精品解析：黑龙江省绥化市2025年中考二模考试数学试题(1)

二〇二五年绥化市升学模拟大考卷（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 年月日，第九届亚冬会在哈尔滨召开，亚冬会开幕式在哈尔滨的国际会展体育中心场馆内举行，场馆穹顶悬挂了万朵发光的小雪花片，这些雪花片材质轻盈，既不影响承重，又增添了沉浸感．观众一进入场馆，便能感受到浓郁的冰雪氛围，仿佛置身于哈尔滨这座冰雪之城的会客厅．其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据几何体的三视图判断组成几何体的小正方体的个数，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数和列数，先根据主视图和左视图得出该几何体为两层三列，再确定每层的最少个数即可． 【详解】由几何体的主视图和左视图可知，该几何体为两层三列， 最低层最少为个，第二层为1个， ∴最少由4个小正方体组成， 故选：A． 4. 下列等式，其中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，幂的、积的乘方运算、积的乘方逆运算，同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则和计算公式是解题的关键． ①由幂的、积的乘方运算即可判断；②由积的乘方逆运算，同底数幂的乘法逆运算即可判断；③先处理符号，再由平方差公式即可判断；④由完全平方公式即可判断． 【详解】解：①，原写法错误，不符合题意； ②，正确，符合题意； ③，原写法错误，不符合题意； ④，原写法错误，不符合题意； ∴正确的有1个， 故选：A． 5. 已知直线被所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的判定和性质，由邻补角的性质可得，由可得，进而由平行线的性质可得，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 小聪在学校举行的“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对班级里30位同学阅读书籍的数量情况做了调查，并绘制成条形统计图如图所示，则同学们阅读书籍数量的众数和中位数分别是（ ） A. 3，2 B. 3，3 C. 3，2.5 D. 2，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，求中位数和众数，正确理解统计图是解题的关键． 根据中位数和众数的概念求解． 【详解】解：由条形统计图可得：阅读书籍数量为3的人数最多，故众数为3， 由30位同学可得中位数是第15，16人阅读数量的平均数，由统计图可得第15，16人阅读数均为2，故中位数为， 故选：A． 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 8. 下列说法正确的是( ) A. 两角及一边分别相等的两三角形全等 B. 全等的两个图形一定成轴对称 C. 三角形三内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定、轴对称图形的概念、内心的性质以及等边三角形的定义，分别验证四个选项即可得到答案； 【详解】A、已知两角及一边相等，位置关系不明确，不能确定两个三角形全等，故A错误； B、全等的两个图形不一定成轴对称，故B错误； C、三角形三内角平分线的交点到三边的距离相等，不一定到三个顶点的距离相等，故C错误； D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故D正确； 故选：D； 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、轴对称图形的概念、内心的定义与性质以及等边三角形的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键； 9. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可． 【详解】解：∵等边的顶点，， ∴， 过A作轴于C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍， ∴与的位似比为， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 10. 如图，四边形中，，，，连接，的平分线交对角线，底边BC分别于点O，E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理．熟练掌握是解题的关键． 连接，由勾股定理得，由等腰三角形性质得，由线段垂直平分线性质得，得，由勾股定理得，即得． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴． ∵，平分, ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分时，时，时，三种情况，分别求出函数解析式，进而即可求解． 【详解】根据题意，得移动的过程中，重合部分总为等腰直角三角形， 当时，重合部分的直角边长为，则； 当时，重合部分的直角边长为1，则； 当时，重合部分的直角边长为， 则． 由以上分析可知：这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线一部分，中间为平行于轴的直线的一部分，右边为开口向上的抛物线一部分． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据题意，求出函数解析式，是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 利用二次函数的图象和性质及二次函数和一元二次方程的关系逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线图象可知， ∵开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴左侧， ， 交轴于负半轴， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②由图象可知，当时，， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵二次函数的图象过点和， ， 即，代入， 得， 故③正确，符合题意； ④∵二次函数的图象过点和， ， ∴ 由③得，所以，代入上式得， 原式， 由①得， 又， 即， 故④错误，不符合题意； ⑤由③得， 将代入上式得 原式 ∴， 由抛物线与轴有两个交点可得，， ∴， 故⑤正确，符合题意； 故正确的选项为①③⑤， 故选：B． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 在实数范围定义运算“”：“ab”=2a+b，则满足“x（x﹣6）”=0的实数x是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：根据题中的新定义化简“x（x﹣6）”=0，得：2x+x﹣6=0， 解得：x=2， 故答案为2． 15. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 16. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡角的定义是解题的关键． 在中，由正切的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴（米）， 故答案为：． 17. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，根据分式混合运算的法则计算即可；熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 某扇形的面积是，半径是，则此扇形的弧长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由扇形的面积=×弧长×半径，即可求得答案． 【详解】解：∵扇形的面积=×弧长×半径， ∴弧长=2×扇形面积÷半径， 即弧长=（cm）， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形面积公式，解题的关键是熟记扇形的公式． 19. 如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过设点纵坐标与，可表示出与的长度，再通过可求出点坐标，作垂直于可求出与的长度，即求出点坐标从而求解． 【详解】解：设点纵坐标为，则点坐标为，，作垂直于轴于点， ， ， ， ， 解得或（舍， ，，， 作垂直于轴于点， AO平分∠BAC， ， ， 即， 解得：， 点坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用、角平分线的性质、已知正弦值求边长，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点． 20. 如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的综合题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．先画出点E运动的路线，过E作，交于点F，根据，可得，设，则，，再根据，可求得，利用勾股定理可得． 【详解】解：当点P在点A处时，如图， ， ， 当点P运动到点B时，如图， ∴点E运动的路线，如图， 过E作，交于点F，即， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ，， 在中，  ． 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知可得，即得，据此可得，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22. 矩形中，对角线交于点，点在对角线上，若，，，则的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，过点作于，利用勾股定理可得，进而由矩形的性质得，再利用三角形的面积可得，即得，得到，再分点在上和点在上两种情况，利用勾股定理解答即可求解，掌握矩形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，∵， ∴， ∴； 当点在上时，， ∴； 综上，的长度为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规，作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接BD，若BC=6，AB=8，求△BDC的周长． 【答案】（1）如图所示，直线DE为所求作的图形； （2）14 【解析】 【分析】（1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到AB边的垂直平分线DE； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到AD=BD，进而得出△BDC的周长等于AC+BC． 【详解】（1）略 （2）∵DE垂直平分AB， ∴， ∴△BDC的周长为 ． 24. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名？ （2）在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数． （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）． 【答案】（1）280名 （2）108° （3） 【解析】 【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比即得到调查的学生总数； （2）求出“互助”的学生数，从而可求出“进取”的学生数，再根据“进取”所对应的圆心角的度数=其所占百分比×360°求解即可； （3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到C与E的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 56÷20%=280（名）， 答：这次调查的学生共有280名； 【小问2详解】 ∵“互助”的人数为280×15%=42（名）， ∴“进取”的人数为280-42-56-70-28=84（名）． 84÷280=30%，360°×30%=108°， 答：“进取”所对应的圆心角是108°； 【小问3详解】 由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”， 画树状图为： 共20种情况，恰好选到C和E有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，列表或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键．（3）中正确的列出表格或画出树状图是解答关键． 25. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）， （2）共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； 【小问2详解】 解：设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 26. 在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； （2）线段对应的函数表达式； （3）请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 【答案】（1）， （2） （3）秒或秒或秒 【解析】 【分析】（）根据速度路程时间计算即可； （）求出甲无人机飞行段所用时间，从而求出点的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式，根据甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米列出方程求解即可； 本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可得，甲无人机的速度是(米/秒)，乙无人机的速度是(米/秒) ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲无人机飞行段用时(秒)， ∵， ∴， 设线段对应的函数表达式为， 将和代入得， ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 设乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得（不合，舍去）或， ∴； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得； 综上，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间为秒或秒或秒． 27. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） ，理由如下： ，， ， ， ， ， ，， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对的等角的性质，得出，根据直角所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）证明，得到，从而得出，即可得到结论； （3）由（2）可得，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出，则，再证明，得出，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 28. 综合与实践 已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 过点作，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：在上取点，使得，如图； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为P，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （2）过点作，证明，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （3）在上取点，使得，证明，则，则，那么，由勾股定理得，可得是的中位线，则，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 29. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，求的值； （3）点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴计算公式可得，再把A、C两点坐标代入解析式中求解即可； （2）解得到，则；求出点B的坐标，取点，连接，可证明是等腰直角三角形，且；取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接，则；可求出，则，解直角三角形得到，则，即点D即为线段与抛物线的交点，如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L，则点D为直线与抛物线的交点，据此求解即可； （3）分为边和对角线两种情况，根据菱形的邻边相等，以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【小问1详解】 ∵对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 如图所示，取点，连接， ∴， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且； 如图所示，取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接， ∵，， ∴R的横坐标为，纵坐标为， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D即为线段与抛物线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点D的坐标为； 如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L， ∴点L的横坐标为，纵坐标为， ∴点L的纵坐标为， 同理可证明此时，即， ∴点D为直线与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， 此时点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：，， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 设， ∴，， 如图3-1所示，当是菱形的边时，则， ∴，解得或， ∴，， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 同理可得点的坐标为； 如图3-2所示，当是菱形的边时，则， ∴， 解得或， ∴， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 如图3-3所示，当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴， 同理可得； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年绥化市升学模拟大考卷（二） 数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟 2.全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 年月日，第九届亚冬会在哈尔滨召开，亚冬会开幕式在哈尔滨的国际会展体育中心场馆内举行，场馆穹顶悬挂了万朵发光的小雪花片，这些雪花片材质轻盈，既不影响承重，又增添了沉浸感．观众一进入场馆，便能感受到浓郁的冰雪氛围，仿佛置身于哈尔滨这座冰雪之城的会客厅．其中“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最少是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列等式，其中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知直线被所截，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 小聪在学校举行的“弘扬中华传统文化读书月”活动结束后，对班级里30位同学阅读书籍的数量情况做了调查，并绘制成条形统计图如图所示，则同学们阅读书籍数量的众数和中位数分别是（ ） A. 3，2 B. 3，3 C. 3，2.5 D. 2，2 7. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是( ) A. 两角及一边分别相等的两三角形全等 B. 全等的两个图形一定成轴对称 C. 三角形三内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 9. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，四边形中，，，，连接，的平分线交对角线，底边BC分别于点O，E，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 分解因式：______． 14. 在实数范围定义运算“”：“ab”=2a+b，则满足“x（x﹣6）”=0的实数x是________． 15. 若是关于的方程的两个根，且，则______． 16. 如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为______米． 17. 计算的结果等于______． 18. 某扇形的面积是，半径是，则此扇形的弧长为__________． 19. 如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为_________． 20. 如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为______． 22. 矩形中，对角线交于点，点在对角线上，若，，，则的长度为______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规，作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，连接BD，若BC=6，AB=8，求△BDC的周长． 24. 某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次调查的学生共有多少名？ （2）在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数． （3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）． 25. 吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 26. 在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； （2）线段对应的函数表达式； （3）请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 27. 如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 28. 综合与实践 已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 29. 综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，求的值； （3）点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $