精品解析：辽宁省沈阳市重点高中联合体2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷

2024~2025学年度（下）联合体高二期中检测 数学试卷 全卷满分150分，考试时间150分钟． 命题：沈阳市第二十七中学 栾德权 审题：沈阳市第二十八中学 胡英 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 17 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由等比中心即可求解. 【详解】因为，又等比数列中奇数项同号， 所以． 故选：D 2. 甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立重复试验概率计算公式即可求解. 【详解】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜， 记“甲以“”获胜”， 因为各局比赛的结果相互独立， 所以． 故选：B 3. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 4. 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示，关于的回归直线方程是，预测该人工智能公司第8年的利润是多少亿元（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，求得，，再结合线性回归方程一定经过样本中心点，可求得，进而得到关于的回归直线方程，将代入即可. 【详解】由题意，，， 所以， 所以关于的回归直线方程为， 当时，． 故选：B. 5. 设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设样本空间含有个样本点，根据已知求出，结合独立事件的概率公式列出方程，求解得出，即可得出答案. 【详解】设样本空间含有个样本点， 由已知可得，， 所以，. 因为事件A与事件相互独立， 所以， 即，解得． 故选：B. 6. 袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】求出X的可能取值和对应的概率，利用期望公式求出，进而求出. 【详解】X的可能取值为0,1,2,3， ，，， ， 则， 所以． 故选：C 7. 设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得答案. 【详解】令，可得.则． 故选：A 8. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中．．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B. 若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C. 若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D. 若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确； 对于C，应把改为，C错误； 对于D，当公比为时，，D错误， 故选ACD． 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时，最大 C. 使的n的最大值为13 D. 数列中的最小项为第8项 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，由题可得，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误；对于D，由AB分析可知当或时，时，，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB，由题意，又，所以，从而，则，故为递减数列，从第8项开始，， 则时，最大，所以A错误，B正确； 对于C ,，所以使的的最大值为14，C错误； 对于D，由ABC分析可知，当或时，时， 当时，，又，，所以时，最小，D正确. 故选：BD． 11. 某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 事件“”与事件“”是互斥的 B. 甲同学不得0分的概率 C. D. 在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合事件的关系即可判断A；计算甲同学的概率分布，即可得甲同学不得0分的概率，从而判断B；分别求解甲乙丙三为同学的概率分布，计算期望，比较大小即可判断C；记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”，利用条件概率公式求解即可判断D. 【详解】不能同时等于2，即两事件不能同时发生，所以A正确； ，，， ， 所以，，，所以B正确； ，；，所以； ，，，所以，故C错误； 记事件“三名同学的得分和”，“他们中有且仅有一人得0分”， 事件A发生时仅可能有三个选项正确，则， ， 则，故D错误. 故选：AB． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量X服从正态分布，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】由对称性可得：． 故答案为： 13. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______． 1 2 3 … 50 … 【答案】##0.28 【解析】 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为： 14. 已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】由递推公式得到，可解决第一空，进而得到，结合其单调性可解决第二空. 【详解】是定值， 所以数列是等差数列， 则， 所以； 又，则，， 当时递减，都大于2；当时递增，都小于2， 数列的最大项，最小项，所以． 故答案为：，8 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【小问1详解】 由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 【小问2详解】 16. 电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示（单位：人）． 收看综艺节目 收看新闻节目 20~40岁 45 10 40岁及以上 30 15 （1）从表中数据分析，是否有95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关． （2）现从所抽取的40岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取3人做访谈，求选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目的概率． （3）将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取20人，记其中收看新闻节目的观众数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.811 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算卡方的值后结合临界值表可得判断； （2）根据古典概型结合组合计数可得概率； （3）由可求期望和方差. 【小问1详解】 所以没有的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关. 【小问2详解】 由题意，抽取的这9人中有6人在这一时段收看综艺节目，有3人收看新闻节目 记事件“选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目”， 则 【小问3详解】 由题意，随机变量，所以， . 17. 设是数列的前n项和，若，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得，则，然后由单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，，两式相减可得： . 中令，得，注意到 符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列． 所以 【小问2详解】 ，相减得 所以，则 从而恒成立．即 令， 则当为奇数时，随着n增大而减小，当为偶数时，随着n增大而增大， 又注意到，则 所以，从而 18. 设数列满足，；正项数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列、的通项公式； （3）设是数列的前n项和，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证； （2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解； （3）通过裂项相消法求和，进而可求证. 【小问1详解】 证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 【小问2详解】 由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 【小问3详解】 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 19. 甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． （1）求乙每局取胜的概率； （2）求第i次与软件对决的大师是甲的概率； （3）现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 【答案】（1） （2） （3）①答案见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题意由全概率公式计算即可； （2）由题意可得，化简整理根据等比数列通项公式计算求解即可； （3）①根据题意求出甲获胜的概率，列出的可能取值，计算对于概率即可得到分步列，②根据题意列式计算即可. 【小问1详解】 设事件“第2局与软件对决的大师是乙”， 则，解得； 【小问2详解】 由题意， 整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以； 【小问3详解】 由（2）可知，当充分大时，的极限值为，所以甲每局获胜的概率为，则乙每局获胜的概率为； ①的取值范围是， ， ， ， 所以的分布列为 2 4 5 ②事件“甲赢得比赛”，则， 解得，即甲赢得比赛的概率是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度（下）联合体高二期中检测 数学试卷 全卷满分150分，考试时间150分钟． 命题：沈阳市第二十七中学 栾德权 审题：沈阳市第二十八中学 胡英 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 17 B. C. D. 8 2. 甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示，关于的回归直线方程是，预测该人工智能公司第8年的利润是多少亿元（ ） 第年 1 2 3 4 5 6 7 利润/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5 5. 设事件，事件，已知事件A与事件B相互独立，则样本空间可能是下列哪个选项（ ） A. B. C. D. 6. 袋中有大小、形状完全相同的8个白球、4个黑球，现从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，若每次抽取后都不放回，设取到白球的个数是X，且，则Y的数学期望（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 7. 设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中．．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B. 若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C. 若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D. 若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 10. 设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 时，最大 C. 使的n的最大值为13 D. 数列中的最小项为第8项 11. 某次数学考试的最后一道多选题共有4个选项，正确答案为2项或3项，满分6分，评分标准是，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确答案为2项，仅选对1项得3分；若正确答案为3项，仅选对1项得2分，仅选对2项得4分），有错选或不选则得0分．已知最后这道多选题正确答案是3项的概率是2项的2倍．学生甲、乙、丙三名同学对这道题完全没有思路，只能靠猜，已知甲同学猜一个选项与猜两个选项的概率各为，乙同学决定猜一个选项，丙同学决定猜两个选项，设甲、乙、丙三名同学的得分分别为X、Y、Z，其得分的期望分别为，则下列说法正确的有（ ） A. 事件“”与事件“”是互斥的 B. 甲同学不得0分的概率 C. D. 在三名同学的得分和的条件下，他们中有且仅有一人得0分的概率是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若随机变量X服从正态分布，且，则______． 13. 已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则______． 1 2 3 … 50 … 14. 已知数列中，，，数列满足：，则______；若、分别是数列的最大项与最小项，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 电视台对某时段收看综艺节目和新闻节目的观众进行抽样调查，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示（单位：人）． 收看综艺节目 收看新闻节目 20~40岁 45 10 40岁及以上 30 15 （1）从表中数据分析，是否有95%的把握认为在这一时段观众选择收看综艺节目还是新闻节目与年龄有关． （2）现从所抽取的40岁及以上的电视观众中利用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取3人做访谈，求选取的3人中至少有2人在这一时段收看综艺节目的概率． （3）将频率视为概率，从我市所有在这一时段收看综艺节目和新闻节目的观众中随机抽取20人，记其中收看新闻节目的观众数为X，求随机变量X的数学期望和方差． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.811 6.635 7.879 10.828 17. 设是数列的前n项和，若，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 18. 设数列满足，；正项数列满足，． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列、的通项公式； （3）设是数列的前n项和，证明：． 19. 甲、乙两名象棋大师与同一款象棋软件进行对决，规则如下：由抽签确定第1局与软件对决的人选，第1局与软件对决的人是甲、乙的概率各为，若前一局大师取胜，则下一局换另一位大师与软件对决；若前一局大师未取胜，则此人继续与软件对决．无论之前对决结果如何，甲每局取胜的概率均为，乙每局取胜的概率均为，已知第2局与软件对决的大师是乙的概率是． （1）求乙每局取胜的概率； （2）求第i次与软件对决的大师是甲的概率； （3）现甲、乙进行比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．若每局比赛中，可视甲取胜的概率为（2）中充分大时，的极限值． ①若比赛最多进行局，求比赛结束时比赛局数的分布列； ②若比赛不限局数，求甲赢得比赛的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $