黑龙江省兰西县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024一2025学年度下学期高二期中考试 数 学 2025.5 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 2 3.本卷命题范围：选择性必修第二册，选择性必修第三册（第六章）。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的 1.某快递公司在某地区有4个配送点，现有5件不同的快递包裹需要配送，则不同的配送方法共有 A.45种 B.5种 C.C种 D.A种 2.有10部不同品牌的手机，其中华为3部，小米3部，OPPO4部.现从中任意取出3部，若其中 至少含有两种不同的品牌，则不同的取法共有 A.96种 B.108种 C.114种 D.118种 3在(2x2-)° 的二项展开式中，x的系数为 A.40 B.-40 C.10 D.-10 4.如图所示的五个区域中，中心区域E是一幅图画，现要求在其余四个 区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相 0 邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 A.84 B.72 C.64 D.56 5.在正项等比数列{a.}中，a3a4as=512,a,=64,若当x∈N"时，2a.一8n一t>0恒成立，则实数 t的取值范围为 A(-∞，16] B.(-∞，-16] C.(-∞，-20] D.(-0∞，20] 6.若点P是曲线y=x2-nx上任意一点，则点P到直线y=x一1的最小距离为 A.1 R司 c竖 D号 7.已知数列{an}满足a1=1,a2m=a2-1十(-1)”，a2+1=an十3(n∈N),则数列{an}的前2025 项的和 【高二期中·数学第1页（共4页）】 10173B A.31o12-2025 B.31012-2027 C.31o1-2025·D.3a18-2027 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的图象连续，且f(1)=0,记f(x)的导函数为 了(x).若xlnx·f(x)+f(x)<0在(0，十o)上恒成立，则使(x2一x一6)f(x)>0成立的x 的取值范围是 A.(-2,-1)U(-1,0)U(0,1)U(1,3) B.(-o∞，-2)U(3,十∞) C.(-2,-1)U(-1,0)U(34+co) D.(-o∞，-2)U(0,1)U(1,3) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示.则导函数y=f'(x)的图象不可 能是 4:4 10.设函数f)=x2+mln(1十x)有两个极值点，且其导数∫(x)=2z+什z则实数m的取 值可以是 A-子 c 11.设x226=a0十a1(x十1)十a2(x十1)2+…十a226(x+1)20,则 A.a1=-2026 B.a0-a1十a2-…十a2o26=220s C.ao,a1,a2,…,a202s中最大的是a1o13 202 D+号+学+…+器=（侵 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=(x2一2)nx在x=1处的切线方程为 13.已知(x+3)5=ao十a1(x十1)+…十a5(x+1)5+a6(x+1)3,则as= 14.已知函数f(x)=ax一alnx十1+3(a∈R)在区间(2,3)上存在极小值点，则实数a的取值 范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(13分) 有5名同学站成一排拍照。 (1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ (2)若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ (3)求出现甲必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的不同排法种数 【高二期中·数学第2页（共4页）】 10173B 吸5潮 19 16.(15分) (2x+) 的展开式一共有16项. (1)求展开式中二项式系数之和： (2)求展开式中的常数项. 19. 17.(15分) 已知函数f(x)=xlnx十2x一1. (1)求f(x)的单调区间： (2)若对任意的x>1,都有f(x)一k(x一1)>0(k∈Z)恒成立，求k的最大值. 【高二期中·数学第3页（共4页）】 10173B 18.(17分) 已知正项数列{an}满足an一a-1=√an十√a-1(n∈N·,n≥2)，a1=1.数列(b.}满足各项 均不为0，b1=4,其前n项的乘积T=2m-1·b+1… (1)求数列{an}通项公式； (2)设cn=log2bn,求数列{cn}的通项公式； (3)记数列{（一1）"an}的前2m项的和为S2m,求使得不等式S2m≥c1十c2十…十c1o成立的正 整数m的最小值， 19.(17分) 已知函数f(x)=c-alnz-a(a∈R). x (1)求证：对于任意实数a,曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线恒过原点： (2)讨论函数f(x)的零点个数 【高二期中·数学第4页（共4页）】 10173B 2024一2025学年度下学期高二期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A每个快递包裹都有4种不同的配送方法，共有4种不同的配送方法 2.C根据题意，从10部手机中任意取3部的取法总数为：C=120(种)：取3部都是同一种品牌的取法数为： (C爱十(C十C号=6（种）：所以至少含有两种不同品牌的取法数为：120一6=114（种）. 3.BT-1=C(2)(-）广=(-1)y2…C20-当10-3r=1时r=3.(-1)3×23×C= -40. 4.A分两种情况：①A,C不同色有4×3×2×2=48（种）：②A,C同色：有4×3×1×3=36（种）.故共有48十 36=84(种). 5.B设等比数列{am}公比为g,,asaias=a=512,∴.a4=8.a=ag=64,∴.q=8,解得q=2,∴.aw a4=2-1,由2a。-8n-t≥0得≤2am-8m,即t≤2-8m.当n=1时，2-8×1=-6，当n=2时，22-8 ×2=-12,当n=3时，2-8×3=-16，当n=4时，2-8×4=-16，当n=5时.23-8×5=-8，当n≥5且 n增大时，2一8n增大，.2m一8n的最小值是一16..1≤一16，即实数t的取值范围为（一∞，一16们，故选A. 6.C因为点P是曲线y=2-hx上的任意一点，设P,,所以)y=2x-x>0),令y=2x-士=1，解 得x=1或x=一之（舍去），所以x=1,所以曲线上与直线y=x一1平行的切线的切点为P1,1),点P到直 线y=x-1的最小距离d=1-1-1=见 2 7.D因为a2n=a-1+(一1)，a2+1=a2十3"(n∈N*),所以a2+1=a2,十3=a2m-1十(-1)十3"，即a2+1 a2-1=(-1)"+3",所以am-1=(a2-1一am-￥)十(a2-3-a2m-5）+…十(a4-a1)十a1=[(-1)"1十3w1]十 [(-1+3]++(-1+3)+1=23-1（+1=号+2-1，所以a=4十 2 2 (一10r=号+)-1+(-1=号+之(-1n-1.所以5m=a+a+…+ae)+(a:+a+叶 -[+-1++Ψ-1+…++-]+[+--1++ 2 2 含--1++g+-1m-]-8x5与g+32专-2625=8m-20m. 8D令函数gx)=fx)nx,则g(x)=∫(x)·nx十子fx)=hnr·f(x)+f],:当x>0时， 有xnx·f(x)十f(x)<0,∴.g(x)<0,.函数g(x)=f(x)·nx在(0，十o∞)上单调递减，又g(1)= f1)n1=0,.在区间(0,1)上，g(x)=lnx·f(.x)>0,又由lnx<0,则f(x)<0,在区间(1，十∞)上，g(x) =lnx·f(x)<0,又由ln.x>0,则f(x)<0,则f(x)在(0,1)和(1，十o)上有f(x)<0,而f1)=0,:函数 f(x)为奇函数，.在区间(-1,0)和（一∞，-1）上，都有f(x)>0,(x2一x-6)f(x)>0, /x2-x-6>0,。|x2-x-6<0, 或 解得x<-2或0<x<1或1<x<3,则x的取值范围是(-o∞，一2)U(0, f(.x)>0, f(x)<0, 1)U(1,3),故选D. 【高二期中·数学参考答案第1页（共4页）】 10173B 9.ACD当x<0时，函数f(x)单调递增，导函数值大于0，排除C,D:当x>0时，函数f(.x)先减后增最后减， 故其导数值先负，后正，最后负，结合图象，可知图象不可能是ACD, 10CD:f)=2x+骨=2四，两数f)的定义域为(-1十四)，令g)=22+2r+m 1十x g(.x)的对称轴为：x=一2，要使函数f(x)=x+mln(1十x)有两个极值点，则有g(-1)=m>0,且△=4 -8m>0,解得0<m<2.故选CD. 11.AB设1=x十1，则(1-1)2o=ao十a1ta22十aF+…十a2as2,所以a1=C2(-1)25=-2026,A 选项正确：令1=一1，得（一2）2=a一41十a2一…十a2=25,B选项正确：a113=C8器(-一1)13为负 数显然C走项错误：令1=得（兮-）“-a十号+尝+尝十…十器=（合）》，令1=0.得 1,所以号+学+学+…+器=（合）-1，D选项错误故选：A出 12.x十一1=0根据题意可得)=2xhx十一是则当x=1时，y=0,=一1，所以曲线在x=1处的切线 方程为y=一(.x一1)，整理得x十y一1=0. 13.12因为(.x+3)=[2十(x+1)]3=ao+a1(x+1)十…十a5(x+1)5+a6(x+1)5,此二项式的展开式的通 项为T+1=C×2-×(x+1)r,当r=5时，T6=C3×2×(.x+1)5,所以a=C8×2=12. 14(信，号）f)=a一号-之-☐l>0,且函数的定义城为0，+o),令g)=ar-a-l (>0),则其对称轴方程为x=之“函数(x)在区间(2,3)上存在极小值点，a=0不符合题意：若a> 1g(2)=4a-2a-1<0, 0,则 g(3)=9a-3a-1>0, 解得6<a<2:若a<0,由于g1)=g(0)=-1<0,g(x)在区间(2,3)上单 调递减，且g(2)<0.∴函数x)=ax一alnx++3在区间(2,3)上不存在极小值点.综上所述，实数a的 取值范围为（合，号）。 15.解：(1)将甲乙捆绑在一起，故方法数有A×A=48(种).… …4分 (2)如果甲排左端，则方法数有A=24种：如果乙排左端，则方法数有A×A=18种.故总的方法数有24 +18=42(种). …9分 (3)按照甲、乙、丙其他两名同学的顺序进行安排，所以方法数有A×A×A×A显=16（种）.…13分 16.解：(1)由(22+)）的展开式一共有16项，得n=15, ∴(22+）”的展开式中二项式系数之和为25. …7分 (2)油(2x+）广得展开式的通项为：T1=C(2)5…(）广=C·25·x-, 令30-3r=0,得r=10, .展开式中的常数项为C罪·25-0=3003×32=96096.……15分 17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十oo),f(x)=lnx十3， 【高二期中·数学参考答案第2页（共4页）】 10173B 令f(.x)=0,解得x=e3,… …3分 当x∈(0，e3)时，f(x)<0,函数f(x)递减，当x∈(e3,+oo)时，f(x)>0,函数f(x)递增， 即函数f(x)的单调减区间为(0，e8),单调增区间为(e3,十oo).…6分 ②)原式可化为<号血， 一1 令g=血2(r>1）,则g(x)=气2，…9分 x-1 (x-1)2 令A()=-2-nx(>l).则h(）=1->0.…10分 故h(x)在(1，十o∞)上递增，故存在唯一的x∈(3,4)，使得h(.x)=0,即lnxo=x一2，且当x∈(1，xo)时， h(x)<0,g(x)<0,g(x)递减：当x∈(，十∞)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)递增：…13分 故g(x)m=g(x）=x+1, 故k<o十1∈(4,5)，所以实数k的最大值为4.…。 …15分 18.解：(1)依题意，当n>2时，由am一a。-1=√an+√aw-1, 可得（√@m十√am-)(am-√am)=@m十√am-1,…2分 an>0,n∈N°，.an+W/am>0,.√an-aa-1=l,…3分 :瓜=1，∴数列{√a}是以1为首项，1为公差的等差数列， an=1十(n-1)…1=,an=n2,n∈N,…5分 (2)由题意，当n=1时，4=b=T=2b,即b2=4, 当n≥2时，由Tn=2-1b+1①，可得Tw-1=22b,②， 号，可得6-6整理，得2b=优。…7 b. 当n=1时，b=4,h=4,2b≠所不满足上式∴2b+1=候(n∈N”,n≥2)，…8分 当n≥2时，对2b.+1=房两边取以2为底的对数，可得log2b,+=log2房， 化简，得logb.+1十1=2logb,即cn+1十1=2cn,则cw+1=2c,一1， 两边同时减1，可得cm+1一1=2cn一1一1=2(cn一1)，… …10分 c2-1=log2bm-1=1, .数列{c.一1}从第二项起是以1为首项，2为公比的等比数列，∴Cm一1=2一2， 2,n=1, .cn=1+2m-2(n≥2)，.c=logb1=2,.cm 13分 1+2-2,2≥2. (3),(-1)2-a4-1十(-1)*a2=-(2k-1)2+4k2=4k-1, 5=41+2+…十7m）-m=4.1+m0m-m=2m2+7m,… 2 15分 而6十c+…+cw=2+9+1·1,2）=522. 1-2 .22十n>522→≥16且n∈N”,.正整数m的最小值为16.…17分 19.(1)证明：由题可得f0=e一a…(x)=e-na,则=了0=ea,…2分 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y一(e一a)=(e一a)(x一1)， 【高二期中·数学参考答案第3页（共4页）】 10173B 即y=(e一a).x,故曲线y=f(.x)在(1，f(1)处的切线恒过原点.… 5分 (2)解：函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=e-lnL-4=e-al血x一a延 令g(x)=xe一alnx一ax,则函数f(x)的零点个数与函数g(x)的零点个数一致， g(x）=e+e-a-是=e(1+)-是1+=1lt(e-a,…。 …7分 当a=0时，g(x)=xe,g(x)在(0，十o∞)上无零点，即f(x)在(0，十oo)上无零点；…8分 当a<0时，g'(x)>0,g(x)在(0，十∞)上是增函数，又g(1)=e-a>0, 且当x0+时，g(x)·一o∞，所以g(x)在(0，十∞)上有唯一零点，即f(x)在(0，+o∞)上有唯一零点；… …9分 当a>0时，令h(x)=xe一a,则易知h(.x)在(0，十oo)上是增函数，又h(0)=一a<0,h(a)=ae一a=a(e 一1)>0，所以存在xn∈(0，a),使h(.x1)=0,即a=x1e,…10分 当0<x<x1时，h(x)<0,g'(x)<0,当x>x时，h(x)>0,g'(x)>0. 所以g(x)在(0，)上是减函数，在(，十o)上是增函数，g(.x)在(0，十∞)上有最小值g(a)=1e1一a. -aln.x,因为a=xe,所以lna=ln+,于是g(r)的最小值g(x)=a(1--lnx1)=a(1-lna), 当0<a<e时，g(x1)=a(1-lna)>0,于是g(x)>0,g(x)在(0，十o∞)上无零点，即f(x)在(0，+∞)上无 零点…12分 当a=e时，g(x1)=a(1-lna)=0,于是g(.x)≥0，当且仅当x=1时等号成立， 于是g(x)在(0，十0∞)上有唯一零点，即f(x)在(0，十o∞)上有唯一零点.…13分 当a>e时，g(x1)=a(1一lna)<0,因为a=xe,所以x1>1, 又g(日)=是×e-aX+a=是×e+a(1-)>0,所以gx)在（日西）止有唯一零点，即fd 在(0，x1)上有唯一零点； …14分 根据a=e及e>1,知<a,g(a)=ae-alna-a2=a(e-lna-a), 令m(a)=e-lna-a,则当a>e时m'(a)=e--1>e-是-1>0， 所以m(a)=e-lna一a在(e,十∞)上是增函数，m(a)=e-lna-a>e一1-e>0, 即g(a)>0,所以g(x)在(x1,a)上有唯一零点，即f(x)在(x1,十o∞)上有唯一零点， 因此当a>心时，f(x)在(0，十o∞)上有两个零点.…16分 综上，当0≤a<e时，f(x)没有零点，当a<0或a=e时，f(x)有一个零点， 当a>e时，f(x）有两个零点.…17分 【高二期中·数学参考答案第4页（共4页）】 10173B