精品解析：2024年河南省平顶山市鲁山县西北七校中考三模数学试卷

2024年鲁山县西北七校中考三模数学试卷 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. 2. 用四个相同的小立方块搭几何体，要求从正面、左面、上面看到的几何体的形状图中至少有两个是相同的，则如图所示的四种摆放方式中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 郑州北站被称为全国设计布局最科学的编组站，有“编组站教科书”之称，是亚洲最大的列车编组站．郑州北站占地约为万平方米，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝2∠BOE， 若∠AOC＝120°，则∠BOE等于（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 9 7. 看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ） 马匹等级 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到点，第二次到点，设点 P 运动的路程为 x ，如图②，是点 P 运动时 y 随 x 变化关系图象，若，则以，，A ， B 四点组成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 已知方程组，则的值为______． 13. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周七天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如下所示的统计图： 则小亮这七天校外锻炼时间的中位数是__________分钟． 14. 如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 15. 如图，在中，，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点B作射线的垂线，垂足为点E，连接，，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是48人． 解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数； （3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数． 18. 如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． （1）试确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 19. 如图，将放在平面直角坐标系中，，，反比例函数经过点A．在反比例函数的图像上取一点C，使得，过点C作的垂线，交于点D，连接，并延长交于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）当点E刚好是的中点时，求的度数． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） （1）求此时水桶B所经过的路径长； （2）求此时水桶B上升的高度． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． （1）直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； （2）锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； （3）如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 23. 【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年鲁山县西北七校中考三模数学试卷 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. ﹣的相反数是（　　） A. ﹣ B. C. ﹣ D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：直接利用相反数的定义分析得出答案． 详解：-的相反数是：． 故选B． 点睛：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 2. 用四个相同的小立方块搭几何体，要求从正面、左面、上面看到的几何体的形状图中至少有两个是相同的，则如图所示的四种摆放方式中不符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形，根据以上内容逐个判断即可． 【详解】解：A．几何体的主视图、俯视图是相同的，故本选项错误； B．几何体的主视图、左视图是相同的，故本选项错误； C．几何体的主视图、左视图相相同，故本选项错误； D．几何体的主视图、左视图、俯视图都不相同，故本选项正确． 故选：D． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方和幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项分别计算即可作出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了积的乘方和幂的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 郑州北站被称为全国设计布局最科学的编组站，有“编组站教科书”之称，是亚洲最大的列车编组站．郑州北站占地约为万平方米，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法求解即可； 【详解】万． 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法表示方法是解题的关键． 5. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝2∠BOE， 若∠AOC＝120°，则∠BOE等于（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】先根据邻补角定义求得∠BOC的度数，然后在根据∠BOC=∠COE+∠BOE，∠COE＝2∠BOE，通过计算即可得. 【详解】∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=120°， ∴∠BOC=60°， ∵∠BOC=∠COE+∠BOE，∠COE＝2∠BOE， ∴∠BOE=20°， 故选B. 【点睛】本题考查了邻补角的定义、角的和差，结合图形灵活运用相关知识是解题的关键. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴，且， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题还考查了一元二次方程的定义，容易忽视二次项系数不为0这一隐含条件． 7. 看了《田忌赛马》故事后，数学兴趣小组用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6、4、2，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（ ） 马匹等级 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛， 当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上 双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢， ∴田忌能赢得比赛的概率为． 故选：B． 【点睛】此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半．结合即可求出的度数． 【详解】∵对的圆心角为，对的圆周角为，， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键． 9. 如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加，华氏温度就增加，因此可判断y与x之间是一次函数的关系，设一次函数表达式为，把，代入计算即可． 【详解】解：由表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加，华氏温度就增加，因此可判断y与x之间是一次函数的关系， 设一次函数表达式为，把，代入得：， 解得：， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的关系式，解题的关键是从表格中获取信息． 10. 如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到点，第二次到点，设点 P 运动的路程为 x ，如图②，是点 P 运动时 y 随 x 变化关系图象，若，则以，，A ， B 四点组成的四边形面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，求出，由题意可知，，画出图形，由题意得垂直平分，垂足为点，当点P从运动到点的过程中，，即，不变，得到，由勾股定理求出，，根据即可得到答案．此题考查了从函数图象获取信息，用到了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∴， ∴， 由题意可知，， 如图，垂直平分，垂足为点， 当点P从运动到点的过程中，，即，不变， ∴， 此时，，， ∴， 即以，，A ， B 四点组成的四边形面积为， 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式分解因式，直接利用提取公因式计算解题． 【详解】解：原式． 故答案为． 12. 已知方程组，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】方程组中的两个方程相减，即可得出答案． 【详解】解：， ①﹣②得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键． 13. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼，小亮记录了自己一周七天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如下所示的统计图： 则小亮这七天校外锻炼时间的中位数是__________分钟． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了折线图，中位数，根据中位数的定义：数据由大到小的排列，当数据个数为奇数时，中间位置的1个数是中位数，当数据个数为偶数时，中间位置的2个数的平均数是中位数求解即可． 【详解】解：将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70， 故答案为：70． 14. 如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 15. 如图，在中，，将线段绕点C顺时针旋转得到，过点B作射线的垂线，垂足为点E，连接，，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】自点C分别作直线的垂线，构造全等三角形与正方形，分两种情况讨论，然后根据全等三角形和正方形的性质并结合勾股定理进行计算即可． 【详解】分两种情况讨论． 第一情况：时，如下图．自点C分别作延长线的垂线，垂足为点F、G． 结合已知，得， ∴四边形为矩形． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形． 由线段旋转到知，，又 ∴ 在与中， ∴ ∴． 由四边形是正方形知 ∴，即． 设，则， 由，知． ∴． 由正方形得，． ∴． ∴． 第二情况：时，如下图．自点C分别作、延长线的垂线，垂足为点F、G． ∵ ∴四边形为矩形． 在与中， ∴ ∴． ∴四边形是正方形． 设，则， 由，得，． 则． 在与中，分别求得 ， ∴． 在中，， 即， 化简得： 解得：． ∴． 综合上面两种情况知，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质，解题的关键是正确作图的分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，立方根，负整数指数幂，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂公式，立方根，负整数指数幂公式计算，解答即可． （2）根据分式的加减乘除混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17. 教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理的工作通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是48人． 解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数； （3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3）每周使用手机时间在2小时以上的人数是1470人 【解析】 【分析】（1）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可； （2）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以即可得到结果； （3）由每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)所占的比乘以2100即可得到结果． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生数为：（人）， 用手机时间在3小时以上的人数为：（人）， 【小问2详解】 解：， 故扇形统计图中表示“玩游戏”的扇形圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：每周使用手机时间在2小时以上的人数是1470人． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 18. 如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A，B，C． （1）试确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； （2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】（1） 如图所示，圆心O即为所求． （2）圆片的半径R为 【解析】 【分析】（1）分别作出线段、的垂直平分线（以点A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，分别相交于点M、N；以点C，A为圆心，大于的长度为半径画弧，分别相交于点E、F；连接，），与的交点即为所在圆的圆心O； （2）连接交于D，连接，由等腰三角形的性质得，，由垂径定理得，根据勾股定理，得，建立等式，即，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交于D，连接， ∵是等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即圆片的半径R为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，作垂直平分线，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19. 如图，将放在平面直角坐标系中，，，反比例函数经过点A．在反比例函数的图像上取一点C，使得，过点C作的垂线，交于点D，连接，并延长交于点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）当点E刚好是的中点时，求的度数． 【答案】（1）；（2）15° 【解析】 【分析】（1）确定点的坐标，再代入确定的值即可； （2）利用直角三角形、等腰三角形的性质，得出即可． 【详解】解：（1）， ， 反比例函数过点， ， 反比例函数的关系式为； （2），， ， 在中，点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数关系式，直角三角形、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键． 20. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”．如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2，这是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．设点A从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，） （1）求此时水桶B所经过的路径长； （2）求此时水桶B上升的高度． 【答案】（1）1.7米 （2）1.6米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的性质应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由米，，得米，进而根据弧长公式求解即可； （2）过点O作，过点B作于点C，过点作于点D． 根据对顶角相等得，．在和中，解直角三角形即可得解。 【小问1详解】 解：∵米，， ∴米， ∴水桶B所经过的路径为圆心角度数为54.5度，半径为1.8米的弧长， ∴（米）． 【小问2详解】 解：如图，过点O作，过点B作于点C，过点作于点D． ∵，，， ∴，， ∴，． ∵（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度约为1.6米． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作． （1）直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； （2）锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； （3）如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 【答案】（1）抛物线为：；的半径 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． （1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【小问1详解】 解：根据已知抛物线顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， 将代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 如图，圆心为，连接、， ， 设，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； 【小问2详解】 解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 水面距离锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得：， 水面宽度为； 【小问3详解】 解：对于抛物线，如图所示： ， 当时，， ； 对于，如图所示： ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个． 23. 【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证，易证得≌，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系． 根据上述解题思路，请写出、、之间的数量关系是______； 【拓展延伸】 （2）如图2，在中，，，若点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离 cm． 【答案】 （1） （2）， 如图2，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形知，结合知，由知，证得，再证是等边三角形得； （2）延长到点E，使，连接，先证得，，据此可得，由勾股定理知，继而可得； （3）由直角三角形的性质知，，利用（2）中的结论知，据此可得答案． 【详解】解：（1）理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，即， 故答案为：； （2）略 （3）如图3，连接， ∵， ∴， ∴， 由（2）知． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $