精品解析：2025年江苏省常州市新北区常州外国语学校中考一模数学试题

常州外国语学校 2024－2025学年第二学期九年级一模考试 数学 注：以下题目的答案，请全部做在答题纸上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 若（ ），则括号内应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 5. 能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点、、都在格点上，、分别与同一条网格线交于点、，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 某公司计划招募一批技术人员，他们对25名面试合格人员又进行了理论知识和实践操作测试，其中25名入围者的面试成绩排名，理论知识成绩排名与实践成绩的排名情况如图所示． 下面有3个推断： ①甲的理论知识成绩排名比面试成绩排名靠前； ②甲的实践操作成绩排名与理论知识成绩排名相同； ③乙的理论知识成绩排名比甲的理论知识成绩排名靠前． 其中合理的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：=___． 10. 分解因式：_________________． 11. 当_________时，分式的值为0． 12. 2025年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，截止2025年4月9日票房已超156亿，数据156亿用科学记数法表示为______． 13. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 15. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 17. 如图，矩形的长和宽分别是15和9，在其内部放置5个大小相同的正方形，且、、、四个点分别在矩形的四条边上，则______． 18. 如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程组和不等式组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 近年来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对B款聊天机器人的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有250人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数． 22. 如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率． 23. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 25. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点、是平面中的任意两个点，连接、、得到，如果是等腰直角三角形，且，那么我们称点、关于点关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点． （1）已知点，在点、、中，点的关联点是______（填字母）； （2）点、分别在一次函数、的图像上运动，若点、关于点关联，求点的坐标． （3）已知点的坐标为，以点为圆心，1为半径作，若存在上的点和直线上的点关于点关联，请直接写出的取值范围． 27. 如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 28. 如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）______； （2）是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标． （3）若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州外国语学校 2024－2025学年第二学期九年级一模考试 数学 注：以下题目的答案，请全部做在答题纸上． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：C． 2. 若（ ），则括号内应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，根据题意得出，然后根据同底数幂的乘法法则即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：括号内应填的单项式是， 故选：． 3. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，俯视图指从上往下看到的图形，逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：A、该几何体俯视图是四边形，此选项不符合题意； B、该几何体俯视图是圆，此选项不符合题意； C、该几何体俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意； D、该几何体俯视图是三角形，此选项符合题意． 故选：D． 4. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 5. 能说明命题“任何数a的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】a的平方大于等于0，因此找出a的平方等于0的选项即可． 【详解】解：当时，a的平方等于0， 因此能说明命题“任何数a的平方都大于0”是假命题， 故选B． 【点睛】本题考查举反例，掌握“a的平方大于等于0”是解题的关键． 6. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角β的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，如解析图中，根据受力分析图结合三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，根据受力分析图可知，， ∵斜面的坡角， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点、、都在格点上，、分别与同一条网格线交于点、，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取格点，连接得到，再证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接 正方形网格中每个小正方形边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 某公司计划招募一批技术人员，他们对25名面试合格人员又进行了理论知识和实践操作测试，其中25名入围者的面试成绩排名，理论知识成绩排名与实践成绩的排名情况如图所示． 下面有3个推断： ①甲的理论知识成绩排名比面试成绩排名靠前； ②甲的实践操作成绩排名与理论知识成绩排名相同； ③乙的理论知识成绩排名比甲的理论知识成绩排名靠前． 其中合理的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所示的实际意义从而获取正确的信息．本题考查折线统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：由图知：甲的面试成绩排名为11，理论知识成绩排名为8； 乙的面试成绩排名为7，实践操作成绩排名为15， 横轴都是面试成绩排名， 根据图可知，甲的实践操作成绩排名为8，乙的理论知试成绩排名为5， 甲的理论知识成绩排名为8，面试成绩排名为12， ①合理； 甲的实践操作排名为8，理论知识排名为8， ②合理； 乙的理论知识排名为5，甲的理论知识排名为8， ③合理． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 10. 分解因式：_________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式3a，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 11. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为 0 ， ∴，且， 即． 故答案为：． 12. 2025年春节上映的《哪吒之魔童闹海》在海内外持续上映，截止2025年4月9日票房已超156亿，数据156亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：156亿． 故答案为：． 13. 已知反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 _________________ 【答案】 【解析】 【分析】由于反比例函数的图象当x>0时，y随x的值增大而增大，可知比例系数为负数，据此列出不等式解答即可． 【详解】解：反比例函数，在x＞0时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性得出比例系数的正负是解题的关键． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 15. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质的大，根据中点坐标得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，，如图所示，过点作轴于点，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵分别是边的中点，若点的纵坐标分别是， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 17. 如图，矩形的长和宽分别是15和9，在其内部放置5个大小相同的正方形，且、、、四个点分别在矩形的四条边上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，过点F作于T，由矩形的性质可得，再证明四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质可得，则可导角证明，设小正方形的边长为x，则，解直角三角形可求出，据此可求出的长，进而可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于T， ∵四边形是矩形，且长和宽分别是15和9， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴； ∵， ∴， 设小正方形的边长为x，则， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图中，，，，若点为直线下方一点且，则的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，先根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质得，进而得，，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，的有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 三、解答题（本大题共有10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程组和不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解集为； 【小问2详解】 解： 由得； 由得； ∴， ∴不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可． 【详解】解：原式 ． ∵ ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键． 21. 近年来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对B款聊天机器人的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有250人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数． 【答案】（1）15，88.5，98 （2） A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高， A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）70人 【解析】 【分析】(1)先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； (2)根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可； (3)先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案； 【小问1详解】 ∵A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”与“比较满意”共有人， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88、89， 中位数为， ， B款数据中，98出现4次，次数最多， 款众数为98， ， 故答案为：15，88.5，98； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有人； 【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、扇形统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算； 22. 如图，有四张背面完全相同的纸牌、、、，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀． （1）从中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，求摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，概率公式，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）由中心对称图形的定义可知，图案是中心对称图形的情况有3种，再根据概率公式求解即可； （2）由轴对称图形的定义可知，正三角形、正方形矩形是轴对称图形，再列表求概率即可． 【小问1详解】 解：由中心对称图形的定义可知，正方形、平行四边形和矩形是中心对称图形， 则共有4张牌，图案是中心对称图形的情况有3种， 因此摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 【小问2详解】 解：由轴对称图形的定义可知，正三角形、正方形矩形是轴对称图形， 列表如下： 由表格可知，共有种情况，其中摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的情况有6种， 即摸出的两张牌面图形都是轴对称图形的概率为． 23. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 24. 一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 【答案】720个 【解析】 【分析】设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符，根据每个字符的大小相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解． 答：调整前可打印的字符数为720个． 25. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， ∴， 解得， 故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式． 【小问2详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴，设， 根据题意，得， ∴， 解得或， 故点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点、是平面中的任意两个点，连接、、得到，如果是等腰直角三角形，且，那么我们称点、关于点关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点． （1）已知点，在点、、中，点的关联点是______（填字母）； （2）点、分别在一次函数、的图像上运动，若点、关于点关联，求点的坐标． （3）已知点的坐标为，以点为圆心，1为半径作，若存在上的点和直线上的点关于点关联，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）B、D （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）可证明都是等腰直角三角形，则有，据此可证明是等腰直角三角形，则点是点P的关联点；由，可知点C不是点P的关联点；证明是等腰直角三角形，得到，则可证明B、P、D三点共线，进而可证明是等腰直角三角形，则点D是点P的关联点； （2）分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为H、G，设，证明，通过全等三角形的性质得到对应线段的长，进而可得，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案；同理可求出的坐标； （3）如图3-1所示，都是以T为直角顶点的等腰直角三角形，设，仿照（2）通过一线三垂直模型，表示出点N和点K的坐标，进而得到点N和点K的轨迹都是一条直线，再分别求出与这两条直线相切时t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点是点P的关联点； 如图所示，∵， ∴点C不是点P的关联点； ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即B、P、D三点共线， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点D是点P的关联点； 【小问2详解】 解：如图所示，分别过点P和点作y轴的垂线，垂足分别为H、G，设， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图， 同理可得， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，都是以T为直角顶点的等腰直角三角形，设， 过点N和点Q分别作y轴的垂线，垂足分别为R、S， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴点N在直线上运动， 同理可得， ∴点K在直线上运动； 设直线与x轴交于V，与y轴交于U，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-2所示，当与直线刚好相切于点时，连接， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-3所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； ∴当时，与直线有交点，即此时上一定存在点P是点Q的关联点； 设直线与x轴交于Z，与y轴交于W，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-4所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； 如图3-5所示，当与直线刚好相切时，同理可得此时， ∴， ∴； ∴当时，与直线有交点，即此时上一定存在点P是点Q的关联点； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 27. 如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 【答案】（1）如图所示，四边形即为所求； （2）①添加的条件为 理由：∵为的外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ 又∵ ∴四边形为矩形； ②或 【解析】 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求； （2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ①略 ②如图所示，过点A作交于点H， 由①得 ∴四边形为矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 当平分时，即 由①得 ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 综上所述，四边形的面积为或． 28. 如图，二次函数的图像与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）______； （2）是该二次函数的图像上一点，若，求点的横坐标． （3）若将该抛物线在间的部分记为图像，并将图像在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图像，记这个函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，即可求解； （2）由待定系数法得直线的解析为，①当在轴是上方时， 过作轴交于，交于，交轴于，设，，同理可求直线的解析式为， 由即可求解；②当在轴是下方时， 交轴于，交轴于，同理可求直线的解析式为，由，即可求解． （3）、为关于直线对称，可求，①当在的上方时，，可求，此时，，即可求解；②当在的下方时，，解得，此时，，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， 当时， ， 解得：，， ，， 设直线的解析为，则有 ， 解得：， 直线的解析为， ①当在轴是上方时， 如图，过作轴交于，交于，交轴于， 设， ， ， 同理可求直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 整理得：，（舍去）， 点的横坐标； ②当在轴是下方时， 如图， 交轴于，交轴于， 同理可求直线的解析式为， 当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：，（舍去）， 点的横坐标； 综上所述：点的横坐标或． 【小问3详解】 解：、为关于直线对称， ， ， ， 解得：， ①当在的上方时， ， 解得：， ， ， 当时， ， ，， ， ， 解得：， ； ②当在的下方时， ， 解得：， ， ， ，， ， ， 解得：， ； 综上所述：的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题，待定系数法，能熟练利用割补法求面积，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $