精品解析：辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

2023—2024学年度（下）联合体高二期中检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 审题人：沈阳市第二十四中学 倪寅栋 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 2. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 75 3. 某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.2 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 25 7. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 8. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 回归直线方程中，当解释变量每增大一个单位时，预报变量增大0.4个单位 C. 若数据的方差为2，则数据的方差为18 D. 对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立 10. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 11. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，则出口处通水的概率为_____________. 13. 王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 21 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年收入与支出满足线性相关关系，则的值为_____________，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为_____________万元. 14. 已知数列前项和为，，，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 16. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对该种APP有需求 对该种APP无需求 其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为. （1）求，的值. （2）在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 18. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度（下）联合体高二期中检测 数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 审题人：沈阳市第二十四中学 倪寅栋 注意事项： 1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效. 4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 某气象台天气预报准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 2. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ） A. 30 B. 35 C. 40 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和性质列式运算即可得解. 【详解】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得. 故选：B. 3. 某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正态分布的对称性得到，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 故选：A. 5. 随机变量的分布列如下（为常数）： 0 1 2 0.3 则（ ） A. 0.6 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：C 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 7. 设随机变量，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】随机变量，由，得，解得， ，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：C 8. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（ ） A. 1420 B. 1480 C. 1520 D. 1580 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 在回归直线方程中，当解释变量每增大一个单位时，预报变量增大0.4个单位 C. 若数据的方差为2，则数据的方差为18 D. 对于随机事件与，，，若，则事件与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相关系数的意义判断A；利用回归直线的意义判断B；利用方差的性质计算判断C；利用相互独立事件的意义判断D. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越接近于1，数据的相关性越强， 由，得组数据比组数据的相关性强，A错误； 对于B，中，当解释变量每增大一个单位时，预报变量增大0.4个单位，B正确； 对于C，数据的方差为，C正确； 对于B，，因此，事件与相互独立，D正确. 故选：BCD. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有无数张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与不互斥 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由互斥事件定义结合题意即可判断；对于B，依题意先求出、和再结合条件概率公式即可得解；对于C，根据概率性质公式即可得解；对于D，根据概率性质公式即可得解. 【详解】对于A，因为事件与事件可能同时发生，所以事件与不互斥，故A正确； 对于B，甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张，每种卡片至少有一人选择的选法共有种， 其中甲选择卡片A选法有种，故， 乙选择卡片选法有种，故， 甲选择卡片A且乙选择卡片选法有种，故, 所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 当且仅当时，取得最大值 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式及前项和，再逐项分析、计算即得. 【详解】等差数列中，，解得，，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，，因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D错误. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，则出口处通水的概率为_____________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，令水闸打开的事件分别为事件，则，且相互独立， 所以出口处通水的概率. 故答案为： 13. 王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 2.1 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年的收入与支出满足线性相关关系，则的值为_____________，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为_____________万元. 【答案】 ①. ②. 4.175 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求解；然后在线性回归方程中取求得值即可．． 【详解】由图表可知，，， 则样本点的中心为， 代入，得． 收入与支出满足线性回归方程为． 取，可得，则． 预计2024年的支出为4.175万元． 故答案为：；4.175． 14. 已知数列的前项和为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列求和公式，利用分组求和即可求解. 【详解】根据题意，可得，，…，， 所以 . 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的定义证明即可； （2）运用累加法求出数列的通项公式. 【小问1详解】 因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 16. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对该种APP有需求 对该种APP无需求 其中的数据为统计的人数，已知本次被调研的青年人数为. （1）求，的值. （2）在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，是否与是青年人还是中老年人有关？ 参考公式：，其中. 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解出的值； （2）根据（1）得出列联表，再求得，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得. 【小问2详解】 由（1）知青年人和中老年人对APP是否有需求的列联表为 青年人 中老年人 合计 对该种APP有需求 对该种APP无需求 合计 所以， 故在犯错误的概率不超过的前提下，对该种APP的需求，与是青年人还是中老年人有关. 17. 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 18. 某地一家新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测达标后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，测试为优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中测试结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为. （1）求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一项为合格的概率； （2）求离散型随机变量的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为． 【解析】 【分析】（1）设出事件，结合独立事件概率公式和对立事件及互斥事件概率公式求出概率值； （2）根据互斥和独立事件概率求出分布列，进一步求出期望值. 【小问1详解】 记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分，3，”， 则，，； 记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分，3，”， 则，，； 事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”， 则（C）， 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为． 【小问2详解】 由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，，，，，， 则离散型随机变量的分布列为 2 4 6 8 10 所以数学期望． 19. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质P，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质P； （3）设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析 （3）且 【解析】 【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案； （2）由题意结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据求和公式求得数列通项公式，结合等比数列的定义，可得数列的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. 【小问2详解】 证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. 【小问3详解】 设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$