精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2023-2024学年第二学期末考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. ·种 D. ·种 3. 在(x-)10的展开式中，x6的系数是（ ） A. -27 B. 27 C. -9 D. 9 4. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 命题“对任意的，”的否定是 A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 6. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 7. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（ ） A 25 B. 50 C. 75 D. 100 8. 若 ，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列推导过程，正确的为（ ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 因，所以 D. 因为，所以，当且仅当时，等号成立 11. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件（）相互独立 B. C D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分.） 12. 的展开式各项系数的和是，则__________. 13. 设随机变量，若，则______． 14. 已知集合，若，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：（共6小题共70分） 15 设全集，集合，集合． (Ⅰ)求集合与； (Ⅱ)求、． 16. “俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢、腰部及腹部的肌肉．某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据．分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y（个）与坚持的时间x（周）线性相关． x 1 2 4 5 y 5 15 25 35 参考公式：， （1）求y关于x的线性回归方程 （2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数 17. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 18. 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 b 25 学习积极性一般 a 19 c 合计 24 d 50 参考数据： P（K2≥k0） 0.025 0.010 0.005 0001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）求a，b，c，d的值 （2）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？ （3）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由. 19. 设函数， （1）证明：是上的增函数； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期末考试 高二数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与并集运算即可. 【详解】因为全集，， 所以，又， 则. 故选：A. 2. 有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. ·种 D. ·种 【答案】D 【解析】 【分析】任何两位老师不站在一起，采用插空法，先排4位学生，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，由分步乘法计数原理即得． 【详解】要求任何两位老师不站在一起，可以采用插空法， 即先排4位学生，有种方法，再使三位教师在学生形成的五个空上排列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有不同排法种. 故选：D． 3. 在(x-)10的展开式中，x6的系数是（ ） A. -27 B. 27 C. -9 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 由二项式定理知Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6求k值，再求对应项系数即可. 【详解】由Tk+1=x10-k(-)k， 令10-k=6，解得k=4， ∴系数(-)4=9． 故选：D 4. 不等式解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解分式不等式即可. 【详解】由不等式可得，，则不等式转化， 解得或，故解集为或. 故选：D. 5. 命题“对任意的，”的否定是 A. 不存在， B. 存在， C. 存在， D. 对任意的， 【答案】C 【解析】 【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定． “对任意的，”的否定是:存在， 选C. 6. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”. 考点：不等式性质、充分必要性. 7. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为（ ） A. 25 B. 50 C. 75 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，根据正态分布的对称性可推得，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以. 又，根据正态分布的对称性可得， 所以. 所以，可估计成绩在120分以上的学生人数为. 故选：B. 8. 若 ，则有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因，则， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， 故选：AB 10. 下列推导过程，正确的为（ ） A. 因为a，b为正实数，所以 B. 因为，所以 C. 因为，所以 D. 因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】AD 【解析】 【分析】结合基本不等式“一正、二定、三相等原则”判断即可. 【详解】对A，因为a，b为正实数，所以均大于零，，故A正确； 对B，，故，B错误； 对C，，，故C错误； 对D，结合基本不等式推导过程判断完全正确，故D正确. 故选：AD 11. 甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件（）相互独立 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率公式以及乘法公式，全概率公式分别代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球， 先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，， 先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，， ，B对， ， ， ，C错， ，A错， ，D对． 故选:BD. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分.） 12. 展开式各项系数的和是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】采用赋值法，令，根据展开式各项系数的和即可求得答案. 【详解】由题意令，则的展开式各项系数的和是， 故答案为： 13. 设随机变量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由随机变量，，可求出，再根据二项分布的期望公式求解即可. 【详解】因为随机变量， 则，解得：， 所以随机变量 故答案为：. 14. 已知集合，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分和，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：（共6小题共70分） 15. 设全集，集合，集合． (Ⅰ)求集合与； (Ⅱ)求、． 【答案】（1），（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由，知，由，得，可得或；（2）由或，能求出，由或，能求出. 试题解析：（1）∵，∴， 不等式的解为，∴ ∵，∴，即，∴或. ∴ （2）由（1）可知，，∴ ∵，∴ 【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式、分式不等式的解法以及求集合的补集与交集，属于中档题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时本题将不等式的解法与集合的运算融合，体现了知识点之间的交汇. 16. “俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢、腰部及腹部的肌肉．某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据．分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y（个）与坚持的时间x（周）线性相关． x 1 2 4 5 y 5 15 25 35 参考公式：， （1）求y关于x的线性回归方程 （2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数 【答案】（1） （2）69个 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求出回归直线方程； （2）由（1）所得回归直线估计10周后能完成的“俯卧撑”个数. 【小问1详解】 由所给数据计算得，，，， 所以，则， 故y关于x的线性回归方程是． 【小问2详解】 令，得，故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”． 17. 已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ)求X的数学期望E(X)． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ． 【解析】 【详解】试题分析：(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6． ； ； ； ． 故，所求X的分布列为 X 3 4 5 6 P (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为： E(X)＝． 考点：本题主要考查随机变量的概率计算，古典概型概率的计算，分布列、数学期望． 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型．古典概型概率的计算问题，关键是明确基本事件数，往往借助于“树图法”，做到不重不漏．借助于简单排列组合公式进行计算，注意记清公式． 18. 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 b 25 学习积极性一般 a 19 c 合计 24 d 50 参考数据： P（K2≥k0） 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）求a，b，c，d的值 （2）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？ （3）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）有，理由见解析 【解析】 【分析】（1）据表中的数据可求出的值； （2）先确定基本事件的总数与所求事件包含的基本事件个数，代入古典概率的计算公式即可； （3）由题中的数据直接计算与临界值比较，即可得出结论． 【小问1详解】 因为；，，． 所以. 【小问2详解】 随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以抽到积极参加工作的学生有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝＝，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝. 【小问3详解】 由χ2统计量的计算公式得χ2＝≈11.538，由于11.538>10.828， 所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”. 19. 设函数， （1）证明：是上的增函数； （2）设，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用二阶导数证明即可得证； （2）参变分离，利用导数求的最小值即可． 【小问1详解】 由题知， 令，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即是上的增函数. 若证明是上的增函数，只需证明在恒成立， 【小问2详解】 由， 得在时恒成立， 设，则， 当时，，当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为中较小者， 因为，所以，即， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$