考前猜想04 平面向量与复数九种考法-决胜2025年高考数学考前猜想（新高考地区专用）

考前猜想04 平面向量与复数九种考法 一、题型归纳 1.复数的运算 利用复数的四则运算计算即可 注：有如下性质：如果，那么有 2. 复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 3.复数的模长及应用 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，公式为． 4.向量的线性运算 用基底表示向量的两种方法： （1） 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止； （2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 5.投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 6.向量的数量积运算 向量数量积的求法： （1） 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 7.向量的夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 8.向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 9.平面几何与向量数量积的最值范围问题 基底法： ①利用基底转化向量； ②根据向量运算律化简目标； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标； ②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求解 二、重难点例题及变式 类型一、复数的运算 例．（1）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】因为，所以，即． 故选：A （2）若是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】 【解析】， 因为是纯虚数， 所以，得. 故答案为： 【变式训练1】若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题设有，故，故， 故选：D 【变式训练2】若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（ ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【解析】依题意，，则， 所以. 故选：C 类型二、复数的几何意义 例．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【变式训练1】在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为对应点为, 所以, 即得. 故选：D 【变式训练2】已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，得到， 所以，其对应点为，位于第三象限. 故选：C. 类型三、复数的模长及应用 例．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，设是方程的实数根， 则，若，则，等式不成立， 所以，有， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式训练1】已知（为虚数单位），则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以， 故选：B 【变式训练2】已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由可得； 所以可得，即； 即. 故选：C 类型四、向量的线性运算 例．在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 【变式训练1】在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】,, 故 ， 故，解得. 所以. 故选:A. 【变式训练2】在中，，若，线段与交于点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示：    由可得分别为的中点， 由中线性质可得， 又，所以， 因此. 故选：B 类型五、投影向量 例．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 【变式训练1】已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意设直线的方向向量为，则， 而，则，即为直线的法向量， 又O到直线的距离为， 故在上的投影向量为，    故选：C 类型六、向量的数量积运算 例．在中，，点是的中点，则（ ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【解析】在中，点是的中点，所以,, 所以. 故选：A   【变式训练1】设 ，是向量，则“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式训练2】已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则= . 【答案】1 【解析】   . 故答案为: 1. 类型七、向量的夹角 例．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 【变式训练1】已知向量、满足，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，所以，， 所以，，则， 又因为， 所以，， 因为，因此，. 故选：A 【变式训练2】平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 类型八、向量的模 例．已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【解析】因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 故答案为：. 【变式训练1】若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【解析】因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，， 所以，所以． 故选：B 【变式训练2】已知向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，，则. 因为，即. 即,解得. 由，则.所以. 故选：C. 类型九、平面几何与向量数量积的最值范围问题 例．如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ）    A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】B 【解析】由题意可得，， 所以 因为，，，所以， 所以. 故选：B 【变式训练1】已知正方形的边长为2，若，则（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：    由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 【变式训练2】如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作交半圆弧于点，连接，如图， 而是正三角形，则，令夹角为， 当点P在弧上时，，当点P在弧上时，，于是， 显然，， 所以 . 故选：B 三、考前突破练 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故，故 故选：C. 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，所以该复数对应的点为， 该点在第一象限， 故选：A 3．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，所以， 所以． 故选：B 4．复数z满足，（i为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得：， 所以，. 故选：C． 5．在中，为上一点，且，则实数值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 6.已知，向量，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，向量，， 则，即， 变形可得， 则 又由，则， 当且仅当时等号成立， 则， 则的最小值为 故选：B 7.已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【解析】由，故为中点，又O是的外心， 易知：，且， 由在上的投影向量，即， 所以， 由图，. 故选：A 8．已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】依题意可设，，， 则，又， 所以，即，则点在以为圆心，半径的圆上运动， 因为，所以点在（）上运动，根据对称性不妨令点在（）上， 则表示圆上的点与（）上的点连线段的长度， 因为圆心到（）的距离， 所以的最小值为，即的最小值为.    故选：A 9．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 10．（多选）如图所示，在中，，，，分别是边上的两个三等分点，是的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，所以，所以A正确； 由， 设，因为， 所以，即， 可得，则，所以B正确； 由，所以C正确； 由， 所以，所以D错误． 故选：ABC． 11.若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 【答案】5 【解析】由可得； 则可得，因此. 故答案为：5 12.已知向量，在上的投影向量为，，则 . 【答案】 【解析】向量，， 在上的投影向量为，则，得， ，则， 解得. 故答案为： 13.已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设点,, 所以,即, 所以, 因为， 所以. 故答案为： 14.为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 【答案】 / 【解析】由题意知，如图， 由为等比三角形，得， 所以； 因为，所以点E为AC的中点， 则，又， 所以 ， ， 又，所以， 所以. 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前猜想04 平面向量与复数九种考法 一、题型归纳 1.复数的运算 利用复数的四则运算计算即可 注：有如下性质：如果，那么有 2. 复数的几何意义 利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 3.复数的模长及应用 （1）两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小. （2）复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，公式为． 4.向量的线性运算 用基底表示向量的两种方法： （1） 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止； （2）通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 5.投影向量 将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 6.向量的数量积运算 向量数量积的求法： （1） 求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 7.向量的夹角 （1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 8.向量的模 （1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 9.平面几何与向量数量积的最值范围问题 基底法： ①利用基底转化向量； ②根据向量运算律化简目标； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法： ①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标； ②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求解 二、重难点例题及变式 类型一、复数的运算 例．（1）已知，则（ ） A． B． C．0 D．1 （2）若是纯虚数，则实数a的值为 . 【变式训练1】若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（ ） A．i B． C．1 D． 类型二、复数的几何意义 例．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练1】在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练2】已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 类型三、复数的模长及应用 例．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知（为虚数单位），则（ ） A． B． C．1 D． 【变式训练2】已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ） A． B． C．1 D．2 类型四、向量的线性运算 例．在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【变式训练2】在中，，若，线段与交于点，则（ ） A． B． C． D． 类型五、投影向量 例．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 类型六、向量的数量积运算 例．在中，，点是的中点，则（ ） A． B．7 C． D． 【变式训练1】设 ，是向量，则“”是“或”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则= . 类型七、向量的夹角 例．已知向量满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量、满足，则与的夹角是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ） A． B． C． D． 类型八、向量的模 例．已知向量，满足，，则 ． 【变式训练1】若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ） A． B． C．4 D．12 【变式训练2】已知向量，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 类型九、平面几何与向量数量积的最值范围问题 例．如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ）    A．20 B．22 C．24 D．25 【变式训练1】已知正方形的边长为2，若，则（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练2】如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 三、考前突破练 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 4．复数z满足，（i为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 5．在中，为上一点，且，则实数值为（ ） A． B． C． D． 6.已知，向量，若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7.已知O是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则（ ） A． B． C．0 D．2 8．已知、、都是平面向量，且，若，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 9．（多选）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 10．（多选）如图所示，在中，，，，分别是边上的两个三等分点，是的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 11.若复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则 ． 12.已知向量，在上的投影向量为，，则 . 13.已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是 ． 14.为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为 ，若，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$