精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2025年春学期期中考试 高二数学试卷 2025年4月26日 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 2. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项求导判断即可. 【详解】因为：， ， ， 故ACD计算正确； 因为，故B计算错误. 故选：B 3. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 4. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率公式、古典概型概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可. 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 6. 如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设建立适当空间直角爱坐标系求得两直线方向向量，代入夹角公式即可计算求解. 【详解】取BC的中点，连接AF，则由题意可得,，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 所以， 所以直线AC与直线所成角的余弦值为． 故选：A 7. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（    ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A：取的中点，连接.运用正方形性质和直线与平面垂直的判定定理，可得平面.再用直线与平面垂直的性质，所以，判断A.  对于选项B：已知正方形边长为，能得到.由于二面角是直的，且，运用线面垂直性质，结合用勾股定理算出，又，三边相等，是等边三角形. 判断B. 对于选项C：运用等体积法，先算出的体积，再算出的面积，根据体积公式就能求出. 判断C. 对于选项D：建立坐标系，得出、、、的坐标，进而得到向量、，用求向量夹角的方法算出余弦值，结合异面直线夹角范围，可知夹角是，不是，判断D. 【详解】对于选项A，取的中点，连接. 因为正方形，所以 又，根据直线与平面垂直的判定定理，可得平面. 而平面，根据直线与平面垂直的性质，所以，故选项A正确.  对于选项B，因为正方形边长为，所以. 由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，而平面，则. 在中，根据勾股定理，可得. 又，三边相等，所以是等边三角形，故选项B正确.  对于选项C，设点到平面的距离为. 根据三棱锥体积公式，，， 所以.. 由，即，解得，故选项C正确.  对于选项D，分别以所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，.，. 设与所成的角为，根据向量的夹角公式. ，，. 则，因为异面直线所成角的范围是，所以，故选项D错误.  故选：D. 8. 已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设知，研究的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定、的交点个数得，进而将目标式化为且，构造函数研究最小值即可. 【详解】由题设，即， 由，则上，递减；上，递增； ，且，图象如下： 由图知：时，，即且，所以， 令且，则， 时，，递减；时，，递增； 所以，即的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点睛：利用同构得到，导数研究的性质，结合得到为关键. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 10. 如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 与垂直 B. 与所成的角大小为 C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC：建立空间直角坐标系，利用向量法对各个选项逐一分析判断，即可求出结果；对于D：根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设， 则， 又、分别是、的中点，所以， 对于选项A，因为，，又， 所以，故与垂直，所以选项A正确， 对于选项B，因为，， 设与所成的角为， 则， 可知与所成的角大小不为，所以选项B错误， 对于选项C，因为，所以为正方形，连接，则， 又易知，，平面，所以平面， 又，，所以， 故平面，所以选项C正确， 对于选项D，由选项C知，且平面，平面， 所以平面，则平面，故选项D正确， 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的一个周期为 D. 在区间单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A选项正确. 函数的定义域是，关于原点对称， ， 所以是偶函数，B选项正确. ，所以C选选项错误. 当时，，， ， 令，整理得， 设，则在区间上单调递减， 所以D选项错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.用表示向量为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理及向量共线定理将转化为，，即可； 【详解】由题意可得， ，， ，， ； 故答案为： 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用全概率公式求任取一件取到的次品的概率即可. 【详解】由题设，从中任取一件取到的次品的概率为. 故答案为： 14. 已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令整理使和分别在左右两侧得到，构造函数，所以在上单调递减，由得，由同构得到，结合函数在上单调递增，得，再构造函数，利用导数求最大值即可得到的取值范围. 【详解】若，且，恒有， 令，则，， 令，则时，即在上单调递减， 则，所以，， 令，恒成立，在上单调递增， 故由，得，恒成立，所以， 令，，令得， 时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 所以，故． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：同构法解决求参数取值范围问题 本题中，将整理为，构造函数， 将整理为，构造函数. 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值 【解析】 【分析】（1）由于函数在点处的切线与轴平行，则求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性求解极值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 的定义域为：， 令，解得（舍去）或 若时，，单调递减； 若时，，单调递增. 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，有极小值为，无极大值. 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 【答案】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又 为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线 的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线 到平面的距离即为点 到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线 与平面所成角为 ，则， 所以直线 与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面， 平面， 所以平面， 所以直线 到平面的距离即为点 到平面的距离， 又， 所以点 到平面的距离， 即直线 到平面的距离为. 17. 袋中有大小､质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4. （1）从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列； （2）从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列､数学期望和方差. 【答案】（1）分布列： X 0 1 2 P Y 0 1 2 3 4 5 P （2）分布列：， 【解析】 【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，求出分布列；（2）得到，求出分布列，得到数学期望和方差. 【小问1详解】 由题可得X的所有可能取值为0，1，2 则X的分布列为 X 0 1 2 P 【小问2详解】由题易知 ，因Y服从二项分布 则Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P ∴， 18. 如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． （3）求点C到平面的距离． 【答案】（1） 证明：由，，， 则， ∴，则， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面， 故平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，进而得出，由面面垂直的性质得平面，再由面面垂直的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可； （3）由点到平面距离的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，点为中点，得， 因为，得，则， 所以。则， 以点为原点，以平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 由得，， 取，得，， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的大小为，则， 因此，则二面角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，，平面的法向量， 则点C到平面的距离． 19. 帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：. 注：. 已知函数在处的阶帕德近似. （1）求的表达式； （2）记，当时，证明不等式； （3）当，且时，证明不等式. 【答案】（1） （2） 因为， 所以. 记，则， 因为，所以，所以在单调递减. 所以，所以. （3） 由（2）得，当时，. 所以，当时，. 又因为，所以. 所以，当时，， ，， ， 以上各式两边相加，得． 【解析】 【分析】（1）根据的定义，即可利用求导以及待定系数求解系数，进而可求解， （2）构造函数，求导得单调性，即可求解最值求解， （3）根据（2）的结论，可得，由放缩法得，即可裂项相加，结合对数运算求解. 【小问1详解】 由题意，. 因为，所以，所以. 因为，且，所以. 因为，且，所以. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期中考试 高二数学试卷 2025年4月26日 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（    ） A. B. 是等边三角形 C. 点与平面的距离为 D. 与所成的角为 8. 已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 10. 如图所示的在长方体中，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 与垂直 B. 与所成的角大小为 C. 与平面所成角大小为 D. 直线与平面平行 11. 已知函数，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的一个周期为 D. 在区间单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，.用表示向量为_____________. 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件，则取到的次品的概率为________． 14. 已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________． 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求； （2）求的单调区间和极值． 16. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4， 为线段 的中点， 为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线 与平面所成角的正弦值. （3）求直线 到平面的距离. 17. 袋中有大小､质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4. （1）从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列； （2）从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列､数学期望和方差. 18. 如图，三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，，，分别为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． （3）求点C到平面的距离． 19. 帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：. 注：. 已知函数在处的阶帕德近似. （1）求的表达式； （2）记，当时，证明不等式； （3）当，且时，证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $