2025年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题

2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第1 页（共 4 页） 2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛 暨 2025 年吉林省高中数学联赛试题 （2025年 5月 18日 星期日 上午 8:30---11：00） 题号 一 二 三（13） 三（14） 三（15） 三（16） 总 分 得分 评卷人 复核人 考生注意：本试卷共计 4 页，16 道题，满分 120 分 得分 一、选择题（本题共 6个小题，每小题 5分，满分 30分） 本题共有 6个小题，每小题均给出 A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的， 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得 5分；不选、选错或多选一律得 0 分. 1.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使用， 则不同的染色方法的总数为（ ） A. 120 B.260 C. 340 D. 420 2.已知三棱锥 A BCD− 中，平面 ABD⊥平面BCD，若 1AD DB BC CD= = = = ， 120ADB = ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． 7 π 3 B． 10 π 3 C． 13 π 3 D． 20 π 3 3.已知函数 ( ) ( )( )2sin 1 sinf x ln x x x R= + +  ，则存在非零实数 0x ，使得（ ） A． ( )0 1f x = − B． ( ) ( )0 0 2f x f x− − = C． ( )( ) ( )0 2 1f f x ln= + D． ( ) ( )0 0 3 2 f x f x + − = 4.函数 2 4 2( ) 3 2 5f x x x x x= + − + + 的值域是（ ） A.  )+,1 B. [2, )+ C. ( )+,32 D. ( )+,4 市 （ 区 、 县 ） 学 校 姓 名 性 别 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （ 密 封 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第2 页（共 4 页） 5.已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的左､右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 2，焦点到渐近线的 距离为 6 .过 2F 作直线 l交双曲线C 的右支于 ,A B两点，若 ,H G分别为 1 2AF F△ 与 1 2BF F△ 的内心， 则 HG 的取值范围为（ ） A． 4 6 2 2, 3       B． )3,2 C． 4 3 2, 3       D． 2 2,4   6.已知 2 2 2 1x y z+ + ≤ ，则 2 2 2 3x y z+ − + 的 取值范围是（ ） A．  41， B．  50， C． 3 2 2,3 2 2 − +  D． ( )252 +， 得分 二、填空题（本题共 6个小题，每小题 5分，满分 30分） 请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果. 7.若复数 z 满足 i 2 i 2 2z z+ + − − = ,则 z 的最小值为______． 8.设 , ,a b c是正整数，且成等比数列，b a− 是一个完全平方数， 6 6 6log log log 6a b c+ + = ，则 a b c+ + = ． 9.设 1a  − ，变量 x 满足 2x ax x+  − ，且 2x ax+ 的最小值为 1 2 − ，则a =_______． 10.设  P 为正方体 1 1 1 1   ABCD A B C D− 的 棱   AB 上的动点，则平面 1PDB 与平面 1 1ADD A 夹角的正 切值的最小值为___________. 11.6 名男生和 x 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻，至少有4名男生站 在一起的概率为 p ，若 1 100 p  ，则 x 的最小值为 ． 12.已知 , ,A B C 为Δ ABC 三内角,向量 ) 2 sin3, 2 (cos BABA +− = , 2|| = .如果当C 最 大时,存在动点M ,使得 |||,||,| MBABMA 成等差数列,则 || || AB MC 最大值是 ． 2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第3 页（共 4 页） 得分 三、解答题 （本题共 4 道大题，每题 15 分，满分 60 分） 13.已知 x为一实数， 0 πx  ，证明：对于所有的自然数 n， ( )sin 2 1sin3 sin5 sin 3 5 2 1 n xx x x n − + + + + − 的值为正数． 14.已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0) 3 x y C a a a − =  的左顶点为 A，右焦点为 F，P是直线 : 2 a l x = 上一点，且 P 不在 x轴上，以点 P为圆心，线段 PF的长为半径的圆弧 AF交 C的右支于点 N． (1)证明： 2APN NPF =  ； (2)取 1a = ，若直线 PF与 C的左、右两支分别交于 E，D两点，过 E作 l的垂线，垂足为 R， 试判断直线 DR是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第4 页（共 4 页） 15.在直角三角形 ABC 中， 90B = ，它的内切圆分别与边 BC ，CA， AB相切与点D， E， F ，连结 AD，与内切圆相交于另一点P，连结PC ，PE，PF ．已知PC PF⊥ ， 求证： //PE BC． 16.对于每项均是正整数的数列 P： 1 2, , , na a a ，定义变换 1T ， 1T 将数列 P变换成数列 ( )1T P ： 1 2, 1, 1, , 1nn a a a− − − ．对于每项均是非负整数的数列 1 2: , , , mQ b b b ，定义 2 2 2 1 2 1 2( ) 2( 2 )m mS Q b b mb b b b= + + + + + + + ，定义变换 2T ， 2T 将数列 Q各项从大到小排列，然 后去掉所有为零的项，得到数列 ( )2T Q ． (1)若数列 0P 为 2，4，3，7，求 ( )( )1 0S T P 的值； (2)对于每项均是正整数的有穷数列 0P ，令 ( )( )1 2 1k kP T T P+ = ， Nk ． （i）探究 ( )( )1 0S T P 与 ( )0S P 的关系； （ii）证明： ( ) ( )1k kS P S P+  ． 市 （ 区 、 县 ） 学 校 姓 名 性 别 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （ 密 封 装 订 线 内 不 要 答 题 ） A B C D P E F 1 2025 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛 暨 2025 年吉林省高中数学联赛试题 参考答案 一、选择题（本题共 6个小题，每小题 5分，满分 30 分） 1.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使 用，则不同的染色方法的总数为（ ） A. 120 B.260 C. 340 D. 420 解：若用五种颜色，则共有 120 5 5 =A （种方法；若用四种颜色，如图 15.1 所示，A，C 同 色，或B，D同色，共有 2402 4 4 4 5 =AC （种）方法；若用三种颜色，对角线上的顶点必同 色，由于四个侧面中任一个面确定下来，其余也随之确定，故共有 60 3 5 =A （种）方法. 综上，不同染色方法共有 120+240+60=420（种）. 选 D. 2.已知三棱锥 A BCD− 中，平面 ABD⊥平面BCD，若 1AD DB BC CD= = = = ， 120ADB = ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． 7 π 3 B． 10 π 3 C． 13 π 3 D． 20 π 3 解：如图所示，因为 1DB BC CD= = = ， 所以 BCD△ 为等边三角形，取 BD中点 M，连接 CM，则 BCD△ 外接圆圆心在 CM上，且设为 2O ，由正三角形性质可 得， BCD△ 外接圆半径 2 3 3 r CO= = ，则 2 3 3 3 2 3 6 O M = − = ， 在 ABD△ 中， 120ADB = ，AD=BD=1， 所以 2 2 2 2 cos120 3AB AD BD AD BD= + −   = ，即 3AB = ， 2 由正弦定理得 ABD△ 外接圆半径 3 1 2sin 3 2 2 AB r ADB  = = =   ， 设 ABD△ 外接圆圆心为 1O ，则 1 1 1 1O A O B O D r= = = = ，所以四边形 1ADBO 为菱形， 过 2O 作平面 BCD的垂线，过 1O 作平面 1ADBO 的垂线，两线交于点 O， 则 O为三棱锥的外接球的球心，连接 1O M ， 因为平面 ABD⊥平面BCD，且平面 ABD平面BCD BD= ， 1,CM BD O M BD⊥ ⊥ ，所以四边形 1 2OO MO 为矩形，则 1 2 3 6 OO MO= = ， 所以三棱锥的外接球半径 2 2 1 1 13 12 R BO OO BO= = + = ， 所以三棱锥的外接球的表面积 3 13 4 2   == RS . 选：C 3.已知函数 ( ) ( )( )2sin 1 sinf x ln x x x R= + +  ，则存在非零实数 0x ，使得（ ） A． ( )0 1f x = − B． ( ) ( )0 0 2f x f x− − = C． ( )( ) ( )0 2 1f f x ln= + D． ( ) ( )0 0 3 2 f x f x + − = 解： ( ) ( ) ( )2 2 2 1ln( ) ln sin 1 sin sin ln sin n 1 s n 1 i si x x x x x x f x = = − + − − = + + + ， ( ) ( )2ln sin 1 sinf x x x− = + − ， ( ) ( )f x f x − = − ， ( )f x 是定义在 R上的奇函数，令 sin [ 1,1]t x=  − ， ( ) ( ) ( )2ln 1f t t t f t= + + = − − ，当 [0,1]t 时， ( )f t 单调递增， ( ) ( ) ( )0 0 1 ln( 2 1)f f t f =   = + ， 又函数 ( )f t 为奇函数， ( ) ( ) ( )ln 2 1 ln 2 1f t− +   + ， 函数 ( )f x 的值域为 ( ) ( )[ ln 2 1 ,ln 2 1 ]− + + ， ( )1 ln 2 1−  − + ，不存在 0x 使得 ( )0 1f x = − 成立，A错误； ( ) ( ) ( )0 0 0f x f x f x− − = ，若 ( ) ( )0 0 2f x f x− − = 成立，则 ( )0 1f x = ，又函数 ( )f x 的值 域为 ( ) ( )[ ln 2 1 ,ln 2 1 ]− + + ， 3 所以 ( ) ( )0 0 2f x f x− − = 不成立，B错误； 若 ( )( ) ( )0 1 2 1f f x n= + 成立，则 ( )0 1f x = ， ( )0 1f x = 不成立，C错误； ( ) ( ) ( )20 0 0 0ln sin 1 sinf x x x f x + = + − = − ， ( ) ( )0 0f x f x + − ( ) ( )0 0 3 2 2 2 f x f x= − = − = 则 ( )0 3 4 f x = − 成立，故 D正确. 故选：D 4. 函数 2 4 2( ) 3 2 5f x x x x x= + − + + 的值域是（ ）． A.  )+,1 B. [2, )+ C. ( )+,32 D. ( )+,4 解：将 2 4 2( ) 3 2 5f x x x x x= + − + + 变形可得 ( ) 2 2 2 2( ) 2 ( 1)f x x x x= + − + + ， 设 ( )2,P x x ，则 ( )2,P x x 的轨迹方程为 2y x= ，设 ( 1,2)A − ， 则 ( )f x 表示抛物线 2y x= 上的点到点 A和 x轴的距离之和， 过 P点作PB x⊥ 轴于 B，过A点作 AC x⊥ 轴于C， 交抛物线 2y x= 于点 0P ， 故用 0 0 2PA PB P A PC AC+  + = = 所以 ( ) [2, )f x  + . 故答案为 B. 5.已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的左､右焦点分别为 1 2,F F ，离心率为 2，焦点到渐 近线的距离为 6 .过 2F 作直线 l交双曲线C的右支于 ,A B两点，若 ,H G分别为 1 2AF F△ 与 1 2BF F△ 的内心，则 HG 的取值范围为（ ） A． 4 6 2 2, 3       B． )3,2 C． 4 3 2, 3       D． 2 2,4   解：由题意，在 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   中，根据焦点到渐近线的距可得 6b = ，离心率 4 为 2，∴ 2 2 2 6 1 1 2 c b e a a a = = + = + = ，解得： 2a = ，∴ 2 2 2 2c b a= + = ∴双曲线的方程 为 2 2 : 1 2 6 x y C − = . 记 1 2AF F△ 的内切圆在边 1AF， 2AF ， 1 2F F 上的切点分别为 , ,M N E， 则 H ，E横坐标相等 AM AN= ， 1 1F M F E= ， 2 2F N F E= ， 由 1AF 2 2AF a− = ，即 ( )1 2 2AM MF AN NF a+ − + = ，得 1MF − 2 2NF a= ，即 1 2 2F E F E a− = ， 记 H 的横坐标为 0x ，则 ( )0 ,0E x ，于是 ( )0 0 2x c c x a+ − − = ，得 0x a= ， 同理内心G的横坐标也为a，故HG ⊥ x轴.设直线 AB的倾斜角为，则 2 2 OF G   = ， 2 90 2 HF O   = − （Q为坐标原点），在 2HF G△ 中， ( ) ( ) ( ) sin cos 2 2 22 2tan tan 90 2 2 sin sin cos sin 2 2 HG c a c a c a               = − + − = −  + = −  =           ， 由于直线 l与C的右支交于两点，且C的一条渐近线的斜率为 3 b a = ，倾斜角为60 ，∴ 60 120  ，即 3 sin 1 2   ，∴ HG 的范围是 4 6 2 2, 3       . 故选：A. 6. 已知 2 2 2 1x y z+ + ≤ ，则 2 2 2 3x y z+ − + 取值范围是（ ） A． 41， B．  50， C． 3 2 2,3 2 2 − +  D． ( )252 +， 解：因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 21 1 2 2y z y z x y z  + −  + + −  + +     ， 则 2y z−  − ，且 2 0x  ，可得 ( )2 2 2 3 0 2 2 3 3 2 2x y z+ − +  + − + = − ， 当且仅当 0x = ， 2 2 y = − ， 2 2 z = 时，等号成立； 又因为 2 2 2 1x y z+ + ≤ ，则 2 2 21x y z − − ， 可得 ( )2 2 22 2 3 4 2 2x y z y z y z+ − +  − + − + ． 的 5 且 ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1 2y z y z y z+ − + = − + + − ， 设点 ( )1,1A − 和标准单位圆面内点 ( ),P y z ，则 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2y z PA− + + − = − ， 又因为 ( ) 22 1 3 2 2PA OA − = − ，可得 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 2y z− + + −  − ， 则 ( )2 2 22 2 3 4 2 2 3 2 2x y z y z y z+ − +  − + − +  + ， 当且仅当 2 2 0, , 2 2 x y z= = = − 时，等号成立； 综上所述：所求 取值范围是 3 2 2,3 2 2 − + ． 故选 C 二、填空题（本题共 6个小题，每小题 5分，满分 30 分） 7.若复数 z满足 i 2 i 2 2z z+ + − − = ,则 z 的最小值为______． 答案： 2 2 解：由复数减法的几何意义可知最小值为 2 2 . 8.设 , ,a b c 是 正 数 数 ， 且 成 等 数 数 ， ， b a− 是 一 个 全 平 平 方 数 ， 6 6 6log log log 6a b c+ + = ，则a b c+ + = ． 答案：111或 108 解：由题意， 2b ac= ， 6log 6abc = ，所以， 66abc = ，故 26 36b = = ， 236ac = ． 于是，36 a− 是平方数，所以， a只可能为 11，20，27，32，35，36 而a是 236 的约数， 故 27a = 或 36a = ．而而 48c = ，或 36c = ． 27, 36, 48a b c= = = ，或 36a b c= = = 即所以 111a b c+ + = ，或 108a b c+ + = 9.设 1a  − ，变量 x满足 2x ax x+  − ，且 2x ax+ 的最小值为 1 2 − ，则a = _______． 答案： 3 2 − 解：由 1a  − 2x ax+ 的最小值为 1 2 − 知 0x  ，故由 2x ax x+  − 得0 ( 1)x a  − + ， 的 6 设 2 2 2( ) ( ) 2 4 a a f x x ax x= + = + − ． 若 ( 1) 2 a a− +  − ，即 2 1a−   − ，则 ( )f x 在 ( 1)x a=− + 取取最小值 ( 1) 1f a a− − = + ， 因此 1 1 2 a + = − ， 3 2 a = − ． 若 ( 1) 2 a a− +  − ，即 2a  − ，则 ( )f x 在 2 a x = − 取取最小值 2 4 a − ， 因此 2 1 4 2 a − = − ， 2a =  （舍去） 10. 设  P 为正方体 1 1 1 1   ABCD A B C D− 棱   AB 上的动点，则平面 1PDB 与平面 1 1ADD A夹 角的正切值的最小值为___________. 答案： 2 2 解：延长 1B P和 1A A交于点 Q,则 Q为平面 1PDB 与平面 1 1ADD A的公共点， 从而 DQ 为平面 1PDB 与平面 1 1ADD A的交线； 在平面 1 1ADD A内做 ⊥AH DQ于点 H,连PH ， 由正方体性质易知PA⊥平面 1 1ADD A，DQ面 1 1ADD A，则PA⊥ DQ， 又 , ,AH PA A AH PA= 平面 AHP，故DQ⊥平面 AHP，又HP平面 AHP， 故DQ⊥ HP，故 PHA 为二面角 1B DQ A− − 的平面角， 设 正 方 体 棱 长 为 1，  = , 0,1PA x x ， 易 知 1 1,QAP QB A 故 1 1 1 AP AQ A B AQ = ， 即 1 1 x AQ AQ = + ，则 , 1 x AQ x = − 由 AQD的面积得： 21 2 2 AD AQ x AH DQ x x  = = − + 7 故 2 2 1 1 2tan 2 2 1 2 2 2 2 AP PHA x x x AH    = = − + = − +     ， 当点 P为 AB 中点时等号成立， 故二面角 1B DQ A− − 正切值最小值为 2 2 ，则平面 1PDB 与平面 1 1ADD A 角角的正切值 的最小值为 2 2 . 11．6 名男生和 x名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生 站在一起的概率为 p，若 1 100 p  ，则 x的最小值为 ． 答案：594 解 ： 若 每 名 男 生 都 至 少 与 另 一 男 生 相 邻 ， 则 必 有 如 下 站 法 之 一 ： ,MM MM MM MMMM MM⎯ ⎯ ⎯ , , ,MM MMMM MMM MMM MMMMMM⎯ ⎯ . ( )1 虑站站法MM MM MM⎯ ⎯ .在每两名男生组成的空档之间安排一名女生，而而， 在 4个位置安排余下的 2x− 名女生.因此，这样的排法有 3 1xC + 种. ( )2 虑站站法MMMM MM⎯ ,MM MMMM⎯ ,MMM MMM⎯ .这样将男生分成两 个小组，空档之间安排一名女生，而而，在 3 个位置安排余下的 1x − 名女生.因此，这样 的排法有 2 1xC + 种. ( )3 虑站站法MMMMMM .将 6 名男生为为一个数体，与 x 名女生排，站，，有 1x + 种 排法. 综上所述， ( ) ( ) 2 1 3 2 2 1 1 2 1 6 6 1 3 1 8 6 100 x x x C x x p C C x x x + + + + + + = =  + + + + + .故 ( ) 2 592 594 0f x x x= − −  .注意到， ( )0 0f  ，故所求 x的最小值应满足 ( ) ( ) 1 0, 0. f x f x −    易知， ( ) 2593 593 592 593 594 1 0f = −  − = −  ， ( ) 2594 594 592 594 594 594 0f = −  − =  .从而 min 594x = . 12．已知 , ,A B C 为Δ ABC 三内角,向量 ) 2 sin3, 2 (cos BABA +− = , 2|| = .如 8 果当C最大时,存在动点M ,使得 |||,||,| MBABMA 成等差数，,则 || || AB MC 最大值是__ _____ 答案： 2 3 2 4 + 2)cos( 2 3 )cos( 2 1 2 2 sin3 2 cos2|| 22 =+−−+= + + − = BABA BABA  , 2 1 tantancoscossinsin2)cos(3)cos( ==+=− BABABABABA 22tantan4)tan(tan2 1tantan tantan )tan(tan −=−+−= − + =+−= BABA BA BA BAC 等号成立仅当 2 2 tantan == BA .令|AB|=2c,因 cMBMA 4|||| =+ , 所以, M 是椭圆 1 34 2 2 2 2 =+ c y c x 上的动点.故点C (0, c 2 2 )， 设 ( , )M x y ，则 2 2 22( ) 2 MC x y c= + − = cy c cyy c cyyyc 3||, 2 9 2 3 1 2 2 3 4 4 2 2 2 222 +−−=+−+− . 当 3y c= − 时, 2 MC max= 2 2 627 c + , max MC = c 2 16 + . 即 || || AB MC max= 2 3 2 4 + . 三、解答题（本题共 4道大题，每题 15 分，满分 60 分） 13.已知 x为一实数，0 πx  ，证明：对于所有的自然数 n ( )sin 2 1sin3 sin5 sin 3 5 2 1 n xx x x n − + + + + − 的值为正数． 解：令 ( ) ( )sin 2 1sin3 sin5 sin 3 5 2 1 n xx x f x x n − = + + + + − ，利用 ( ) ( )2sin sin 2 1 cos 2 2 cos2x k x k x kx− = − − ， 得 9 ( ) ( )cos 2 2 cos2cos2 cos4 cos4 cos6 2 sin 1 cos2 3 5 2 1 n x nxx x x x f x x x n − −− − = − + + + + − ( ) 1 1 1 1 1 1 1 cos2 1 1 cos2 cos4 cos6 cos 2 2 3 3 5 5 7 2 3 2 1 2 1 nx x x x n n n n         = − − − − − − − − − − −        − − −        1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 5 2 3 2 1 2 1n n n        − − + − + + − + =       − − −       ≥ . 如果等号成立。则有 ( )cos2 1 1, 2, , kx k n= = ，因因 0 πx  ，故 cos2 1x  ．于是得 ( )sin 0f x x  ．又因 sin 0x  ，所以 ( ) 0f x  ． 14.已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0) 3 x y C a a a − =  的左顶点为 A，右焦点为 F，P是直线 : 2 a l x = 上一 点，且 P不在 x轴上，以点 P为圆心，线段 PF的长为半径的圆弧 AF交 C的右支于点 N． (1)证明： 2APN NPF =  ； (2)取 1a = ，若直线 PF与 C的左、右两支分别交于 E，D两点，过 E作 l的垂线，垂足为 R，试判断直线 DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 解：（1）证明：过 N作 l的垂线，垂足为 H，且与圆弧 AF 交于点 M，则MN AF∥ ， 连接 AM，PM，NF．因为在圆 P中，PH AF PH MN⊥ ⊥， ，所以 | | | | | | | |AM NF MH HN= =， ． 由题易知右焦点 (2 ,0)F a ，设点 ( )0 0,N x y ，则 2 2 0 0 2 2 1 3 x y a a − = ，数理得 2 2 2 0 03 3y x a= − ． 因为 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 3 3 2 2| | 2 | | 2 2 2 2 x a y x a x a x a x aNF a a a aHN x x x x − + − + − − − = = = = = − − − − ， 所以 | | 2 | |NF HN= ，所以 | | | | | |AM NF MN= = ． 因为直线 : 2 a l x = 为双曲线 2 2 2 2 : 1( 0) 3 x y C a a a − =  的准线， 根据双曲线的第二定义，可知 | | 2 | | NF c HN a = = ， 即 | | 2 | |NF HN= ，即得 | | | | | |AM NF MN= = ． 在圆 P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得 APM MPN NPF = = ， 所以 2APN NPE =  ． （2）由题知双曲线 2 2: 1 3 y C x − = ，渐近线为： 3 3 y x=  ， 右焦点为 ( )2,0F ，直线 PF的斜率不为 0，设直线 PF的方程为 2x my= + 10 因为直线 PF 与 C 的左，右两支分别交于 E，D两点，则 3 3 , , 3 3 m      − −  +           ． 设 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 1 2 1 , , , 2 D x y E x y R y y y       ， ， ， 联立方程组 2 2 2 1 3 x my y x = +   − =  ，得 ( )2 23 1 12 9 0m y my− + + = ， 则 1 2 1 22 2 12 9 , 3 1 3 1 m y y y y m m + = = − − − ． 由题知，直线DR的方程为 2 1 2 1 1 1 2 2 y y y y x x −   − = −   − ， 令 0y = ，得 ( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 4 2 x y y my y y my y y y y y y y x y y y y y y y y − + − + − − + + − = = = = − − − − ( )2 1 2 1 5 54 4 y y y y − = = − ， 所以直线 DR过定点 5 ,0 4       . 15.在直角三角形 ABC 中， 90B =  ，的的内切圆分别与边 BC ，CA ， AB 相切与点 D ， E ， F ，连 AD ，与内切圆相交于另一点 P ，连 PC ， PE ， PF ．已知 PC PF⊥ ，求证： //PE BC． 证明：连 DE，DF，则 BDF 是等腰直角三角形． 于是 45FPD FDB = = ， 故 45DPC = ． 又 PDC PFD = ，所以 PFD ∽ PDC ， 所以 PF PD FD DC = ． ① 又由 AFP ADF = ， AEP ADE = ， A B C D P E F A B C D P E F 11 所以， AFP ∽ ADF ， AEP ∽ ADE ， 于是 EP AP AP FP DE AE AF DF = = = ， 故由①得 EP PD DE DC = ． ② 因为 EPD EDC = ， 合②得， EPD ∽ EDC ， 所以， EPD 也是等腰三角形，于是 PED EPD EDC = = ，所以 //PE BC . 16.对于每项均是正数数的数， P： 1 2, , , na a a ，定义变换 1T ， 1T 将数， P变换成数， ( )1T P ： 1 2, 1, 1, , 1nn a a a− − − ．对于每项均是非负数数的数， 1 2: , , , mQ b b b ，定义 2 2 2 1 2 1 2( ) 2( 2 )m mS Q b b mb b b b= + + + + + + + ，定义变换 2T ， 2T 将数， Q各项从大到小排，，然 后去掉所有为零的项，得到数， ( )2T Q ． (1)若数， 0P 为 2，4，3，7，求 ( )( )1 0S T P 的值； (2)对于每项均是正数数的有穷数， 0P ，令 ( )( )1 2 1k kP T T P+ = ， Nk ． （i）探究 ( )( )1 0S T P 与 ( )0S P 的关系； （ii）证明： ( ) ( )1k kS P S P+  ． 解：（1）依题意， 0 : 2,4,3,7P ， ( )1 0 : 4,1,3,2,6T P ， ( )( )1 0 2(4 2 1 3 3 4 2 5 6) 16 1 9 4 36 172S T P = +  +  +  +  + + + + + = . （2）（i）记 * 0 1 2 1 2: , , , , ( ), , ,n nP a a a a a a N ， ( )1 0 1 2: , 1, 1, , 1nT P n a a a− − − ， 2 1 0 1 2( ( 2[ 2 1) 3( 1) ( 1)( 1)) ( ]) nS T P n a a n a n= + − + − + + + − + 2 2 2 1 21) ( 1( ) ( 1)na a a+ − + − + + − ， 2 2 2 0 1 2 3 1 2( 2 2) ( )3 n nS P a a a na a a a= + + + + + + + + ， 1 0 0 1 2( ( 2 2 6( )) 4) 2 2 nS T P S P n a a a− = + + + + − − − 2 1 22( 1) 2 2 2 nn n a a a n− + + − − − − + 2 (2 6)3 0 2 n n n n +  = + − = ，所以 1 0 0( )) )( (S T P S P= . （ii）设A是每项均为非负数数的数， 1 2, , , na a a ， 当存在1 i j n   ，使得 i ja a 时，交换数，A的第 i项与第 j项得到数， B， 12 则 ( ) ( ) 2( 2( ) 0) ( )j i i j j iS B S A ia ja ia ja i j a a− = + − − = − −  ， 当存在1 m n  ，使得 1 2 0m m na a a+ + == = = 时，若记数， 1 2, , , ma a a 为C，则 ( ) ( )S C S A= ， 因此 ( )2( ) ( )S T A S A ，从而对于任意给定的数， 0P ， 由 ( )( )1 2 1 ( 0,1,2, )k kP T T P k+ = = ， ( ) ( )( )1 1k kS P S T P+  ，由（i）知 ( )( ) ( )1 k kS T P S P= ， 所以 ( ) ( )1k kS P S P+  .