精品解析：2025年河南省荥阳市九年级第二次学业质量测试 数学

2024-2025年九年级第二次学业质量测试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 2024年政府工作报告显示：我国文旅市场持续火热，接待旅客突破10亿人次，10亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 3. 禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 4. 如图，．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 中考体育测试，小明选择的考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩： 成绩/次 160 175 179 180 次数 2 4 2 2 则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（　　） A. 175次 B. 176次 C. 177次 D. 173.8次 6. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法确定 7. 如图，量角器线和含角的直角三角板的斜边重合，点是量角器外边缘上一点，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 10. 如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个可以与合并的单项式______． 12. 不等式组的解集是________． 13. 如图，等边三角形中，，分别以点，为圆心，为半径作弧和弧，两弧交于点，点，，在同一条直线上，则阴影部分的面积是___________． 14. 如图，在平行四边形中，、、分别为，的中点，连接并延长至，满足，连接，．点是的中点，连接交于点，若，．则的长为______． 15. 如图，点，，为平面内一点，满足，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，线段的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校开学初组织学生开展“安全第一课”活动，活动分“宣讲宣传—知识学习—知识竞赛—实践防护”等阶段，全校学生全员参加安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【收集整理】 成绩得分用x表示，其中A：；B：；C：；D：，其中90分以上（不含90分）为优秀． 七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94，92，93． 八年级20名学生在B组的分数是93，93，92，93，93，93，93，93． 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 95 八年级 92 93 b （1）填空：_________，_________，_________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“安全第一课”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生720人，八年级有学生640人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 18. 如图，，为角内部一条线段． （1）如图2，小鑫同学已过点D作． 小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据． 作法一：利用尺规作图，作，理论依据：__________________； 作法二：利用尺规作图，过点D作_________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． （2）在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点A，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法． 19. 如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4． （1）求的值； （2）若，将直线向上平移2个单位长度得到直线． ①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值． 20. 如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧内部，圆心为，其中为岛屿上两个警示灯塔，其中为警示角，为了保证深水船不进入浅滩，测量的大小，与警示角比较．某一时刻，深水船行驶到某一位置，此时直线和直线恰好与弧相切． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）若，测得海里，则深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：） 21. 体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． （1）求足球、篮球的单价； （2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 22. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 23. 【问题提出】 在中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点P为的中点，作射线交于点F，判断与的位置关系与数量关系． （1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出和的关系________，________； （2）再探究一般情况，如图所示，判断与关系，并说明理由； 【问题应用】 （3）当，且时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年九年级第二次学业质量测试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值是解题的关键； 先得出每个选项的绝对值，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：由题意可得 ， ， ， ， ∵， ∴绝对值最大的是， 故选：A． 2. 2024年政府工作报告显示：我国文旅市场持续火热，接待旅客突破10亿人次，10亿用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示一个大数，解题的关键是准确掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：10亿， 故选：B． 3. 禹州神垕素有“钧都”之称，禹州的钧瓷是我国五大名瓷之一，以其“入窑一色，出窑万彩”的神奇变幻而著称，素有“窑变无双，钧瓷无对”之称．下面是刘志钧的作品《天球瓶》．下列关于它的说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三种视图均相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义即可得． 【详解】解：由题意可得主视图和左视图相同，故选项C符合题意． 故选：C． 4. 如图，．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．先证明，则，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴ 故选：B 5. 中考体育测试，小明选择的考试项目是1分钟跳绳，下面记录的是他10次一分钟跳绳成绩： 成绩/次 160 175 179 180 次数 2 4 2 2 则小明这10次一分钟跳绳的平均成绩是（　　） A. 175次 B. 176次 C. 177次 D. 173.8次 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题关键是掌握加权平均数的公式． 利用加权平均数的公式进行计算即可． 【详解】解：（次）， 故选：D． 6. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判定式，由一次函数图象可得，，进而可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由一次函数图象可得，，， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 7. 如图，量角器线和含角的直角三角板的斜边重合，点是量角器外边缘上一点，则图中的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等进行解答即可． 【详解】解：∵和所对的弧相同， ∴， 故选：D． 8. 国庆假期，嘉嘉和琪琪准备乘坐高铁去北京旅游，高铁座位安排如图所示，这两位同学从这五个座位中依次随机选取1个座位，他们选取到相邻座位（不能间隔过道）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，得出共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种，根据概率公式可得结论． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图得总共有20种等可能的结果数，相邻座位（不能间隔过道）的情况有6种， ∴ 他们选取到相邻座位的概率． 9. 下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ） ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额y与通话时间x的关系； ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间x与行驶速度y之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度y与水平距离x之间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离y与所用时间x之间的关系． A. ②③①④ B. ①④③② C. ②③④① D. ②①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图像的问题，充分理解两个量之间的函数关系是解题关键．先理解函数图像的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图像，即可作答． 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： ②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间与行驶速度之间的关系； ③一名学生推出实心球，实心球的行进高度与水平距离之间的关系； ①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额与通话时间的关系； ④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离与所用时间之间的关系． 故选：A． 10. 如图，菱形的对角线交于坐标原点O，已知点，将菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则旋转2025秒时点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和菱形的综合，旋转的性质，菱形的性质以及求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和菱形的性质．根据周期性确定点的最终位置，通过菱形的性质和中心对称得出，最后利用全等三角形的性质得出． 【详解】解：由题意得菱形旋转4次为一个周期， ∴ 如图所示，此时点落在了处，过点作轴交于点，过点作轴交于点， 根据旋转的性质可得，， ， ∵，根据菱形的性质，对角线互相平分， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个可以与合并的单项式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：可以与合并的单项式为， 故答案为：． 12. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴， 解得， ∴由得， ∴， 解得， 故不等式组的解集是， 故答案为：． 13. 如图，等边三角形中，，分别以点，为圆心，为半径作弧和弧，两弧交于点，点，，在同一条直线上，则阴影部分的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式． 连接，则是一个与等边三角形同边长的等边三角形，得出阴影部分的面积即为扇形的面积，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，则是一个与等边三角形同边长的等边三角形， ∴弓形与弓形面积相等 ∴， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，、、分别为，的中点，连接并延长至，满足，连接，．点是的中点，连接交于点，若，．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，，所以，由，得，所以，可证明四边形是菱形，则，所以，由，，证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，则，，因为，所以，由，且，得，则，而，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，点，，为平面内一点，满足，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接，线段的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，在上截取，证明，得到，而，由得，当且仅当点三点共线时，取得最小值，过点作轴于点，当点三点共线时，，根据相似三角形的性质得到，再解即可． 【详解】解：∵点，， ∴， 如图，连接，在上截取， ∵， ∴， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当且仅当点三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，如图： 过点作轴于点， 当点三点共线时，， ∵， ∴， 同理：， ∵轴， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，解题的关键是构造相似三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用求一个数的立方根，化简绝对值和负整数指数幂法则进行计算即可； （2）先进行括号里面的分式的通分，然后进行因式分解，最后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 某校开学初组织学生开展“安全第一课”活动，活动分“宣讲宣传—知识学习—知识竞赛—实践防护”等阶段，全校学生全员参加安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析． 【收集整理】 成绩得分用x表示，其中A：；B：；C：；D：，其中90分以上（不含90分）为优秀． 七年级20名学生在B组的分数为91，92，93，94，92，93． 八年级20名学生在B组的分数是93，93，92，93，93，93，93，93． 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 95 八年级 92 93 b （1）填空：_________，_________，_________，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“安全第一课”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有学生720人，八年级有学生640人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1） 93；93；70；补全条形统计图如图所示： （2） 我认为七年级学生成绩较好， 依题意，七、八年级学生成绩的平均数、中位数及优秀率均一样，但七年级学生成绩的众数是95，高于八年级学生成绩的众数．（合理即可） （3）952人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数等知识，理解题意，把题目中提够的统计图和所列的表格结合起来，并结合提供的数据进行综合分析是解题关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，运用优秀人数除以总人数即可得的值，数出七年级B组的人数即可补全条形统计图； （2）根据平均数、中位数和优秀率进行判断即可； （3）用样本的优秀率估计总体优秀率，再进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵从该校七年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析， ∴中位数排在第和名， 把七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分， 因此中位数， 则八年级学生竞赛成绩93出现的次数最多，故众数， 则七年级20名学生在B组的人数为， 图如答案所示； 故答案为：93，93，70 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． ∴估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有952人． 18. 如图，，为角内部一条线段． （1）如图2，小鑫同学已过点D作． 小鑫的作法利用尺规作图完成，请你根据题意提供的两种作法，并补充完整理论依据． 作法一：利用尺规作图，作，理论依据：__________________； 作法二：利用尺规作图，过点D作_________，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． （2）在小鑫的作法基础上，利用尺规作图，在上找一点A，使得四边形为矩形，（保留作图痕迹，不写做法）提供两种作法． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行；，垂足为点C （2） 作法1：如图， 作法2：如图． 【解析】 【分析】本题主要考查复杂作图，平行线的判定，矩形的判定，正确作图是解答本题的关键． （1）根据作法写出依据和补全作法即可； （2）依据矩形的判断作图即可． 【小问1详解】 解：作法一：利用尺规作图，作，理论依据：内错角相等，两直线平行； 作法二：利用尺规作图，过点D作，垂足为点C，理论依据：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；，垂足为点C 【小问2详解】 解：作法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是矩形． 作法2：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则四边形是矩形． 19. 如图，直线过原点，交双曲线于，两点，轴，垂足为点，且的面积为4． （1）求的值； （2）若，将直线向上平移2个单位长度得到直线． ①求的值，并直接写出当时，对应的自变量的取值范围；②若点，过作轴的平行线交直线于点，交双曲线于点，当三点中，其中一点是以另外两点为端点的线段的中点时，请直接写出的值． 【答案】（1）4 （2）①，或；②或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，函数图象的平移，函数和不等式的结合，函数图象和中点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． （1）利用反比例函数和正比例函数的性质可知，图象交点关于原点对称，得出，然后利用反比例函数的性质即可求解； （2）①先通过求出正比例函数的解析式，然后联立解析式求出交点坐标，根据函数图象的性质即可得出自变量的取值范围； ②由点得，，，分别以点和点为中点时，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据反比例函数和正比例函数的性质可知，图象交点关于原点对称， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴假设，代入得， ， 解得， ， 联立 解得或 通过图象交点可得当时，自变量的取值范围为或； ②由点得，，， 当点为中点时，， 解得或； 当点为中点时，， 解得或； 综上可得，或或或． 20. 如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧内部，圆心为，其中为岛屿上两个警示灯塔，其中为警示角，为了保证深水船不进入浅滩，测量的大小，与警示角比较．某一时刻，深水船行驶到某一位置，此时直线和直线恰好与弧相切． （1）判断和的大小关系，并说明理由； （2）若，测得海里，则深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：） 【答案】（1） ，理由如下： 设交弧于点，连接． 可得. 在中，， ， 同理可证， ， 即． 又， . （2）11.25海里 【解析】 【分析】（1）设交弧于点，连接．，，得．结合，即得； （2）根据切线性质可得，，得，求出，由即得． 【小问1详解】 解：（1）略 【小问2详解】 解：由题意可知，和为的切线， ． 又， ， ． 又， . 在中，海里， ， . （海里）． 深水船沿方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶11.25海里. 【点睛】本题主要考查了圆与解直角三角形的综合问题．熟练掌握三角形外角性质，圆周角定理，圆切线性质，四边形内角和，解直角三角形相关计算，是解决本题的关键． 21. 体育已经作为中考重点考查项目，分过程性评价和终结性评价，其中足球、篮球也是主要考查对象．为了增强学生体育素养，某校准备花费15000元购买这两种球，第一种方案恰好可以购买篮球100个，足球100个；第二种方案恰好可以购买篮球120个，足球60个． （1）求足球、篮球的单价； （2）因学生参与积极性高，参加人数多，现决定再以同样的单价购买足球和篮球共100个，其中足球数量不超过篮球数量的，如何设计购买方案，才能使花费最少？ 【答案】（1）足球的单价均为50元，篮球的单价为100元 （2）当购买足球20个，篮球80个时花费最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买篮球 100 个，足球 100 个或购买篮球 120 个，足球 60 个均花费 15000 元”列二元一次方程组进行计算解答； （2）设购买足球的数量为个，则购买篮球个，花费为元，根据“足球数量不超过篮球数量的”列不等式确定的取值范围，然后列出关于的函数解析式，并根据一次函数的性质分析最值． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得， 解得． 足球的单价为50元，篮球的单价为100元． 【小问2详解】 解：设购买足球的数量为x个，则购买篮球个，花费为y元． 则有， ． ． ， 随x的增大而减小． 又， 当时，y有最小值，最小值为9000， 当购买足球20个，篮球80个时花费最少． 22. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 【答案】（1） （2）向上调整 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）令，求出的值，然后把代入，求出的值，再令，得即可解答． （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：令， 解得，． 把代入， 得， 解得． ， 令， 得． “间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，“间发式”模式下球第二次接触台面时距出球点的水平距离为． 设调整后“直发式”下，球的运动轨迹的函数表达式为． 把代入， 得， 解得． 要使，“直发式”发球器出口高度应向上调整． 23. 【问题提出】 在中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点P为的中点，作射线交于点F，判断与的位置关系与数量关系． （1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出和的关系________，________； （2）再探究一般情况，如图所示，判断与关系，并说明理由； 【问题应用】 （3）当，且时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）， 理由如下： 延长至点M，使，连接和分别交于点J和K，如图， ∵ 为的中点， ∴， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得点与点 重合，则 为的中点，结合直角三角形的性质即可知； （2）延长至点M，使，连接和分别交于点J和K，则和，根据旋转的性质得，进一步证明，有，即可得，则有和； （3）分两种情况：当点D位于上，则，过点A作于点H，则，结合勾股定理即可求得；当点D位于延长线上，根据等量关系即可得点B和点P重合，结合等腰三角形的性质即可． 【小问1详解】 解：∵点与点重合， ∴点与点 重合， ∵ 为的中点， ∴ 为的中点， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：当点D位于上时， ∵，， ∴， 过点A作于点H，如图， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当点D位于延长线上时， ∵，， ∴点B和点P重合，如图， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $