精品解析：辽宁省重点高中2024-2025学年高三下学期第三次联盟考试数学试卷

辽宁省重点高中2024-2025学年度高三下学期第三次联盟考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 有一组样本数据，则（ ） A. 这组样本数据的极差不小于4 B. 这组样本数据的平均数不小于4 C. 这组样本数据的中位数不小于3 D. 这组样本数据的众数等于3 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最大值为 C. 数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D. 数列前项和为，最大 10. 用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角梯形 C. 有一个内角为的菱形 D. 正五边形 11. 曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于坐标轴对称 B. 点P到原点距离的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 点P到y轴距离的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为__________. 13. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 14. 已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求和：. 16. 已知的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）求的面积. 17. 已知椭圆左右焦点分别为，点为椭圆上一点，满足，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆交于两点，点坐标为，若，求椭圆的方程. 18. 如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面. （1）求三棱柱的体积. （2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长． 19. 已知函数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中2024-2025学年度高三下学期第三次联盟考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】由可得：，所以， 由可得：，所以， 故，所以. 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例和可得出. 【详解】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 有一组样本数据，则（ ） A. 这组样本数据的极差不小于4 B. 这组样本数据的平均数不小于4 C. 这组样本数据的中位数不小于3 D. 这组样本数据的众数等于3 【答案】A 【解析】 【分析】根据极差、平均数、中位数和众数的概念判断即可. 【详解】样本数据中， 对于A，显然这组样本数据的极差大于等于，故A正确； 对于B，若，则平均数为，故B错误； 对于C，若，则中位数为，故C错误； 对于D，若，则众数为，故D错误. 故选：A 4. 已知向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式可得，即可根据夹角公式求解. 【详解】由可得， 故，结合故， ，故， 故选：B 5. 某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种. “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”. 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种. 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 由条件概率公式，将，代入可得： . 故选：B. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以，则． 又是偶函数，所以，所以． 故选：C. 7. 已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、， 外接圆半径分别为、， 三棱锥外接球球心为，半径，中点为， 由球的性质知平面，平面，，， ∵为中点，∴，， ∵面面，∴， 即四边形为矩形，∴，， ∴，， 解得，，， 由正弦定理，， ， 故选：C. 8. 若是函数的极大值点，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是的变号零点，则可求出并通分化简后得到，再检验时，是否为函数的极大值点即可得. 【详解】 ， 由，则，， 故恒成立，令， 由是函数的极大值点， 故，解得， 当时，， 则，，即且， ， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在、上单调递减， 故是函数的极大值点，符合要求. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最大值为 C. 数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同 D. 数列前项和为，最大 【答案】AD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项；令，分析可知，，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则为递增数列，所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由可得，合乎题意，A对； 对于B选项，由A选项可知，，，， ， 所以，当时，的最大值为，B错； 对于C选项，，则， 所以， 所以数列为等差数列，且其首项为，公差为，C错； 对于D选项，由得，由得， 由得，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 所以数列前项和为，最大，D对. 故选：AD. 10. 用一个平面截正方体，所得的截面不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角梯形 C. 有一个内角为的菱形 D. 正五边形 【答案】BCD 【解析】 【分析】 通过截面与正方体的几个面相交得截面的形状，并确定是否可能为特殊的多边形． 【详解】用一个平面截正方体，只截正方体三个面，得锐角三角形， 截四个面得四边形，四边形可以是矩形，正方形， 可以是菱形，如图中，但内角不是，图中菱形锐角内角的余弦值为， 可以是梯形，如图中，但不可能是直角梯形， 截六个面得六边形，如果过一个顶点截面可为五边形（也可不过顶点），但不会是正五边形． 故选：BCD． 11. 曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于坐标轴对称 B. 点P到原点距离的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 点P到y轴距离的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A：根据条件得到关于的方程，然后以替换替换，根据方程的变化进行判断； B：先表示出，结合的坐标表示，得到与的关系，从而求解出点P到原点距离的最大值； C：利用基本不等式求解出周长的最小值再进行判断； D：根据条件先求解出面积的最大值，然后通过等面积法求解出点P到y轴距离的最大值. 【详解】由题意，曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，设， 可得，即， 以替换替换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，故A正确； 由，又， 所以且， 所以，则， 当同向时取等，故，故B正确， 设，得到， 则，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为，故C错误； 过点作，如下图所示： 则， 当且仅当时等号成立， 显然当时，取得最大值，所以的最大面积为， 又由，解得，即点到轴的最大距离为，故D错误； 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查曲线方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性、基本不等式求最值等问题，难度较大.判断曲线的对称性时，由曲线的方程入手：若以代换，曲线的方程不变，则曲线关于轴对称；若以代换，曲线的方程不变，则曲线关于轴对称；若以代换，曲线的方程不变，则曲线关于对称. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明双曲线的图象关于和对称，进而得出将图象顺时针旋转即可得出焦点在轴上的双曲线，再利用渐近线垂直的关系得出即可求出渐近线. 【详解】若双曲线上任意点，则， 则点，也满足方程， 故双曲线的图象关于和对称， 则将图象顺时针旋转即可得出焦点在轴上的双曲线， 即旋转过后的方程为，两条渐近线方程为， 因双曲线的两条渐近线方程为、，且两条渐近线相互垂直， 且旋转前后渐近线的垂直关系保持不变， 则和垂直，即，得， 则双曲线的离心率为. 故答案为：. 13. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示： 则，解得，即， 故答案为：. 14. 已知数列通项公式，若数列是递减数列，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先构造函数，对函数求导，对的范围进行讨论，转化为比较数列两项之间的大小，从而求得结果. 【详解】构造函数， 则， 由，得， 当时，只需， 即，得，即， 当时，只需，即，即， 综上，实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考场的是有关数列与导数的综合题，在解题的过程中，根据数列单调减，构造函数，研究函数的单调性，正确解题的关键是需要明确利用函数研究数列的性质的时候，注意函数定义域为正整数集，再者就是不需要其在上单调减，还有需要考虑特定项的大小比较. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求和：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得，当时，用替换已知式中的得另一等式，两式相减可求得； （2）根据错位相减法计算即可求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 所以，即， 经检验，当时不满足上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 令，由（1）可得 ， ， 两式相减得， 即， 化简得. 16. 已知的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）求的面积. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先对用十字相乘法因式分解，因边长非负得.再用正弦定理，由值求出.根据范围确定是锐角，结合值和三角函数平方关系，分为锐角、钝角求出. （2）由是锐角和值，用三角函数平方关系求.分为正、负两种情况，用两角和公式求.最后用三角形面积公式，结合已知边和值求出面积. 【小问1详解】 对进行因式分解得到， 由于边长为非负数，则，即. 由正弦定理得到. 又，且,则为锐角，可以锐角也可以钝角. 当可以锐角，则. 当可以钝角，则. 综上说得，. 【小问2详解】 由（1）知道为锐角，则， 当，则，，则，此时 当，则，，则，此时. 则的面积为或. 17. 已知椭圆左右焦点分别为，点为椭圆上一点，满足，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）已知直线与椭圆交于两点，点坐标为，若，求椭圆的方程. 【答案】（1）； （2）或j或. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义和求得，再根据的面积为求解； （2）椭圆方程与直线联立，由韦达定理得到，再根据，分和求解. 【详解】（1）由椭圆定义可得，① 又，所以，② ①和②可得，所以的面积为，所以，即， 所以椭圆的离心率为； （2）椭圆方程可化为，与联立可得： ，由可得， 设，所以，③ 又直线过点，且，，. （i）当时，即时，则，可得， 则，可得， 所以椭圆的方程为； （ii）当，即时，则，则， 可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定、的值，结合焦点位置可写出椭圆方程； ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出、；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为． 18. 如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面. （1）求三棱柱的体积. （2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）在平面内过作与交于点，推导出平面，利用，解得，由此能求出三棱柱的高，从而可得结果；（2）先利用余弦定理与等腰三角形的性质证明，以为坐标原点，以分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， ，利用向量垂直数量积为零，求得平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）如图，在平面内过作与交于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，所以为与平面所成角， 由公式，解得， 所以，， 又的面积为，所以三棱柱的体积为. （2）由（1）得在中，为中点，连接， 由余弦定理得，解得， 所以，（或者利用余弦定理求） 以为坐标原点，以分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以 设 ，设平面的法向量为， 则，即，不妨令，则，即. ， 又因为与平面所成角的余弦值为， 所以， 解得或， 又因为，所以. 【点睛】本题主要考查柱体的体积公式以及空间向量的应用，属于中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 已知函数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1）时，在上单调递增，在单调递减；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】(1) 求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数的增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2) 曲线在点处的切线方程和联立可得：，设,通过讨论的范围，求出函数的单调区间，判断函数的零点个数，确定的范围即可. 【详解】（1），设 ①当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ② 当时，(当且仅当时)，所以在上单调递增； ③ 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； ④当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减. （2）曲线在点处的切线方程为，切线方程和联立可得：，现讨论该方程根的个数： 设， 所以. ，设，则. ①当时，，所以在上单调递减， 又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以只有唯一的零点，由的任意性，所以不符合题意； ② 当时，在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上小于或等于零，且有唯一的零点. 函数开口向上，若其判别式不大于零， 则对任意，有；若其判别式大于零，设其右侧的零点为，则对任意的，有，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一； 当时，可得，所以在上单调递增，所以其只有唯一的零点； 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上大于或等于零，且有唯一的零点. 函数在区间上一定存在最大值，设为，若，则在上小于零.若，当时，，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一. 综上，当 时，曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点. 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $