精品解析： 天津市西青区当城中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

当城中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷. 一､单选题：每小题3分，共60分. 1. 设全集U={-2,-1,0,1,2}，A={-2,-1,0}，B={0,1,2}，则（A）∩B= A. {0} B. {-2,-1} C. {1,2} D. {0,1,2} 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C D. 3. 下列运算正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 9. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的.现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ） A. 0.0008 B. 0.029 C. 0.031 D. 0.2483 11. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 12. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 13. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.8 14. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品概率是 A. B. C. D. 15. 已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 16. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ） A. 在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 17. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 19. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 20. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. （-∞，-1） B. （-1，1） C. （1，+∞） D. （-∞，1） 二､填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 21. 已知为虚数单位，则________． 22. 曲线在点处的切线方程为___________. 23. 已知X是离散型随机变量，且，若随机变量，则___________，___________. 24. 已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为____. 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 25. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______________. 26. 函数的单调递减区间为__________． 三､解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 27. 心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放.为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了50人，对是否观看的情况进，行调查，结果如下表： 年龄（单位：岁） 调查人数 4 11 15 8 7 5 观看讲座人数 4 11 12 6 3 1 （1）以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面列联表. 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计 观看讲座人数 未观看讲座人数 合计 （2）根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考： 独立性检验统计量，其中 28. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值； （3）若在上不单调，求的取值范围． 29. 历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （1）设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； （2）若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； （3）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 当城中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试卷. 一､单选题：每小题3分，共60分. 1. 设全集U={-2,-1,0,1,2}，A={-2,-1,0}，B={0,1,2}，则（A）∩B= A. {0} B. {-2,-1} C. {1,2} D. {0,1,2} 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全集U={-2,-1,0,1,2}，A={-2,-1,0}，B={0,1,2}，所以A，从而（A）∩B={1,2}，故选C． 考点：本题主要考查交集、补集的概念． 点评：基本题型，列举法直观，易于理解． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题知： 命题“”的否定为“”. 故选：B. 3. 下列运算正确的个数是（ ） ①； ②； ③； ④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用初等函数的导数公式运算判断得解. 【详解】①，所以该运算错误； ②，所以该运算错误； ③，所以该运算正确； ④，所以该运算正确. 所以正确的个数为2. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接解一元二次不等式即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论． 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误； 当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误； 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误， 故选：A. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D 8. 某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有(　　) A. 45种 B. 56种 C. 90种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】将人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.然后利用分步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数. 【详解】人中既有男生又有女生分成两种情况：个男生个女生；个男生个女生.“个男生个女生”的方法数有. “个男生个女生”的方法数有.故总的方法数有种.所以本题选A. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算.在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法数. 9. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】 由，则，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为9. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的.现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ） A. 0.0008 B. 0.029 C. 0.031 D. 0.2483 【答案】B 【解析】 【分析】假设两家工厂生产的零件总数为，分别结算两厂生产的次品数，求和后可得到取到次品的概率. 【详解】解：根据题意，假设两家工厂生产的零件总数为，则甲工厂生产的零件数为，乙工厂生产的零件数为，甲工厂生产的次品数为，乙工厂生产的次品数为，则一共有次品， 则任取一个零件是次品的概率为0.029，正确， 故选：B. 11. 某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案. 【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为， 由于低于60分的人数是15，则该班的学生人数是， 故选：C 12. 某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示.由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A. 与有正相关关系 B. C. 当新产品投入金额为6万元时，该产品的收益大约为19万元 D. 当时，残差为0.5（残差观测值预测值） 【答案】D 【解析】 【分析】利用经验回归方程，结合正相关的意义判断A；求出样本的中心点，求出并依次判断BCD. 【详解】对于A，由经验回归方程，得回归直线斜率，与有正相关关系，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，由选项B知，，当时，，C正确； 对于D，当时，，残差为，D错误. 故选：D 13. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算即可. 【详解】因随机变量服从正态分布,. 所以，. 所以 故选：B. 14. 在10件产品中有8件一等品和2件二等品，如果不放回地依次抽取2件产品，则在第一次抽到一等品条件下，第二次抽到一等品的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此为条件概率典型题，求出第一次抽到一等品的概率，然后求出两次都抽到一等品的概率，后者除以前者，即得答案. 【详解】记事件第二次抽到一等品，事件为第一次抽到一等品， 则由条件概率公式可知： 故选：C. 【点睛】本题考查了学生处理不放回事件的概率问题，能运用条件概率公式处理相关实际问题，为基础题.小记，在事件发生条件下事件发生的概率公式为：. 15. 已知随机变量X分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，由分布列的性质，求得，结合数学期望与方差的计算公式，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得，可得， 又由，可得， 所以， 则. 故选：A. 16. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ） A. 在儿子身高关于父亲身高的经验回归方程中，若父亲身高每增加，其儿子身高平均增加 B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1 D. 若甲、乙两个模型决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归方程的意义，逐项分析理解即可. 【详解】对于A，0.839的含义就是每增加一个单位，估计值 就平均增加0.839个单位，故A正确； 对于B，确定回归直线的根据是误差最小，并不是经过的样本点最多，故B错误； 对于C，相关有正相关和负相关，共同点是相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D， 是描述拟合效果， 越大拟合效果越好，应该是甲的拟合效果更好，故D错误. 故选:A. 17. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为： ， 故选：A. 18. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ） A. 10种 B. 60种 C. 125种 D. 243种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可． 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 19. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和，二项式系数最大项及二项展开式中的通项公式运算求解判断各个选项即可. 【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 20. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且，若对任意，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. （-∞，-1） B. （-1，1） C. （1，+∞） D. （-∞，1） 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用已知不等式确定所构函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可. 【详解】构造函数，， 所以函数是实数集上的增函数， 所以由， 故选：A 二､填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 21. 已知为虚数单位，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可； 【详解】解：； 故答案为： 22. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得，故切线的斜率为， 故切线方程为， 即． 故答案为： 23. 已知X是离散型随机变量，且，若随机变量，则___________，___________. 【答案】 ①. 7 ②. 2 【解析】 【分析】根据随机变量的期望与方差的性质，即可求解. 【详解】由题意，随机变量满足， 因为随机变量，可得，. 故答案为：；. 24. 已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为____. 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 【答案】 【解析】 【分析】先求，根据线性回归方程必过样本中心点运算求解. 【详解】因为， 可知样本中心点在线性回归方程为上， 则，解得. 故答案为：. 25. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】把函数在上单调递增，转化成在上恒成立，再把二次函数恒成立问题，转化成判别式问题求解即可. 【详解】若函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 所以只须， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 26. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 三､解答题：本题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 27. 心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放.为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了50人，对是否观看的情况进，行调查，结果如下表： 年龄（单位：岁） 调查人数 4 11 15 8 7 5 观看讲座人数 4 11 12 6 3 1 （1）以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面列联表. 年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计 观看讲座人数 未观看讲座人数 合计 （2）根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关. 下面的临界值表供参考： 独立性检验统计量，其中 【答案】（1）答案见解析 （2）有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 【解析】 【分析】（1）由已知计算填表即可； （2）计算，再由独立性检验的基本思想求解即可 【小问1详解】 由以上统计数据填写下面列联表，如下 年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 合计 观看讲座人数 未观看讲座人数 合计 【小问2详解】根据公式计算， 所以有的把握认为观看讲座人数与人的年龄有关 28. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值； （3）若在上不单调，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；（3）或． 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用条件列式求得函数的解析式；（2）利用（1）的解析式，利用导数先求函数的极值点，判断单调性，列表后，比较端点值和极值的大小；（3）由条件可知，极值点在区间内，列不等式求的取值范围. 【详解】 由题意得 即：解得： （2）令：， (0，2) 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减 ，，， 所以 （3）若在上不单调，所以函数的极值点在区间内，可得 或 解得：或. 29. 历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． （1）设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； （2）若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； （3）若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）运用独立事件概率乘法公式求解即可； （2）运用二项分布概率公式求解即可； （3）运用二项分布概率公式求解概率分布列，进而求出数学期望即可. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B ； 【小问3详解】 随机变量X的取值为 由题意可知： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$