专题1.3 复数（四类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题1.3复数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 复数的基本概念 重难点题型2 复数的四则混合运算 重难点题型3 复数的几何意义及应用 重难点题型4 与复数有关的最值问题 重难点题型1 复数的基本概念 1．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2004·浙江·高考真题）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·二模）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 5．（2025·安徽·三模）已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北石家庄·一模）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 8．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若复数满足，则的最大值为6 B． C．若复数，，满足，则 D．若，则的充要条件是， 9．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数是纯虚数，则的虚部为 ． 重难点题型2 复数的四则混合运算 1．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2025·湖南·模拟预测）复数的模为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（2025·安徽·二模）若，则（    ） A． B． C． D．2 5．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 6．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北武汉·二模）（多选题）若复数，则（   ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 8．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D． 9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 10．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 重难点题型3 复数的几何意义及应用 1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·湖南永州·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东揭阳·二模）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·福建福州·模拟预测）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）若复数，则下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B． C．复数对应的点在第四象限 D． 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知复数z满足，则（   ） A． B．在复平面内z对应的点在曲线上 C． D．的虚部为2 重难点题型4 与复数有关的最值问题 1．（23-24高三上·上海静安·期末）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(    ). A． B． C．1011 D．2022 7．（2024·山东青岛·一模）（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则z为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数 8．（2024·山东济南·二模）（多选题）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部为 C． D．若复数ω满足，则的最大值为 9．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . 10．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知复数满足，则的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3复数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 复数的基本概念 重难点题型2 复数的四则混合运算 重难点题型3 复数的几何意义及应用 重难点题型4 与复数有关的最值问题 重难点题型1 复数的基本概念 1．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由复数模求参数 【分析】由建立的等量关系，求解，从而判断选项. 【详解】因为，化简得，解得或，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 2．（2004·浙江·高考真题）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解正弦不等式 【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 由，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 4．（2025·广东·二模）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】 所以，A错误； 因为，所以虚部为，B错误； ，C错误； 在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确. 故选：D 5．（2025·安徽·三模）已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数，即可得. 【详解】因为，所以，虚部为． 故选：A 6．（2025·湖南·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算计算复数，然后由共轭复数的定义求出，最后由虚部的定义得出结果. 【详解】因为复数满足，所以， 可得：，所以，故的虚部为. 故选：B 7．（2025·河北石家庄·一模）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若，则的充要条件是 B．若复数满足，则 C． D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【知识点】虚数单位i及其性质、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用的乘方的周期性计算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得. 【详解】对于A，因，则等价于， 等价于，即，故A正确； 对于B，由可得， 当时，等式成立，但与不一定相等，故B错误； 对于C，因对于， ， 则， 于是，故C正确； 对于D，由可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆， 而可看成点到该圆上点的距离， 易得的最大值即，故D正确. 故选：ACD. 8．（2025·河北沧州·模拟预测）（多选题）已知为虚数单位，以下选项正确的是（    ） A．若复数满足，则的最大值为6 B． C．若复数，，满足，则 D．若，则的充要条件是， 【答案】ABD 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、根据相等条件求参数、虚数单位i及其性质、复数的坐标表示 【分析】对于A，令，根据条件，利用复数的几何意义及圆的性质，即可求解；对于B，利用的性质，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用复数相等的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，令，因为，则， 所以复数对应点在以原点为圆心，为半径的圆上， 又，其几可意义表示点到距离， 又到原点的距离为，所以的最大值为，故选项A正确， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然有，但不一定相等，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：ABD. 9．（2024·上海奉贤·三模）复数的虚部是 ． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】根据复数虚部的定义即可得解 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数是纯虚数，则的虚部为 ． 【答案】1 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的除法运算将复数化简，由复数是纯虚数求得的值，进而求得复数得虚部. 【详解】，因为复数是纯虚数， 所以，即，经检验，符合题意，所以. 所以复数得虚部是1. 故答案为：1. 重难点题型2 复数的四则混合运算 1．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】虚数单位i及其性质、复数的除法运算 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 3．（2025·湖南·模拟预测）复数的模为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】方法一：利用复数除法求复数，再根据复数的几何意义求复数的模； 方法二：利用复数模的运算性质求复数的模. 【详解】方法一：， 所以. 故选：D 方法二：. 故选：D 4．（2025·安徽·二模）若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可. 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 5．（2025·湖北宜昌·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数模的概念即可求解. 【详解】由题设，则. 故选：C. 6．（2025·陕西榆林·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据共轭复数的定义及复数的运算直接可得解. 【详解】由， 得， 则， 即， 故选：A. 7．（2025·湖北武汉·二模）（多选题）若复数，则（   ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、判断复数对应的点所在的象限 【分析】A.利用复数的除法化简判断；B.结合A得到共轭复数，再求模判断；C.利用复数的几何意义判断；D.利用复数的模的几何意义判断. 【详解】复数，，故A错误； ，，故B正确； z的实部为4大于零，虚部为-1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确； 因为复数满足，设在单位圆上，则表示和点z之间的距离， 其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为，故D正确， 故选：BCD 8．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法和乘法计算化简得出虚部判断A，根据复数对应点判断B，应用模长计算判断C，计算化简求和判断D. 【详解】对于A，，故，其虚部为，故A错误； 对于B，由A选项可知，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选:BCD. 9．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 10．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 重难点题型3 复数的几何意义及应用 1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3．（2025·甘肃平凉·模拟预测）若，，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘法运算，结合几何意义可得. 【详解】因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 4．（2025·湖南永州·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义确定其所在的象限即可. 【详解】因为， 所以， 则z在复平面内对应的点为. 故选：D. 5．（2025·广东揭阳·二模）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 6．（2025·福建福州·模拟预测）复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方 【分析】利用复数的乘方、除法运算结合几何意义判定选项即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为， 所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限. 故选：B. 7．（2025·四川成都·模拟预测）（多选题）若复数，则下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B． C．复数对应的点在第四象限 D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法运算可判断A C；先计算，再利用计算可判断B；利用复数求模公式即可判断D. 【详解】因，则，则，是纯虚数，故A正确； 因，则，故B错误； ，对应的点为，在第一象限，故C错误； ，故D正确. 故选：AD 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知复数z满足，则（   ） A． B．在复平面内z对应的点在曲线上 C． D．的虚部为2 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，根据复数的乘法运算及复数相等即可判断A；由复数的几何意义得出z对应点的坐标即可判断B；由共轭复数的性质即可判断C；由复数的运算法则计算，再由虚部的定义即可判断D． 【详解】对于A，设， 由，得， 所以，即，解得 所以，故A正确； 对于B，在复平面内z对应的点为，当时，， 所以点不在曲线上，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 所以的虚部为2，故D正确． 故选：ACD． 重难点题型4 与复数有关的最值问题 1．（23-24高三上·上海静安·期末）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值. 【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 表示圆C上的点到的距离， 的最大值是， 故选B 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题. 2．（2023·山东潍坊·模拟预测）已知复数满足：，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离，计算即可. 【详解】设，其中，则， ∵， ∴，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴即为圆上动点到定点的距离， ∴的最大值为. 故选：B. 3．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 4．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数加减法几何意义的运用、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据模长得到方程，求出，并求出，从而得到. 【详解】设，则， 即，由于，故，解得， 则， 故选：D 6．（2023·江苏南通·三模）复数的虚部为(    ). A． B． C．1011 D．2022 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用错位相减法求和，结合复数的除法运算求出复数z，即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以， 所以 ， 所以 ， 所以复数z的虚部为1012， 故选：A 7．（2024·山东青岛·一模）（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则z为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、求复数的模、复数的基本概念 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 8．（2024·山东济南·二模）（多选题）若复数z 满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．z的虚部为 C． D．若复数ω满足，则的最大值为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数的向量表示、求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误， 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为， 则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上， 所以，的最大值为，即的最大值为，D错误. 故选：AC 9．（2024·福建漳州·模拟预测）已知复数，满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】复数概念及基本运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据题意求得，根据复数的几何意义求得对应点的轨迹，再根据几何意义求目标式的最大值. 【详解】令复数，，，则， 所以，所以，，即. 又因为，即在复平面内，复数所对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又点到点的距离为， 所以的最大值为. 故答案为：. 10．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知复数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、椭圆定义及辨析、求含sinx（型）的二次式的最值、求复数的模 【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数对应的点，然后利用三角代换结合条件即可求解． 【详解】设，由，得， 因此在复平面内，复数对应的点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上， 所以可设椭圆方程为，则， 所以椭圆方程为， 而表示点与点的距离，可设， 所以与点的距离， 所以当时，，即的最大值是. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$