精品解析：2025年福建省福州初中毕业班适应性检测数学试卷

2024－2025学年第二学期福州市九年级质量抽测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表是几种气体在1标准大气压下的沸点（保留整数）： 气体 氮气 氧气 氦气 二氧化碳 沸点 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氮气 B. 氧气 C. 氦气 D. 二氧化碳 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较．根据“两个负数比较，绝对值越大反而小”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴沸点最低的气体是氦气． 故选：C． 2. 用代数式表示“比的倍小”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式．的倍是，而小，则在此基础上减即可． 【详解】解：用代数式表示“比的倍小”是， 故选：A． 3. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用数轴表示不等式的解集，大于向右，小于向左，带等号是实心圈，不带等号是空心圈．根据数轴表示不等式解集的方法判断即可． 【详解】解：不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示为 ， 故选：D． 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 5. 下列几何体的主视图可以是圆的是（ ） A. 正方体 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正面、上面、左面看所得到的图形．根据主视图是从正面看，分别进行判断即可． 【详解】解：正方体、五棱锥、六棱柱的主视图不可能是圆， 只有圆柱的主视图可能是圆， 故选：D． 6. 一次函数图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据、的取值判断图象经过的象限即可． 【详解】解：一次函数中，， 函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．按合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则逐个计算得结论． 【详解】A、不同类项不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算正确，符合题意； D、，故选项D计算错误，不符合题意． 故选． 8. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，函数y随x的增大而减小， ∵点，为该函数图象上两点，， ∴， 故选：A． 9. 如图，已知圆心角为的扇形的面积为，为上一点，D，E分别为，上的点，连接，，．若四边形为矩形，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及矩形的性质，熟知矩形的性质及扇形的面积公式是解题的关键； 根据扇形的面积公式求出半径长，再结合矩形的性质，得出，即可解决问题． 【详解】解：连接， 因为圆心角为的扇形的面积为， 所以， 则． 因为四边形是矩形， 所以． 故选：C． 10. 已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组、整式的加减的应用，由题意可得，，，结合，求出，从而即可得出，，计算出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线上有三点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 四边形外角和的度数是______． 【答案】##360度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为，据此可得答案． 【详解】解：四边形外角和的度数是， 故答案为：． 12. 写出一个无理数，使得，则可以是______（只要写出一个满足条件的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数是解题的关键；因此此题可根据“”进行求解即可． 【详解】解：写出一个无理数，使得，则可以是； 故答案为（答案不唯一）． 13. 方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 14. 如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是______（填“相交”“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质，含角的直角三角形的性质，切线的判定定理等知识点，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 过点作交于点，求得，然后得到，利用切线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后为，过点作交于点， ， ， ， 长度与的半径长度相等，且， 所以，旋转后的与射线相切． 故答案为：相切． 15. 一组数据由5个整数组成，若2是这组数据的中位数，1是这组数据唯一的众数，则这组数据的平均数至少是______． 【答案】2.2 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数和平均数，根据众数和中位数得出这组数据和最小的情况为1、1、2、3、4，再根据平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵2是这组数据的中位数，且数据的个数为5， ∴这组数据的第3个数据为2， 又1是这组数据的唯一众数， 所以第1、2个数据均为1， 其他数据只能出现1次， 所以这组数据和最小的情况为1、1、2、3、4， 则这组数据的平均数至少是， 故答案为：2.2． 16. 中国传统建筑蕴含着丰富的数学知识，是中华民族智慧的结晶．如图是一个由某种窗格抽象出的正六边形，其部分对角线在内部围成一个六边形，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．先证出，再证出是等边三角形，然后过点作于点，设，根据等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质可得的长，由此即可得． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， 设， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在和中，相交于点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，利用证明得到，再由等角对等边得到，据此可证明结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为迎接2025中国（福州）国际渔业博览会，某厂家计划生产A，B两款创意海鲜公仔，总产量（单位：个）为20000．厂家经过市场调研与财务核算，制定了营销策略，相关信息如下表： 成本（元／个） 定价（元／个） 产量（单位：个） A款公仔 25 35 B款公仔 150 180 ① 总利润与的关系式：② （1）请直接写出表格中的①，②； （2）若A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，且生产的公仔全部售出，求可获取的最大利润． 【答案】（1）， （2）可获得的最大利润为300000元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据总产量减去A款公仔的产量表示出，根据总利润等于两种公仔的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，列出不等式，求出的范围，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：①； ②； 【小问2详解】 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为：； 故可获得的最大利润为：300000元． 21. 已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． （1）如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 22. 某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． （1）求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ （2）若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 【答案】（1）“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种，利用概率公式可得答案； （2）根据题意设计一个新的摸球方案与获奖规则即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球结果有1种，取出的是白球的结果有8种， ∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品”的概率为； 【小问2详解】 解：新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球，2个白球中先随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再随机摸取一个小球． 获奖规则：若取出的两个球都是黄球，则获得奖品A，否则获得奖品B． 此时列表如下： 黄 白 白 黄 （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，黄） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的结果有1种， ∴“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为． 23. 如图1，在等腰三角形中，，为边上一点，且，过点分别作交于点，交于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当三点共线时，求四边形与四边形面积的比值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定与性质得到，则，利用等腰三角形的性质和平行线的性质以及等腰三角形的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）利用平行线之间的距离相等和平行四边形的性质得到四边形与四边形面积的比值，利用平行线的性质和等腰三角形的性质与判定得到，设，利用相似三角形的判定与性质求得即可解答． 【小问1详解】 证明∶∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当B、G、F三点共线时，由(1)知：四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形与四边形面积比值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴或(负数不合题意，舍去)， ∴四边形与四边形面积的比值为． 24. “裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）476 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由矩形的性质及折叠的性质得出裁剪方案即可； （2）由勾股定理求出，则可得出答案； （3）由全等的等腰直角三角形得出，即，则可得出结论． 【小问1详解】 解：裁剪次数为1．裁剪方案：将矩形卡纸沿竖直方向对称轴对折，再沿水平方向对称轴对折，在原矩形四个内角重叠处的适当位置（在原长与宽的位置小于原长与宽的一半处）裁剪1次，展开即可得到符合要求的八边形卡纸． 【小问2详解】 解：根据题意，得裁剪掉的4个三角形是全等的直角三角形．设这些直角三角形在宽上的直角边长为m，在长上的直角边长为n， ∵八边形的各边长相等， ∴， 即， ∴八边形的边长为， 根据勾股定理，得， 化简，得． ∵， ∴， ∴， ∴得到的八边形卡纸的面积是． 【小问3详解】 解：∵正八边形的八条边相等， ∴若能裁剪得到，可同理（2），得， 又∵正八边形的八个角都相等，都为， ∴裁剪掉的4个全等的直角三角形的两个锐角都为， 即这4个三角形是全等的等腰直角三角形， 此时，，即， 综上，当时，能够经裁剪得到的八边形卡纸的形状是正八边形． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求证：当时，抛物线与轴有两个交点； （2）抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 【答案】（1）见解析 （2）①不存在成立，理由见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、不等式的性质等知识点，灵活运用反证法成为解题的关键． （1）当时，抛物线的解析式为：，然后根据一元二次根的判别式解答即可； （2）①由题意可知：画图如下：连接，先证明可得，再求得、、，进而得到、，然后代入可得；再根据根与系数的关系可得，然后进行整理即可解答； ②假设，则或，然后运用反证法即可证明结论． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标为方程的解， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， ∴当时，抛物线与轴有两个交点． 【小问2详解】 解：①不存在．理由如下： 由题意可知：画图如下：连接， ∵， ∴， ∴， 令时，则，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵、是抛物线与x轴的两个交点， ∴方程的两个根为a，b， ∴， ∵a为正整数，且， ∴，， ∴，即， 由得或, ∴不存在成立； ②假设，则或， 将代入中得，即， ∴， 当时，该等式不成立， 当时，， ∵a、b均为正整数， ∴t为正整数， 由①知，又， ∴为正整数，则k为整数，且， 又， ∴k为正整数， ∴为整数，且能被2整除， ∴的值可以为，， 又∵， ∴， ∴，此时，，，这与矛盾， 故假设不成立， ∴当为正整数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期福州市九年级质量抽测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下表是几种气体在1标准大气压下的沸点（保留整数）： 气体 氮气 氧气 氦气 二氧化碳 沸点 其中沸点最低的气体是（ ） A. 氮气 B. 氧气 C. 氦气 D. 二氧化碳 2. 用代数式表示“比的倍小”，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 4. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 5. 下列几何体的主视图可以是圆的是（ ） A. 正方体 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 圆柱 6. 一次函数的图象经过的象限是（ ） A 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知圆心角为的扇形的面积为，为上一点，D，E分别为，上的点，连接，，．若四边形为矩形，则的长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 四边形外角和的度数是______． 12. 写出一个无理数，使得，则可以是______（只要写出一个满足条件即可）． 13. 方程组的解为___________． 14. 如图，，为上一点，且，以点为圆心作半径为1的，将绕点顺时针旋转，则旋转后的与射线的位置关系是______（填“相交”“相切”或“相离”）． 15. 一组数据由5个整数组成，若2是这组数据的中位数，1是这组数据唯一的众数，则这组数据的平均数至少是______． 16. 中国传统建筑蕴含着丰富的数学知识，是中华民族智慧的结晶．如图是一个由某种窗格抽象出的正六边形，其部分对角线在内部围成一个六边形，则的值是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 如图，在和中，相交于点，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为迎接2025中国（福州）国际渔业博览会，某厂家计划生产A，B两款创意海鲜公仔，总产量（单位：个）为20000．厂家经过市场调研与财务核算，制定了营销策略，相关信息如下表： 成本（元／个） 定价（元／个） 产量（单位：个） A款公仔 25 35 B款公仔 150 180 ① 总利润与的关系式：② （1）请直接写出表格中的①，②； （2）若A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，且生产的公仔全部售出，求可获取的最大利润． 21. 已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． （1）如图，作，满足圆心上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 22. 某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则：①若取出的是黄球，则获得奖品A； ②若取出的是白球，则获得奖品B． （1）求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品”的概率分别是多少？ （2）若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品”的概率和原摸球方案与获奖规则下的概率分别相等． 23. 如图1，在等腰三角形中，，为边上一点，且，过点分别作交于点，交于点，在上截取，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当三点共线时，求四边形与四边形面积的比值． 24. “裁剪1次”是指在单张平面图形（或将此图形经过若干次折叠后），用剪刀沿某条路径（图1中，裁剪路径为直线）进行一次裁剪将其裁开的操作．若进行次裁剪，则记载剪次数为．某数学综合实践活动小组开展裁剪卡纸的活动（裁剪路径均为直线），将一个长为，宽为的可折叠矩形卡纸（如图2）裁剪为八边形卡纸，得到的八边形需满足以下要求：①该八边形的所有顶点都在原矩形卡纸的边上，②原矩形卡纸的每一条对称轴都是该八边形的对称轴． （1）为了得到符合要求的八边形卡纸，请用文字简要描述你的裁剪方法（要求：裁剪次数最少，获得满分）； （2）当，时，经裁剪得到符合要求且各边长相等的八边形卡纸，如图3，求得到的该八边形卡纸的面积； （3）该小组在一系列探究后发现可以提供一款矩形卡纸，使其经裁剪能得到符合要求的八边形卡纸，且该八边形是正八边形．请分析他们的说法是否正确？若正确，求该款矩形卡纸长和宽之间的数量关系；若不正确，请说明理由． 25. 平面直角坐标系中，抛物线． （1）求证：当时，抛物线与轴有两个交点； （2）抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$