ， ，， ， 在上投影向量为： 故选：C. 8. 已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过折至面面垂直，再利用线线平行去转化异面直线所成角的平面角，再进行求解； 【详解】 取中点为，因为为中点，所以， 即为异面直线和所成角或其补角， 设到平面的距离为，则， 因为当平面平面时，取得最大值， 所以当平面平面时，以四点为顶点的三棱锥体积最大， 又因为正方形边长为，所以，，且， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，即， 故异面直线和所成角的正切值为， 故选：A. 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（ ） A. 312 B. 304 C. 192 D. 184 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线面角的定义求得，从而依次求，，，，再利用三棱柱体积公式和四棱锥体积公式即可得解． 【详解】 如图，过作平面，垂足为，过分别作，，垂足分别为，，连接，， 因平面，平面，所以， 因为，，平面，， 所以平面，因为平面，所以， 同理，， 则可知等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以． 又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 即，所以， 所以该五面体体积为 故选：D. 二、填空题(共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上) 10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法即可求解. 【详解】由 故答案为：. 11. 已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆锥的表面积公式和体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则由侧面积公式得， 再由勾股定理得：， 所以圆锥体积为：. 故答案为：. 12. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积定义计算可得，再根据两向量与的夹角为钝角可得其数量积小于零，且它们不反向，解不等式即可求得结果. 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 13. 在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将把和用来表示，由题意可知,进而利用平面向量的数量积即可求解. 【详解】 因为，由余弦定理知： ， 所以. 设， 因为分别为的中点， 所以. 因为， 所以， . 又，. 所以. 故答案为： 14. 已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 15. 在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三点共线先求参数，然后再利用余弦定理找到相等关系，再用向量的线性运算和数量积运算，再结合基本不等式求最值. 【详解】 因为点D为的中点，所以有， 即，又因为点 E 为上一点， 所以， 由， 所以 设三角形中角所对的边分别是，又因为 所以由余弦定理得：， 而， 又因为， 所以， 取等号条件是. 三.解答题：本大题6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为， （1）求角的值; （2）若的面积，且，求； （3）求 的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由正余弦的二倍角公式，及两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理边化角可得：, 由两角和的正弦展开化简可得：， 又为三角形内角，， 所以，又为三角形内角， 所以 ， 【小问2详解】 由，， ， 所以， ， 所以 【小问3详解】 由，可得， 所以， 由（1）， 所以 17. 如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，根据线面平行判定定理即可证明； （2）根据面面垂直判定定理即可证明； （3）利用空间向量法来求线面角即可. 【小问1详解】 取中点为，连接， 在中，为中点，为的中点， 所以且， 在四棱柱 中，，为的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为 所以由余弦定理得， 此时有，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 【小问3详解】 如图建系，由， 可知：， 则 可得， 由于平面的法向量可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设，则， 所以 故直线与平面所成角的正切值为. 18. 在 中，角所对的边分别为向量且满足 （1）求角A的值; （2）角A的平分线交边与点D，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算，再利用二倍角公式，通过三角恒等变形即可求出角A （2）利用余弦定理，等面积法求角平分线长，然后把线段之比转化为一个二次型函数求最小值即可. 【小问1详解】 由可得，， ， 【小问2详解】 由余弦定理得， 由等面积法得：， 代入得， 所以 ， 因为，所以， 当且仅当时取等号. 故的最小值为 19. 已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 （1）求证: 平面 （2）求点A到平面的距离. （3）求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，最后可证明线面垂直； （2）利用等体积法可求点到面的距离； （3）作出二面角的平面角，再利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，由平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，所以 又因为是中点，所以， 则，， 由等体积法可得点A到平面的距离满足： ； 【小问3详解】 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 即，又由于， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以,即， 所以， 平面与平面所成锐二面角正弦值为. 20. 在锐角 中，点O为 的外心. （1）若求的值； （2）若求的值； （3）若 求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用垂径定理，把向量的数量积转化为投影向量的数量积即可求解； (2)利用正弦定理可求外接圆半径，再利用圆心角性质，即可求模长； (3)利用向量的数量积运算，得到关于的方程求解并表示，最后转化到基本不等式求最值. 【小问1详解】 作根据圆的性质可得分别为的中点， 则， 【小问2详解】 由正弦定理可知，设外接圆半径为，则有， 所以，根据圆心角性质又可知， 则有. 【小问3详解】 设三角形中角所对的边为， 则由可得 化简得：， 还可得：， 化简得：， 联立解得：，， 所以，当且仅当时,等号成立， 此时的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中联考 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题(共9题，每题5分，满分45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. -3 D. 3 2. 已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中 ，那么的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知的三个内角所对应的边分别为,若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④且，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 7. 已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 已知边长为2的正方形，将沿对角线AC折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，若E为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A B. C. D. 2 9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形，底面ABCD为矩形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为 ，则该五面体的体积为（ ） A. 312 B. 304 C. 192 D. 184 二、填空题(共6题，每题5分，满分30分，将答案填写在答案卡上) 10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________. 11. 已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为__________. 12. 已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 13. 在中，分别为的中点，与相交于点 .若，则__________________. 14. 已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________. 15. 在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________. 三.解答题：本大题6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为， （1）求角的值; （2）若面积，且，求； （3）求 的值. 17. 如图，四棱柱 中，平面底面是平行四边形，侧棱，分别是 和的中点. （1）求证:平面; （2）求证: 平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值. 18. 在 中，角所对的边分别为向量且满足 （1）求角A值; （2）角A的平分线交边与点D，求 的最小值. 19. 已知在四棱锥 中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 （1）求证: 平面 （2）求点A到平面的距离. （3）求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 20. 在锐角 中，点O为 的外心. （1）若求的值； （2）若求的值； （3）若 求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$