精品解析：天津市南开区美达菲津英中学2024-2025学年高二下学期阶段性质量检测（5月期中）数学试卷

美达菲津英中学2024-2025（二）阶段性质量检测（期中） 高二年级数学学科试卷（5月） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共10小题，共50.0分. 1. 已知全集 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集以及补集的定义即可求解. 【详解】由可得 又，故， 故， 故选：B 2. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出一元二次不等式，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以解得，即不等式的解集为， 由题意可知，选项对应的集合应为的真子集. 对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误； 对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误； 对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确； 对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 3. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：， 考点：全称命题与特称命题 4. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】分别记A、B、C、D四个散点图所对应的相关系数为、、、， 由图可得A为正相关，则，B、D为负相关，且图中的点比图中的点分布更为集中， 所以，且，即，且接近， C图中相关关系强度最弱，即接近， 所以样本相关系数最小的是B. 故选：B 5. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 6. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表： 单位：人 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 经计算：． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考附表，得到的正确结论是（ ） A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” C. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 【答案】C 【解析】 【分析】依据独立性检验相关概念解题即可. 【详解】由题意得，所以依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关”． 故选： C． 7. 一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用全概率公式进行求解即可. 【详解】设事件表示第一次抽取的是黑球，，， 事件表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以， 所以 . 故选：C. 8. 若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“数”，这样的“数”有（ ） A. 20个 B. 21个 C. 22个 D. 23个 【答案】A 【解析】 【分析】根据的不同构成，分类讨论求解. 【详解】易知， 当四位数由4，0，0，0构成时，共有1种情况， 当四位数由3，1，0，0构成时，共有种情况， 当四位数由2，2，0，0构成时，共有种情况， 当四位数由2，1，1，0构成时，共有种情况， 当四位数由1，1，1，1构成时，共有1种情况， 所以这样的“数”有20个. 故选：A. 9. 已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案. 【详解】且，则 即 解得 故答案选A 【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键. 10. 已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】时，，利用导数求函数单调区间，可证得此时有2个实数解，则时，，在定义区间内有1个实数解，利用函数单调性和最值列不等式求实数的取值范围. 【详解】时，，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以方程在和上各有1个实数解， 时，，函数在上单调递减， 依题意，在上有1个实数解， 则，解得. 实数的取值范围为. 故选：B 二、填空题：本大题共5小题，共25.0分. 11. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得： ∵ ∴与关于对称 ∴． 故答案为： 12. 的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，令，以各项系数和列方程，解方程求得的值，再结合二项式展开式的通项公式，求得的系数. 【详解】因为的展开式中，各二项式系数和为，所以. 再令，可得各项系数和为，解得， 则展开式中的通项公式为， 令，可得，故展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________． 【答案】7.5## 【解析】 【分析】先计算，再将点代入回归方程中即可. 【详解】，， 将点代入方程中得，， 得 故答案为： 14. 随机变量满足：.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据二项分布的概率求，并计算，再结合方差公式，即可计算. 【详解】，解得：， ，. 故答案为： 15. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】利用排除法，总的方案数减去甲和乙选择的课程的方案数即可得到甲和乙选择的课程不同的方案数；分有一个人选择“九章算术”和两个人选择“九章算术”两种情况，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求得事件中包含的方案数，再利用条件概率公式求得 【详解】四个人参加三门选修课程共有种方案，其中甲和乙选择的课程相同共有种方案， 所以甲和乙选择的课程不同共有种方案； 事件共有种方案，以下考虑事件，即“甲和乙选择的课程不同，丙和丁恰好有一人选择的是九章算术” 先从丙、丁两个人中选一个人选择“九章算术”，则有种方案， 若四个人中只有一个人选择“九章算术”，则甲、乙分别选择另外两门课程，有种方案， 丙、丁中没选择“九章算术”的也从另外两门中选择一门，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 若四个人中有两人选择“九章算术”，则除了包含丙、丁中的一个人外，还包含甲、乙中的一个人，有种方案， 其余两人分别选择另外两门课程，有种方案， 根据分步乘法计数原理，共有种方案； 根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，事件中共有种方案， 根据条件概率公式，； 故答案为：30；. 三、解答题：本大题共5小题，共75.0分. 16. 已知的展开式中各项系数之和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由展开式中各项系数之和为32，可得，从而可求出n的值； （2）展开式中的常数项等于的展开式的系数与的系数的差即可得答案 【详解】解：（1）由题意，令得， 解得． （2）因为二项式的通项为 ， 所以展开式中的常数项为 ． 17. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 【答案】（1）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i）随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii） 【解析】 【分析】（1）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i）随机变量X的所有可能取值为，且分布列为超几何分布，即．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为． （ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件发生的概率为． 【小问1详解】 由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人， 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． 【小问2详解】 （i）随机变量X的所有可能取值为． ，， ，， 所以，随机变量X的分布列为 0 1 2 3 随机变量X的数学期望． （ii）设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则，且与互斥， 由（i）知，， 故． 所以，事件发生的概率为． 【点睛】本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 18. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求曲线在处的切线方程. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后由可求出的值，从而可求出函数的解析式， （2）利用导数的几何意义求解，先求导数，然后求的值，可得切线的斜率，再由点斜式可求出切线方程 【详解】解：（1）由，得， 因为，所以，得， 所以， （2）由，得， 则切线的斜率， 因为， 所以切点坐标为， 所以所求和切线方程为 19. 甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据甲得2分的概率为，乙得5分的概率为，结合概率的公式求解即可； （2）设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件，根据题意可得所有可能的情况为，再计算即可 【小问1详解】 设分别表示在一次比赛中甲得分的事件，分别表示在一次比赛中乙得分的事件. 因为在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由已知得， ， ， ， 设为“6星队'在一次比赛中的总得分为5分"， 则， 则 ， 所以“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率是. 20. 已知函数其中. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是 （2） （3） 【解析】 【详解】（1）解： 由，得 当x变化时，，的变化情况如下表： x -1 a + 0 - 0 + 极大值 极小值 故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是. （2）解：由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得. 所以，a的取值范围是. （3）解：a=1时，.由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增. （1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为. （2）当时，，且. 下面比较的大小由在，上单调递增， 有 又由，， 从而， 所以 综上，函数在区间上的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 美达菲津英中学2024-2025（二）阶段性质量检测（期中） 高二年级数学学科试卷（5月） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共10小题，共50.0分. 1. 已知全集 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的有（ ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某大学通过随机询问100名学生能否做到“光盘”行动，得到如下列联表： 单位：人 性别 “光盘”行动 做不到 能做到 女 46 9 男 31 14 经计算：． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考附表，得到的正确结论是（ ） A. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” B. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” C. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别有关” D. 依据的独立性检验，认为“该校学生能否做到‘光盘’行动与性别无关” 7. 一个盒子中有2个黑球和3个红球，从中随机取出一个，观察颜色后放回，并加入两个同色球，再从中取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“数”，这样的“数”有（ ） A. 20个 B. 21个 C. 22个 D. 23个 9. 已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为 ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 10. 已知函数若有3个实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共25.0分. 11. 已知随机变量X服从正态分布，若，，则______． 12. 的展开式中，各二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数为______. 13. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________． 14. 随机变量满足：.若，则__________. 15. 某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则________． 三、解答题：本大题共5小题，共75.0分. 16. 已知的展开式中各项系数之和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项． 17. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 18. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）求曲线在处的切线方程. 19. 甲､乙两人组成“星队”参加趣味知识竞赛.比赛分两轮进行，每轮比赛答一道趣味题.在第一轮比赛中，答对题者得2分，答错题者得0分；在第二轮比赛中，答对题者得3分，答错题者得0分.已知甲､乙两人在第一轮比赛中答对题的概率都为p，在第二轮比赛中答对题的概率都为q.且在两轮比赛中答对与否互不影响.设定甲､乙两人先进行第一轮比赛，然后进行第二轮比赛，甲､乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为，乙得5分的概率为. （1）求p，q的值； （2）求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率. 20. 已知函数其中. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间内恰有两个零点，求a的取值范围； （3）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $