精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试高二（数学）试卷 命题人：孙启勇 校对人：郭玲玲 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 在等差数列中，若，则（ ） A B. C. D. 2. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 3. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 4. 已知数列中，且，则为（ ） A. B. C. D. 5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 6. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 在（1－x3）（1＋x）10的展开式中x5的系数是 A. －297 B. －252 C. 297 D. 207 8. 已知定义在上函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有7条数. B. 现有三张极地馆参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60. C. 实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中四个节目顺序固定共有151200种排法. D. 在的展开式中，含项的系数为55. 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和为 C. 第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D. 第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 曲线在点处的切线方程是 C D. 有两个不同的解，且 三.填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知等比数列满足，则______. 13. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有_________种． 14. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围__________. 四､解答题：（本大题共5小题，共计.77分）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式二项式系数和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同排队方式有多少种? （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性. （2）证明：当时，. 19. 有一种被称为汉诺塔（Hanoi）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号、、）．在杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下、小盘在上，操作过程中盘子可以置于、、任一杆上．记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为． （1）求，，，并猜想的值 （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试高二（数学）试卷 命题人：孙启勇 校对人：郭玲玲 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 在等差数列中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，故. 故选：C. 2. 现有3位同学参加校园文体活动，分别从4个项目中任选一个参加，不同选法的种数是（ ） A. 24 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】由题意可知每位同学均有4种选法，根据分步乘法计数原理可知， 不同选法的种数为. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出，再求出答案. 【详解】由，得，所以. 故选：B 4. 已知数列中，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入即可. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，， ，. 故选：A. 5. 为了践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山”理念，3月12日这天高二年级1至6班共6个班级决定去3个不同林场植树，若要求每组2个班，且1班2班在同一组，则符合条件的不同方法数是（ ） A. 48 B. 36 C. 18 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】平均分成三组，再全排列即可求解. 【详解】由题意需将6个班级先平均分为3组，且1班2班在同一组，有， 再分配到3个林场，共种方法， 故选：C. 6. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的图象可得是函数的极小值点，求出值，再解不等式. 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 7. 在（1－x3）（1＋x）10的展开式中x5的系数是 A. －297 B. －252 C. 297 D. 207 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为 所以展开式中的的系数是的展开式的中的系数减去的的系数 由二项式定理，的展开式的通项为 令，则的展开式的中的系数为 令，则的展开式的中的系数为 所以的系数是 故答案选 考点：二项式定理． 【易错点晴】的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数及项数有关的组合数，而与，的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与，的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别．[来源:学_科_ 8. 已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 二､多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有7条数. B. 现有三张极地馆参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60. C. 实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中四个节目顺序固定共有151200种排法. D. 在的展开式中，含项的系数为55. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断A；利用组合计数问题判断B；利用定序问题判断C；求出二项式展开式指定项系数判断D. 【详解】对于A，从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条， 则从村经过村去村不同的路线有条，A错误； 对于B，在5人中确定3人去参观，没有排序要求，有种，B错误； 对于C，10个节目全排列有!种，则四个节目顺序固定共有种排法，C正确； 对于D，含项的系数为，D正确. 故选：CD 10. 如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论正确的是（ ） A. B. 第10行所有数字之和 C. 第12行从左到右第4个数与第5个数之比为4：9 D. 第2025行从左到右第1013个数比该行其他数都大 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据组合数公式：，可得答案； 对于B，根据二项式系数的求和公式，可得答案； 对于C，根据组合数公式：，以及组合数计算方法，可得答案； 遂于D，根据二项式系数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由题可知，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由题可知，第12行从左到右第4个数为，第5个数为， 则第12行从左到右第4个数与第5个数之比为，故C正确； 对于D，由题图可知，第2025行共有2026个数，从左到右第1013个数和第1014个数相等，且都是该行最大的，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 曲线在点处切线方程是 C. D. 有两个不同的解，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数、分式的性质求定义域判断A，应用导数几何意义求切线方程判断B，根据解析式化简判断C；利用导数研究的零点判断D. 【详解】由解析式知，故函数的定义域为，A对； 由且，则， 所以曲线在点处的切线方程， 则，B对； ，C错； 令，则， 所以在上都单调递增， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点， 所以在定义域内存在两个不同零点，分别位于、内， 若零点，则，且，即， 此时， 所以是的一个零点，即，故，D对. 故选：ABD 三.填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知等比数列满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的通项性质可得，再判断出的正负，从而可知等比数列中偶数项均为负，从而得出结论. 【详解】因为数列为等比数列，由， 所以，， 由，，知均为负数， 所以等比数列中偶数项均为负，即 故答案为：. 13. 如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有_________种． 【答案】420 【解析】 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：420． 14. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数在不同区间的单调性，进而求出极值，再结合函数在不同区间的表达式画出大致图象，最后根据函数图象与直线的交点个数来确定参数的取值范围． 【详解】 当时，，则. 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增. 当时，，当时，， 当时，， 当时，取得极小值. 又当时，，所以函数的大致图象如图. 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：（本大题共5小题，共计.77分）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式二项式系数和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1）60 （2）. 【解析】 【分析】（1）由二项系数和确定n,再利用二项展开式的通项公式求解 （2）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【小问1详解】 由题意得：，解得 由通项公式， 令，可得：.则常数项为 【小问2详解】 是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为. 16. 6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目． （1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同排队方式有多少种? （2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法和插空法即可求解； （2）将6为同学分成4组，计算每一类的情况即可. 【小问1详解】 根据题意，第一步：把甲乙看成整体和除丙丁外的两位同学排列有种排法， 第二步：再把丙丁插空排列有种排法， 所以共有种排法； 【小问2详解】 先将6为同学分成4组，按人数分有和种分法： 第一类：按分法有种分法； 第二类：按分法有种分法； 所以共有：种分法. 所以一共有种不同报名方式. 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）－2 （2）1093 （3）2187 【解析】 【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 故； 【小问2详解】 当时，； 由（1）知， 所以； 【小问3详解】 由展开式可知均为负值，均为正值， 结合（1）（2）可知， 故 . 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性. （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）构造函数，求导，确定最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，在上恒成立，在上单调递增； 当时，由得，由得 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由（1）知 要证， 只需证， 即证 令 即证， 因为，再令. 因为， 由，可得，，可得 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以， 所以当时，. 19. 有一种被称为汉诺塔（Hanoi）的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号、、）．在杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如图）．游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下、小盘在上，操作过程中盘子可以置于、、任一杆上．记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为． （1）求，，，并猜想的值 （2）求证：． 【答案】（1），； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得将个金盘从A杆移动到杆，可先先将个金盘从A杆移动到B杆，再将A杆上的第n个金盘移到C杆，再将B杆上的金盘全部移到C杆，据此可得答案； （2）由（1）可得，然后由，结合题意可完成证明. 【小问1详解】 注意到将个金盘从A杆移动到杆需要的最少移动次数与将个金盘从A杆移动到B杆需要的最少移动次数相同， 则将个金盘从A杆移动到杆，可先将个金盘从A杆移动到B杆，最少移动次数为， 再将A杆上的第n个金盘移到C杆，再将B杆上的金盘全部移到C杆，最少移动次数为， 则当，时，. 又由题可得，则， 【小问2详解】 由（1）， 则，又， 则是以为首项，公比为2的等比数列. 则，又注意到， 则，， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$