辽宁省大连市育明中学2024-2025学年高三下学期最后一模数学试卷

高三数学试卷 注邈事项： 1.答港时，考生务必将自己的姓名、准消证号琪写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答非选择题时，将答案写在睿题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（共58分） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.设集合A=xy=血(x+1)》,B=红eZ-2<x3<2分，则AB=() A.0,月 B.(0,) C. D.{0,} 2.已知i为虚数单位，如果复数z满足z+21+名-2别=4，那么2-1的最小值是（) A.1 B.√2 C.2 D.5 3.若f()是定义在R上的增函数，则“f()>x"是“f(/(x)>x”的() A,充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f问=2025-2025 +x2m5,xeR,若正实数a,b满足f(2a-)+f2b-1)=0, 2 则二+2的最小值为() a A.22+3 B.4V2 G22-3 D.5+1 5.享有“天下江山第一楼美誉的黄鸬楼位于湖北武汉，地处蛇山之被，颜临万里长江， 更因历代诗人登楼作诗而名闻天下，如图，某同学为测量黄鹤楼的高度N,在黄鹤楼的 高三数学试卷 第页共6页 正东方向我到一座建筑物AB,高约为26m,在地面上点C处（B,C,N三点共线) 测得建筑物顶部A,，黄鸬楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得按顶部M的仰 角为15°，则黄鹤楼的高度约为() A.48m B.51m C.52m D.54m 6.在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAC,PA⊥PC,AC⊥AB,AB=AC=10, 若点P、A、B、C均在球O的表面上，则踝O的体积为() A.200π B.2002元 10002x D1000W2元 7.设aeR,函数f(x)=x-3ar4a3,则下面正确的是（) A.·f(x)有两个极值点 B.若a>0,则当x>0时，f()≥0 C.若f(x)有3个零点，则a的取值范围是(0,4 D.若存在3，∈R,满足f(s-)+f(s+)=2∫(s),则1=1 8.第14届国际数学教育大会(ICMB-International Congreas of Mathematics Education) 在我国上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中9CM伦14的下方展示的 是八卦中的四卦一3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是 3×83+7×82+4×8+4×8°=2020，正是会议计划召开的 年份，那么八进制？3换算成十进制致，则换算后这 10个7 个数的末位数字是() ICME-I4 三三至 A.1 B.3 C.5 D.7 高三数学试卷 第2页共6页 第Ⅱ卷（共92分） 二、选择题：（本题共3小愿，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。金部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选雏的得0分。) 9.己知函数f因=c0s(@x+p)(4>0,仙>0，ol<》,其最小值为-2，x∈R, f(-分=f2a*幼f(若-×刘+f(后+习=0，且a+的最小值为好则 Af侣)sf B.f的图像在区间(-五，0)内只有2个对称中心 C.f)的图象向左平移个单位长度得到函数y=-2sin2x的图象 D.当x∈（侣时，若不等式f阅一m<2恒成立，则实数m的取值范围是(-30） 10.已知等比数列{aJ的前n项和为S,且an1=Sn+2,bn3为等差数列，且b2=a1,bg= ag,记集合A={x∈N由n≤x≤an}中元素的个数为cn,数列cn的前n项和为T,则下 列结论正确的是( A4n=2m+1 B.bn=n C.Cn=2n-n D.T=2n+1--2-2 2 1讧。已知在平面直角坐标系x0y中，4（一4），8(-4列，高P是满足%=的曲线E上 的任意一点，点Q为过点(2，一4V②的抛物线C:y2=2px(的>0)上的动点，点Q在直线 x=一上的射影为R,则( ) A.抛物线C:y2=2Px(G包>0)上与焦点距离等于5的点的横坐标是1 B.若过点H(2,0)的直线交C于M,N两点，且五=2丽，则△OMN的面积为6 C.P卧+31PQ!+310列的最小值为3V65 D.已知点T在抛物线C:y2=2px(p>0)上，过点T作曲线E的切线，若切线长为V119, 则点T到C的准线的距离为8 高三数学试港 第3页共6页 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知一组数据1、2、3)4、x的三四分位数是x,则x的取值范围为 13.如图，一滑轮组中有两个定滑轮A,B,在从连接点O出发的三根绳的端点处挂谐三 个重物，它们所受的愈力分别为4,4州，N,此时整个系统处于平衡 状态，则c0时∠AOB=一 N 14,在量子通信中，光子极化序列船湖足以下条件： 理N (1)每个极化方向为水平(0或垂直（)： (2)任意岳个连续光子中不能有全相同的极化方向： (3)序列的首尾极化方向必须相同 如“H”是一个长度为3的合法序列.则长度为7的合法序列数目为 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f)=x-hx- (1)当a=1时，求曲线y=f()在(，f()处的切线方程： (②)若)有极小值，且极小值小于0，求口的取值范围. 16.(15分) 已知锐角E角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 btanBcosC +csinB =2atanBcos4. (1)求A; ②若a=3,求2b-c+2sm2B+写 的取值范围 高三数学试卷 第4页共6页 17. (15分) 已知点A名在取曲线G学-茶=1a>0,b>0)上，且G的离心率为5直线安C的 左支于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0. (1)求直线的斜率： (2)若an∠PAQ=手直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,从 求△AMN的面积， 18.(17分) 如图⊙所示，长方形ABCD中，AD-1,AB-2,点M是边CD的中点，将△ADM沿AM 翻折到△PAM,连接PB,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM: (I)若AAPD为等边三角形，求四棱锥P-ABCM的体积： (②)在图②中画出平面PAM与平面PBC的交线，并陈述作图方法的理由； 同微P-w-D的大小为，若0引 求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小 值 图0 图o 高三数学试卷 第5页共6页 19.(17分)记数列an3前k项的最大值b依次构成一个新的数列b),称数列b3为{a} 的生成子列，数列b}所有项组成的集合为A. (1)已知数列{am}为7,6,5,8求数列bi 2若an=-a(得（饥∈N),且A中恰有5个元繁，求实数a的取值范围： 3诺a=ncosn∈Nr门，〔a]的生成子列b,的前n项和为S,从S,52,g… Sm(n之3)中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X, ①若Y=3,求X的数学期望EC): ②若Y=2n,求使P(仅=m)取得最大值时的m值. 高三数学试卷 第6页共6页 高三数学学科答案及评分标准 第I卷（共58分） 一，选择题（每小题5分，共40分） 1.D2.A3.C4.A5.C6.C7.C8B 二.多选题（每小题6分，共18分） 9.ABD 10.BD 11.ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三.填空题（每小题5分，共15分） 12.[3,4] 号 14.22 四.解答题（共77分） 15.(当a=1时，则/(y)=x-1nx-1,f(x)=1-可得f0=0,f0=0,即切 点坐标为(1,0)，切线斜率为k=0,所以切线方程为y=0. (2)f定义域为0+m,且(=a-是 若a≤0，则f'(x)<0对任意x∈(0，+o)恒成立.所以f(x)在(0，+o)上单调递减，无极 值，不合题意， 若a>0,令f(>0,解得x>。令f<0,解得x<合可知f)在0日上单 调递减， 合上单词递增，则/)有极小值/侣)-1+ha一。，无极大值，由题盒 可得：f侣-1+na<0,印1+na20.令go)=1+ha-a>o叭。 go)-日十宁>0，g回在包+o)止单调递增又g0=山，不等式1+lha。0等价于 g(a)<g(),解得a<1,又a>0,综上a的取值范围是0<a<1. 高三数学试卷参考答案及评分标准第1页供7页 16.(1)由b1 an BeosC+csin B=2 atan B cos4,根据正弦定理，得 sin B tan BcosC+sin Csin B=2sin Acos Atan B. 山 tan B=sin B cos B sinB>0,sin B cosC+sin C cos B=2sin A4cos A, sin(B+C)-sin4=2sin4cosA,而simA>0,枚 CosA=- A-T 42义4(0，)，所以43 (2)由正弦定理，Hsin A =2 3,则b=23simB,c=2V3sinC,由 sinC=sin 2b-c+2sin(2B+)=33sin B-3cos B+2sin(2B+ 6 则=6simB-9+2sin(2B+59=2cos2B-2引+6sinB-2 23 =21-2sin(8-2+6sim(B-2-4sim8-2+6sn(8-2+2 6 6 6 3 2 33 易知发0=-+子0湖进频，在 上单词递诚， o=2,，f951,所以c2m28 -=1 (a2=5 17.(1)由趣意得 =5 ,解得b2=4, c2=9 c2=a2+b2 局三数学试卷参考答案丝评分标准 第2页尖7剪 所以双恤线c的方程-苦=1， 山题意直线的斜率存在，设其方程为y=kx+m,P(x1y1),Q(x2,y2), (2-=1 联立5一4 得(4-5k2x2-10kmx-5m2-20=0, y =kx+m 则△=100k21m2-4(4-5k2)(-5m2-20)>0,则m2+4-5k2>0, X1+x2= 45k2,七1x2=-5m2-20 10n 45k2, y1+ 45 由kAP+kaQ= 1-3 2E=0 2-3 4v5 得道 x1-3 一一， 即y-)2-3)+(2-)6-3)=0, 脚(kx1+m-9）2-3)+(kx2+m-)61-3)=0, 整理得2kx1x2-3kx1+x)+(m-）x+x)-6(m-）=0, 则2k+(m-誓-3)0-6(m-9=0. 整理得15k2+5v5k+5km+3v5m-12=0, 即(V5k+3)(3V5k+V5m-4)=0, 因为直线不过点A,所以些≠3张+m,即3V5k+V5m-4≠0， 所以V5k+3=0,所以k=-35 5 即汽线的斜率为-35 (2)不奶设直线4P,A0的倾斜角分别为，B(0<a<<B<): 因为kP+kA0=0, 所以a+B=π，则B=T-a,枚∠PAQ=π一B+a=2, 因为an2PAQ=音 所以tan2a= 。= 高三数学试卷参考答案及评分标准第3页共7页 即2tan2a+3tana-2=0,解得tana=2或-2（会， 所以直线Py=c-3)+ 直线AQ:y=-(x-3)+ 5 在h线APy=c-3)+,令x=0,得y=5- 所以M(0,警-引 同理得w(o,答+) 所以|MN|=3, 所以△AMN的而积为×3×3= I8.(1)取AM的中点G,连接PG.DG, 内为PA-PM,则PG⊥AM 义AP-PM-l,AP⊥PM,则PG= 2 同用.DG=号 作等边角形APD中有，PD=AD=1 丁是DG2+PG2=PD,从而PG⊥DG 又PG_AM,做PG⊥平面A4 3分 1-3 底而ABCM为样形，而积为(1+2)×1× 22 则四枝维P-ABCM的体积为{×xV2_V万 4分 3224 (2)延长AM和BC,设交点为Q,连结PQ,则直线PQ为平面AM与平前PBC 的交线，理由如下：-5分 AB II CM,CM≠AB ÷直线AM和BC必相交，设交点为Q 则点Q为平而PAMI平面PBC的公共点 ----6分 出已知有平面PAMn平面PBC=直线l 故直线1经过点Q --7分 肩三数学试卷参考究案及计分标准 第4实共7