期末押题卷（二）-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

期末押题卷（北京版）（二） 七年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北京版七年级下册第4—9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京房山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平均数也随之增大 B．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的众数也随之增大 C．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的中位数也随之增大 D．一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据 4．（2025·安徽·一模）西递、宏村以其世外桃源般的田园风光和丰富多彩的历史文化内涵闻名天下．相关部门对“十一”期间到西递、宏村观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论不正确的是（   ） A．本次抽样调查人 B．本次抽样中选择公共交通出行的有人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到西递、宏村观光的游客有万人，则选择自驾出行的约有万人 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 6．（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B．13 C．26 D．34 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）对初三某班体育选考情况进行调研，数据如下： 科目 立定跳远 排球 健身长拳 选考人数（人） 13 18 19 其中立定跳远、排球两项都选了的有7人，立定跳远、健身长拳两项都选了的有5人，则该班选了立定跳远而没有选排球的有 人；该班至少有学生 人． 10．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）因式分解： ． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 12．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分．这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有 人． 13．（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ． 14．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 16．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ． 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（2025·广东韶关·一模）计算：． 18．（24-25七年级下·广东·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 19．（2025·江苏徐州·一模）解方程组或不等式组：(1)(2) 20．（24-25八年级下·山东·开学考试）因式分解 （1） （2） 21．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，E为上一点，，的延长线交于点F，，．试说明：． 证明：（已知），∴（ ），∴（ ）． ∵（已知），∴（ ）， 即∠ ，∴（ ）． ∵（已知），∴ （等式的基本事实）， ∴（ ），∴（ ） ． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 23．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）小明在学校组织的社会调查活动中负责了解所居住的社区880户居民的家庭年使用管道天然气气量情况，他随机调查了80户居民的家庭年使用管道天然气气量（单位：立方米，简称：年用气量）．对数据x（年用气量）进行整理、描述和分析．注：年用气量取整数． a．绘制了被抽取的80户居民的家庭年用气量频数分布表和频数分布直方图． 家庭年用气量的频数分布表 年用气量分组 （立方米） 划记 频数 4 12 18 6 4 b．家庭年用气量在279.5≤x＜369.5这一组的是： 280   280  285   290   290   298   298   300   300  301   301  301   305   317   322   323   356   362 根据以上信息，完成下列问题：(1)将两个统计表（图）补充完整；(2)如表是北京市居民用管道天然气销售价格表，请你估计小明所居住的社区多少户家庭年用气量按第一档缴费即可． 北京市居民用管道天然气价格表 分档 户年用气量（m3） 销售价格（元/m3） 第一档 0——350（含） 2.61 第二档 350——500（含） 2.83 第三档 500以上 4.23 24．（2025七年级下·北京·专题练习）有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ (1)某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张．①根据题意，完成以上表格：②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？(2)若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 25．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．(1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 26．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 27．（23-24七年级下·江苏南京·期中）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 28．（24-25七年级下·北京·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题卷（北京版）（二） 七年级下册数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：2024北京版七年级下册第4—9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意；故选：． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵，∴原变形错误，不符合题意； B、∵∴，原变形正确，符合题意； C、∵∴，原变形错误，不符合题意； D、∵∴，原变形错误，不符合题意．故选：B． 3．（23-24七年级下·北京房山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平均数也随之增大 B．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的众数也随之增大 C．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的中位数也随之增大 D．一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数据 【答案】A 【详解】解：A．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的平均数也随之增大，故选项正确，不符合题意； B．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的众数不一定随之增大，故选项错误，不符合题意； C．一组数据中最大的数据增大时，这组数据的中位数不一定随之增大，故选项错误，不符合题意； D．一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一个数据，故选项错误，不符合题意．故选：A． 4．（2025·安徽·一模）西递、宏村以其世外桃源般的田园风光和丰富多彩的历史文化内涵闻名天下．相关部门对“十一”期间到西递、宏村观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论不正确的是（   ） A．本次抽样调查人 B．本次抽样中选择公共交通出行的有人 C．扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 D．若“十一”期间到西递、宏村观光的游客有万人，则选择自驾出行的约有万人 【答案】D 【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是人，此选项正确； B、样本中选择公共交通出行的有人，此选项正确； C、扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是，此选项正确； D、若“十一”期间到西递、宏村观光的游客有万人，则选择自驾出行的约有万人，此选项错误． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，给出下列条件：①；②；③；④，且，其中能推出的条件为（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【详解】解：∵，∴，条件①符合题意； ∵，∴，不能推出，条件②不符合题意； ∵，∴，条件③符合题意； ∵，∴，∵，∴， ∴，条件④符合题意；综上，能推出的条件为①③④，故选：B． 6．（2025·湖北荆州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？如果设木长x尺，绳长y尺，则可以列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设木长尺，绳长尺，根据题意，得，故选：D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，则的值是（   ） A．10 B．13 C．26 D．34 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，故选：B． 8．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过作， ，，，， ，；同理， 和的平分线，交点为，，， ， 同理，，…… ，度，度．故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分，答案写在答题卡上） 9．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）对初三某班体育选考情况进行调研，数据如下： 科目 立定跳远 排球 健身长拳 选考人数（人） 13 18 19 其中立定跳远、排球两项都选了的有7人，立定跳远、健身长拳两项都选了的有5人，则该班选了立定跳远而没有选排球的有 人；该班至少有学生 人． 【答案】 6 27 【详解】解：∵立定跳远、排球两项都选了的有7人，∴（人）， ∴该班选了立定跳远而没有选排球的有6人， ∵立定跳远、健身长拳两项都选了的有5人， ∴当选了健身长拳没有选立定跳远的14个人全部同时选了排球时，总人数最少， 此时总人数为：（人），故答案为：6，27． 10．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 【答案】 【详解】解：设小明答对了道题，根据题意，得．故答案是：． 12．（23-24七年级下·北京朝阳·期末）图中显示了15名七年级学生国家安全知识竞赛成绩和航天知识竞赛成绩（单位：分）．例如：甲同学的国家安全知识竞赛成绩为40分，航天知识竞赛成绩为70分．这15名学生中，国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有 人． 【答案】2 【详解】解：∵图中横、纵坐标相同的点有，， ∴国家安全知识竞赛成绩与航天知识竞赛成绩相等的有2人，故答案为：2． 13．（2025·四川广安·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，即， ∴，故答案为：． 14．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：，①+②得，则， ∵∴，解得．故答案为： 15．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】/ 【详解】解： ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在同一平面内，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以每秒1度和每秒6度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当与平行时，时间t的值为 ． 【答案】6或42秒 【详解】解：由题意得： 如图①，与在的两侧时，    ，，，， 要使，则，即，解得：； 此时，； ②旋转到与都在的右侧时，，， 要使，则，即，解得：， 综上所述，当时间的值为6秒或42秒时，与平行．故答案为：6或42秒 三、解答题（本题共12小题，共68分。其中：17-18题每题4分，19-20题每题6分，21-22题每题5分，23-26题每题6分，27-28题每题7分，答案写在答题卡上） 17．（2025·广东韶关·一模）计算：． 【答案】7 【详解】解： 18．（24-25七年级下·广东·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 19．（2025·江苏徐州·一模）解方程组或不等式组：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， ②①得：， 把代入②得：， 方程组的解为； （2）解：化解可得 解①得：， 解②得：， 所以不等式组的解集为 20．（24-25八年级下·山东·开学考试）因式分解 （1） （2） 【答案】(1)(2) 【详解】（1） ； （2）解： ． 21．（24-25七年级下·天津和平·阶段练习）完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，E为上一点，，的延长线交于点F，，．试说明：． 证明：（已知），∴（ ），∴（ ）． ∵（已知），∴（ ）， 即∠ ，∴（ ）． ∵（已知），∴ （等式的基本事实）， ∴（ ），∴（ ）． 【答案】见详解 【详解】证明：（已知），∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（ 两直线平行，内错角相等 ）． ∵（已知），∴（ 等式的基本性质 ）， 即，∴（ 等量代换 ）． ∵（已知），∴（等量代换）， ∴（ 内错角相等，两直线平行 ）， ∴（ 两直线平行，同位角相等 ）． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元； (2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元． 【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元 (2)全部售出后共可获利1480元 【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元， 由题意得，，解得：， 答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元． （2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个， 由题意得，，解得：，购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个， 全部售出后共可获利（元），答：全部售出后共可获利1480元． 23．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）小明在学校组织的社会调查活动中负责了解所居住的社区880户居民的家庭年使用管道天然气气量情况，他随机调查了80户居民的家庭年使用管道天然气气量（单位：立方米，简称：年用气量）．对数据x（年用气量）进行整理、描述和分析．注：年用气量取整数． a．绘制了被抽取的80户居民的家庭年用气量频数分布表和频数分布直方图． 家庭年用气量的频数分布表 年用气量分组 （立方米） 划记 频数 4 12 18 6 4 b．家庭年用气量在279.5≤x＜369.5这一组的是： 280   280  285   290   290   298   298   300   300  301   301  301   305   317   322   323   356   362 根据以上信息，完成下列问题：(1)将两个统计表（图）补充完整；(2)如表是北京市居民用管道天然气销售价格表，请你估计小明所居住的社区多少户家庭年用气量按第一档缴费即可． 北京市居民用管道天然气价格表 分档 户年用气量（m3） 销售价格（元/m3） 第一档 0——350（含） 2.61 第二档 350——500（含） 2.83 第三档 500以上 4.23 【答案】(1)见解析(2)估计小明所居住的社区748户家庭年用气量按第一档缴费即可 【详解】（1）家庭年用气量在189.5≤x<279.5这一组的户数：（户）， 补充表图： 月用气量分组 (立方米) 划记 频数 4 12 36 18 6 4 （2）∵家庭年用气量在279.5≤x<369.5这一组中在的有16户， ∴880×=748(户)故估计小明所居住的社区748户家庭年用气量按第一档缴费． 24．（2025七年级下·北京·专题练习）有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ (1)某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张．①根据题意，完成以上表格：②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？(2)若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 【答案】(1)①见解析；②共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张； (2) 【详解】（1）解：①依题意， 标准板材裁法一（张 标准板材裁法二（张 型板材（张 型板材（张 ②由题意，得，解得，又是整数，，59，60； 答：共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张． （2）解：设标准板中有张按裁法1裁剪，有张按裁法2裁剪， 根据题意得：，整理得：，解得， 由于为正整数，则，46，47，则，48，46， 故标准板材为：95张，94张，93张，故答案为：95（答案不唯一）． 25．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．(1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1)(2)a，b的值分别是和1 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：，故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为∴将代入方程组得： 由①得；由②得；所以a，b的值分别是和1 26．（23-24七年级下·北京延庆·期末）我们把关于x，y的二元一次方程，叫作数对的“伴随方程”；若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则称数对是数对的“伴随数对”． (1)已知数对，在数对中，是数对的“伴随数对”的是 ； (2)若数对是数对和数对的“伴随数对”，求数对的“伴随方程”； (3)若是n个不同的数对，满足前一个数对是后面所有数对的“伴随数对”，且n的最大值是t，如果关于x的不等式组恰好有2024个整数解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由题意得：“伴随方程”为： 将点代入得，将点代入得， 将点代入得，将点代入得， ∴点，是数对的“伴随数对”，故答案为：； （2）解：由题意得，，解得：，∴数对的“伴随方程”为：； （3）解：解不等式组，由①得，，由②得，， ∴不等式组的解集为：∵n的最大值是t， ∴，则，∴， ∵关于x的不等式组恰好有2024个整数解，∴这2024个整数解为， ∴，解得：． 27．（23-24七年级下·江苏南京·期中）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数，∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数，∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则，，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，∴假设不成立，∴原结论正确． 28．（24-25七年级下·北京·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴， ∵，∴∴， ∵，∴； （2）解：，理由：过点C作，如图，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴，∵，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， 由（2）可得：，∴，即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$