精品解析：甘肃省白银市普通高中改革与发展共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中考试试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. e 11. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，．又测得的长为10m，的长为，则（ ） A. 水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B. 水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C. 直线与水库底面所成角的正弦值为 D. 直线与水库底面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 13. 已知向量，．则向量在向量上的投影为________． 14. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为________；设曲线的曲率为K，则的极大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 已知函数． （1）若在R上单调递增．求实数m的取值范围； （2）若，求在上的值域． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求； （2）若在上有两个零点，求的取值范围； （3）若，过点向曲线作切线，求切线的方程． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一、二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：B 2. 已知空间中有两个动点，．则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：B 4. 已知点在平面α内，点在平面α外，且平面α的一个法向量为，则点到平面α的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再利用点到平面的距离公式即可. 【详解】因为， 所以点到平面的距离为． 故选：A. 5. 将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，求出极值点，即可得解. 【详解】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，则. 所以无盖方盒的容积为，. 所以， 令，解得；令，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大. 故选：D 6. 设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 7. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 因为，所以， 所以当时，即，当时，即， 不等式，即或，解得， 综上可得不等式的解集为. 故选：A 8. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 10. 若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. e 【答案】AB 【解析】 【分析】根据对数运算性质将不等式变形为，根据的单调性，进一步将问题转化为在恒成立，即可求解. 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：AB 11. 如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为，．又测得的长为10m，的长为，则（ ） A. 水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B. 水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C. 直线与水库底面所成角的正弦值为 D. 直线与水库底面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据垂直关系，结合二面角的定义可得是所求二面角的平面角，即可利用余弦定理求解二面角，利用等体积法求解点到面的距离，即可利用线面角的定义求解. 【详解】如图，作且，连接，又，则是矩形， ，又，所以是所求二面角的平面角． ，则，又，，平面， 所以平面，而平面，所以， ，所以，，，所以，故A错误，B正确， 为等腰三角形，故面积为, , 设点到水库底面的距离为，则,故， 故直线与水库底面所成角的正弦值为,故C正确，D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的极限定义计算即得. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，．则向量在向量上的投影为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求得答案. 【详解】依题意，向量在向量上的投影为. 故答案为： 14. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为________；设曲线的曲率为K，则的极大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连续求导，根据曲率的定义代入计算即可求解空1，根据曲率的定义得的表达式，利用导数求解函数的单调性，即可根据极值定义求解. 【详解】根据可得， 所以曲线在点处的曲率为， 由可得，故， 故 ， 令，所以，则， 当在单调递减， 当在单调递增， 故当时，取极大值， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，，为的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. 【小问2详解】 因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 16. 已知函数． （1）若在R上单调递增．求实数m的取值范围； （2）若，求在上的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，则恒成立，利用判别式即可得到答案； （2）代入，求导得到，再分析其单调性即可得到其最值. 【小问1详解】 因为，所以． 因为在上单调递增，所以恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为，则， 则， 由，得或；由，得． 可知在上单调递增，在上单调递减． 因为， 所以在上的值域为． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求； （2）若在上有两个零点，求的取值范围； （3）若，过点向曲线作切线，求切线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）求导得，根据得到方程组，解出即可； （2）等价转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的最值即可； （3）设切点为，写出切线方程，代入点，得到切点横坐标即可得到切线方程. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为在上有两个零点， 所以关于的方程有两个不同的根， 等价于直线与曲线有两个交点． 令，则，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，且当时，，当时，， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 因为，所以． 设切点为，则切线方程为， 将点代入，整理得． 令，则，在时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 因为方程有唯一的根0，所以方程的根为或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为． 综上切线方程为：或. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由，得，又，则是正三角形， ，在中，，， 即，于是，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2） 连接，连接，由，得, 由，得，于是，而平面，平面， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的判定推理得证. （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，，而，四边形是梯形，即相交， 因此平面，在平面内作，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． （2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）； （2）①； ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【小问1详解】 由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. 【小问2详解】 ①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $