数学（吉林省卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 A D D B B C 第II卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.15 8.1 9.20 10.15 1. 三、解答题（本大题共11个小题，共87分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12.（本题6分)解：原式=(a2+6a+9列-(a2-9)2分 =a2+6a+9-a2+9 =6a+18 44s分 当a=-3时， 6a+18=6× 3*18 =16. …6分 13.(本趣6分)解：画树状图为： 甲 丙 个 3分 乙丙丁甲丙丁 甲乙丁 甲乙丙 共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6， 1/11 命学科网 Www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 61 所以有乙同学的概率P= 22 6分 14.(本题6分)解：设该学生接温水的时间为s,接开水的时间为s, 根据题意得： 20.x+15y=210 (100-60]）×15y=(60-30）x20x’43分 X=6 解得： =6 45分 答：该学生接温水的时间为6s，,接开水的时间为6s。6分 15.(本愿7分) B 图1 图2 图3 (1) 3分 (2) 5s分 (3) 7分 16.(本题7分) (I)解：在RIA ACB中，cos∠CAB=4C AB :AC=3m,∠CAB=60°， 3 c0s600=6m, :AB= 在R1△ACB中，tan∠CAB=BC AC .BC=AC×tan∠CAB=3×5=3W5(m), 故答案为：6.33： 4分 (2)解：由(1)得BC=3√5m, 在R△BCD中，BD= BC 33 sin3790.6 =55(m :.CE BD-BA=(53-6)m 2111 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 答：物体上升的高度CE为55-6m 7分 17.(本题7分) (1)证明：如图，连接0C. D AE⊥CD,CF⊥AB,CE=CF, LEAC=∠CAB. :0A=0C, .∠CAB=∠ACO, .∠EAC=LACO. .OC∥AE. 0C⊥CD. :0C是圆的半径， DE是O0的切线。74 (2)解：：AB=4, 0A=0C=0B=2, LCAB=30°， ∠EAD=60°， .∠D=30°， 0D=20C=4, .AD=6, 在Rt△ADE中，∠D=30, 民AE生)AD=3.刁 18.(本题8分) (1)5,8,8053 （2）B。…4 3/11 命学科网 Www,ZX×k,C0m 让敦与学更高效 (3)240: 6分 (4)解：估计该校学生每人一年（按52周计算平均阅读课外书为： 80x52=13(本)： 320 答：该校学生每人一年（按52周计算平均阅读课外书为13本， 8 19.(本题8分) ①解：①由题意可得，当1-时，=105×行2。一 (2)解：设直线AC的解析式为：s=1351+b, 由题意可得，它经过点 0代入可得=号 9 所以直线AC的解析式为：3=1351 2, 143 点C横坐标1= 3015101 当1= 3时，s=135×9=36 102 点C的坐标为0) 由(1)可得，m+4=46, :.直线CD经过点 设直线CD的解析式为：s=k1+b, 3k+6=36 则 [k=100, 解得 55+6=46 =6 .s=1001+6, Q=100.…6分 (3)解：当s=50时，50=1001+6， 解得1= 25 :乙车在该路段上的总用时为2530150 11161 小时)， 乙车的平均速度为：50÷ 61≈123>120， 150 乙车在该区间测速路段超速了。… 8 20.(本题10分) 4/11 命学科网 Www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 f解：45,135,135，ASA2 (2)AE与EF仍然相等，理由如下： 如图2，在边AB上截取BM=BE,连接ME, 四边形ABCD是正方形， E C 图2 AB=BC,∠B=∠BCD=90°， :BM BE, LBME=∠BEM=45°，AB-BM=BC-BE,即AM=EC, :∠AME=180°-∠BME=1359 :CF是正方形外角的平分线， .∠DCF=45 ∠ECF=I35°=∠AME :∠AEF=90°， ∠AEB+∠CEF=90°， :LAEB+∠MAE=90°， :ZMAE ZCEF ∠MAE=∠CEF 在△AME和△ECF中 AM=EC ∠AME=∠ECF ∴.AAME≌ECF(ASA) AE=Ef月6分 (3)分两种情况讨论： ①如图3-1，当点E在边BC上时， D 四边形ABCD是正方形， E C 图3-1 5/11 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 ∠B=90°，AB=BC=4, BE=BC-CE=4-1=3, 由勾股定理得AE=√AB2+BE=√42+3=5， 由(2)可知，AE=EF, Ef=5:48 ②如图3-2，当点E在BC的延长线上时，连接AC,过点F作FG⊥BC,交BC的延长线于点G,在FG上 截取FH=CE,连接EH, D CE G 图3-2 同理(2)可得aACE≌aEHF(ASA), AE EF, :四边形ABCD是正方形， :.ZB=90,BC=AB=4, :BE=BC+CE=4+1=5, 由勾股定理，得AE=√AB'+BE=√4+5=√， .EF=41, 综上所述，EF的长为5或者√4④灯.410 21.(本题10分) (1)解：AD⊥BC, .∠ADB=LADC=90°， :由勾股定理得：AD=√AB2-BD2=√52-32=4， :∠C=45°， ∠DAC=∠C=45°， AD CD 4, ∴.BC=BD+CD=7, 由题意得：AF=21,CE=3t, 6/11 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 BF=5-21,BE=7-31, :FG∥BC,EG∥AB, :.四边形EBFG是平行四边形， 当BF=BE时，四边形EBFG是菱形， .5-21=7-31, .f=22分 (2)解：如图，由(1)得：四边形EBFG是平行四边形，BF=5-21,CE=31, G B DE C EG=BF=5-21, :EG∥AB, .△EGCn△BAC, EG CE BA CB 5-20n0 57, 35 254分 (3)解：如图，设AD与FG交于点O, G B D E 由(1)得：四边形EBFG是平行四边形， :.FG=BE =7-31, .S=5.w0+S.mo=FGxOA+FGxOD 2 -0xo4+0D 7/11 命学科网 www,ZX×k,c0m 让敦与学更高效 -FGxAD -训4 =14-61, S与1之间的函数关系式为S=14-6f:… …7分 (4)解：：FG∥BC, ∠AFG=∠ABC, 又：∠FAD=∠FAD, ÷△AFOABD, :40.4F0 ,即40.240F AD AB DB 453 40-,0-g 5 0G=FG-0F=7-31-51=7-24. 5 5 ①当AF=FG时，21=7-3t, .t=5 ②当A=46时，(2到2=104-2941+49，整理得：8r2-2941+245=0, 5 5 解得：1一子合去)或 27: ③当FG=4G时，(7-32=10r_294, +49,整理得：2r2-3t=0 解得：1=0（舍去）或：= 综上可知：以点A、F、G为顶点的三角形是等隆三角形时的值为或亭或号 7 …10分 22.(本题12分) (1)解：：抛物线L:y=a(x+2)2+9与x轴交于A,B(-5,0)两点， .对称轴为直线x=-2,0=a-5+2)2+9, 。a=-1; ,.2 (2)由(1)知，y=-(x+2)+9, 8/11 命学科网 www,ZX×k,CDm 让敦与学更高效 当x=0时，y=-(0+2+9=5, .C(0,5, B-5,0, :设直线BC的解析式为y=kr+5,把B(-5,0)代入，得：青=1， .y=x+5, :平行于x轴的直线1交抛物线L于点M,N, :M,N关于直线x=-2对称， ,R为线段MN的中点， .R的横坐标为-2， 把x=-2代入y=x+5,得：y=-2+5=3, yg=3, ,MN∥x轴， w=3, 把yw=3代入y=-(x+2)+9,得：3=-(x+2)2+9, 解得：x=√6-2或x=-√6-2， :点N在点M的右侧， 点N的横坐标为V6-2;445 (3)A1,0,B-5,0, :将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得A(0,5),B'（-65引， :线段AB的两个三等分点坐标为-4,5)，(-2,5， 设平移后的抛物线解析式为y=-(x-+k, :抛物线y=-x2-4x+5平移后与线段AB有两个交点，且这两个交点恰好将线段AB三等分， -(-4-h+k=5 -(-2-h2+k=5 9/11 命学科网 www,ZX×k,cDm 让敦与学更高效 [h=-3 解得 k=6 :.平移后的抛物线解析式为y=-(x+3)+6,其顶点为-3,6)， 而抛物线y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9的顶点为(-2,9， 平移前，后抛物线的顶点之间的距离为-3+2+(6-9)=0， .抛物线平移的最短路程为√个0；448 (4)PQ⊥y轴， .Q(0,-m2-4m+5), 当m<0时，Q点在E点上方， B :E0,-2m, :.-m2-4m+5>-2m,解得-√6-1<m<√6-1， ￥m<0, .-√6-1<m<0l0 当m>0时，E点在Q点上方， B E Q 10111 ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共18分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题3分，共 15 分） 7． _________________ 8 ． ___________________ 9． __________________ 10 ． __________________ 11. ___________________ 三、（本大题共 11 个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 2 ．（ 6 分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 3 ．（ 6 分） 1 4 ． （ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 15．（7分） 16．（7分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 ． （ 7 分） (1) 18．（8分） (1) ______， ______， ______． (2) _______． (3) _______人． (4) ) (2) 19．（8分） （1） （2） （3） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 10 分） （1）_________ ， _________ ， _________ ， _________． 【问题解决】（2） 【拓展探究】（3） 21 ． （9分） ) 、 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 21．（10分） (1) (2) (3) (4) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( (1) (2) (3) (4) ) 22．（12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 2．水是生命之源，是所有生物生存所依赖的重要资源，也是生物体最重要的组成部分．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 5．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 6．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 7．计算： ． 8．若a为方程的解，则的值为 ． 9．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 10．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为 ． 11．如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12．（6分）先化简，再求值：，其中． 13．（6分）甲、乙、丙、丁名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选名同学打第一场比赛．若从名同学中随机选取名同学打第一场比赛，请用画树状图或列表法，求其中有乙同学的概率． 14．（6分）某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 15．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 16．（7分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． (1)________m，_______m（结果保留根号）； (2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 17．（7分）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： (1)表格中的数据：______，______，______． (2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． (3)如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． (4)假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 19．（8分）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 20．（10分）综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 21．（10分）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22．（12分）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值； (2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标； (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程； (4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） 数 学 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A． 2．水是生命之源，是所有生物生存所依赖的重要资源，也是生物体最重要的组成部分．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：0.00000000028用科学记数法可以表示为， 故选：D． 3．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： 故选：D． 4．下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是掌握相关知识．根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故选：B． 6．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，根据作图得到平分，根据作图方法，结合角平分线的定义和性质，垂线段最短，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：，平分；故A选项正确； ∴；故B选项正确； 无法得到，故C选项错误； ∵平分，， ∴点到两边的距离相等，均为的长， ∵点E在边上， ∴当时，的长取最小值，为的长，故D选项正确； 故选C． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：，根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若a为方程的解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意得，将其变形与进行关联，即可求解． 【详解】解：∵a为方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 9．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可． 【详解】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：20． 10．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的定义可得，进而即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵动力与动力臂成反比例， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 【答案】 【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∴点P的坐标为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，16 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式化简计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式         当时，     ． 13．（6分）甲、乙、丙、丁名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选名同学打第一场比赛．若从名同学中随机选取名同学打第一场比赛，请用画树状图或列表法，求其中有乙同学的概率． 【答案】 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中选取名同学中有乙同学的结果数为， 所以有乙同学的概率． 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 14．（6分）某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【答案】接温水的时间为，接开水的时间为. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，根据“该学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设该学生接温水的时间为，接开水的时间为， 根据题意得： ， 解得：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 15．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中心对称图形的作法直接作图即可； （2）以为边，作底边为4的平行四边形即可； （3）以为边，作底边为3的平行四边形即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：四边形即为所求； ∴； （3）如图所示：四边形即为所求； ∴． 16．（7分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． (1)________m，_______m（结果保留根号）； (2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在中，，，分别代入数值进行计算，即可作答． （2）由（1）得，解求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 在中， ， 答：物体上升的高度为． 17．（7分）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的判定得，结合等边对等角得，得．故．得，即可作答． （2）因为，所以，得，得，在中，，得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵是圆的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 18．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： (1)表格中的数据：______，______，______． (2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． (3)如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． (4)假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 【答案】(1)5，8，80.5 (2) (3)240 (4)每人每年平均阅读13本课外书 【分析】本题主要考查用样本估计总体，求中位数，数据的统计和分析的知识，准确把握平均数、中位数和理解样本和总体的关系是解题的关键． （1）根据给出的数据直接得出a和b的值，再根据中位数的定义即可求出结果； （2）根据表格找到人数最多的对应的等级即可； （3）用总人数乘以等级为“B”的学生所占的百分比即可； （4）用总周数乘以所占的百分比即可得出答案． 【详解】（1）解：由已知数据知； ∵第10、11个数据分别为80、81， ∴中位数 (min)， 故答案为∶5，8，80.5； （2）解：∵用样本中的统计量看该校学生每周用于课外阅读时间最多的人数在B等级中， ∴用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为B． 故答案为：B． （3）解：估计等级为“B”的学生有： (人)， 故答案为：240； （4）解：估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为： (本)； 答：该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读课外书为13本． 19．（8分）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 【答案】(1)42 (2)100 (3)乙车在该区间测速路段超速了 【分析】（1）由题意可得：甲车的平均速度为105千米/小时,行驶的时间为小时,据此可求出行驶的路程m； （2）先利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而可求得C点的坐标为，由（1）得，由此可得直线经过，再利用待定系数法求得直线的解析式为，由此可得； （3）由可得时，，进而可得乙车在该路段上的总用时间，再求出乙车的平均速度，然后与120作比较即可得解． 【详解】（1）解：（1）由题意可得，当时，． （2）解：设直线的解析式为：， 由题意可得，它经过点，代入可得， ∴所以直线的解析式为：， ∴点横坐标， 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可得，， ∴直线经过点． 设直线的解析式为：， 则解得， ∴， ∴． （3）解：当时，， 解得， ∴乙车在该路段上的总用时为（小时）， 乙车的平均速度为：， ∴乙车在该区间测速路段超速了． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 20．（10分）综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）45 ，135 ，135 ，；（2）与仍然相等，理由见解析；（3）的长为5或 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）取边的中点，连接．根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）在边上截取，连接，根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）分当点E在边上时，当点E在的延长线上时，两种情况，利用正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形， ，． 是边的中点，是边的中点， ，， ． ． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． 又， ． 又，， ． ． 故答案为：45，135，135，； （2）与仍然相等，理由如下： 如图2，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，即， 是正方形外角的平分线， ， ， ， 在和中， ； （3）分两种情况讨论： ①如图3-1，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ； ②如图3-2，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接， 同理（2）可得， ， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， ， 综上所述，的长为或者． 21．（10分）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 22．（12分）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值； (2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标； (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程； (4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）直接写出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）求出直线的解析式，根据对称性求出点坐标，进而得到点的纵坐标，代入二次函数解析式，求解即可； （3）求出线段的三等分点的坐标，用待定系数法可得抛物线平移后的解析式，从而可得评议前后两函数顶点之间的距离，即可得出答案； （4）分两种情况：当时，点在点上方，结合图象求出，当 时，点在点上方，结合图象求出，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于A，两点， ∴对称轴为直线，， ∴； （2）由（1）知，， 当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N， ∴关于直线对称， ∵R为线段的中点， ∴的横坐标为， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， 把代入，得：， 解得：或， ∵点在点的右侧， ∴点的横坐标为； （3）∵，， ∴将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度可得，， ∴线段的两个三等分点坐标为，， 设平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为，其顶点为， 而抛物线的顶点为， ∴平移前，后抛物线的顶点之间的距离为， ∴抛物线平移的最短路程为； （4）∵轴， ∴ ， 当时，点在点上方， ∵， ∴，解得， ∵， ∴； 当时，点在点上方， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 综上所述：的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图形和性质，二次函数图象的平移，矩形的性质等知识点，综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2025的相反数是（   ） A． B． C． D．2025 2．水是生命之源，是所有生物生存所依赖的重要资源，也是生物体最重要的组成部分．已知水分子的直径为0.00000000028米，则0.00000000028用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算结果为的是 （   ） A． B． C． D． 5．如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 6．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的最小值是的长 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 7．计算： ． 8．若a为方程的解，则的值为 ． 9．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 10．如图，当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂成反比例．动力与动力臂的部分数据如表所示，则表中的值为 ． 11．如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12．（6分）先化简，再求值：，其中． 13．（6分）甲、乙、丙、丁名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选名同学打第一场比赛．若从名同学中随机选取名同学打第一场比赛，请用画树状图或列表法，求其中有乙同学的概率． 14．（6分）某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 15．（7分）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上． (1)如图1，画与关于点O的中心对称的图形； (2)如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形； (3)如图3，画一个以为对角线，且面积为9的平行四边形． 16．（7分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． (1)________m，_______m（结果保留根号）； (2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 17．（7分）如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于，于，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 18．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下： 数据收集：从全校随机抽取20名学生，对他们每周用于课外阅读的时间进行调查，数据如下（单位：min） 30 60 81 50 44 110 130 146 80 100 60 80 120 140 75 81 10 30 81 92 整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格： 课外阅读时间（单位：min） 等级 C B 人数 3 4 分析数据：补全下列表格中的统计量： 平均数 中位数 众数 80 c 81 得出结论： (1)表格中的数据：______，______，______． (2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为_______． (3)如果该校现有学生600人，估计等级为“”的学生有_______人． (4)假设平均阅读一本课外书的时间为，请你用样本平均数估计该校学生每人每年（按52周计算）平均阅读多少本课外书． 19．（8分）区间测速是指在高速公路某一路段的起点与终点设置监控点，根据车辆通过两监控点的时间，计算车辆在该路段上的平均速度，若平均速度超过该路段限速，则判定为超速． 某地有一段区间测速路段，长为50千米，限速为120千米/小时．甲车以105千米/小时的速度从起点驶入该区间测速路段，匀速行驶；乙车比甲车晚小时，同方向从起点驶入该区间测速路段，以135千米/小时匀速行驶了小时后，降低车速，以千米/小时匀速行驶完剩余路段（减速时间忽略不计），当甲车行驶了小时时，行驶路程为千米，此时乙车在甲车前方4千米处．已知在此区间测速路段，两车行驶的路程（千米）与甲车在此路段行驶的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)求的值； (2)求的值； (3)通过计算判断乙车在该区间测速路段是否超速． 20．（10分）综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 21．（10分）已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22．（12分）如图，抛物线L：与x轴交于A，两点，与y轴交于点C． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值； (2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段于点R．当R为线段的中点时，求点N的坐标； (3)将线段先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段．若抛物线L平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线L平移的最短路程； (4)P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作轴于点Q，E为y轴上的一点，纵坐标为．以为邻边构造矩形，当抛物线L在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 10 / 11 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考考前最后一卷（吉林省卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 15分） 7．_________________ 8．___________________ 9．__________________ 10．__________________ 11. ___________________ 三、（本大题共 11个小题，共 87分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 12．（6分） 一、选择题（每小题 3分，共 18分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 13．（6分） 14．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（7分） 16．（7分） 17．（7分） (1) 18．（8分） (1) a ______，b  ______， c  ______． (2) _______． (3) _______人． (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2) 19．（8分） （1） （2） （3） 20．（10分） （1）_________，_________，_________，_________． 【问题解决】（2） 【拓展探究】（3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） (1) (2) (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (1) (2) (3) (4) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分）