专题1.1 集合（七类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题1.1 集合 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 元素与集合的关系 重难点题型2 集合与集合间的关系 重难点题型3 有限集合的子集问题 重难点题型4 集合的交并补混合运算 重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数范围 重难点题型6 韦恩图在集合中的应用 重难点题型7 集合的新定义问题 重难点题型1 元素与集合的关系 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0. 4．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ． 重难点题型2 集合与集合间的关系 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 6．（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ． 重难点题型3 有限集合的子集问题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）满足的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 2．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 3．（2022·广东·一模）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则的子集个数为 . 重难点题型4 集合的交并补混合运算 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·三模）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·广东佛山·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2014·全国·一模）设集合，，且，则满足条件的实数的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个. 5．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ． 重难点题型6 韦恩图在集合中的应用 1．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 2．（2019·北京朝阳·一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 3．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 重难点题型7 集合的新定义问题 1．（24-25高三上·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ） A．3 B．4 C．14 D．16 2．（2023·河南郑州·模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 4．（2022·湖南长沙·一模）对于集合的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0． （1）子集的“特征数列”的前四项和等于 ； （2）若的子集的“特征数列”，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 元素与集合的关系 重难点题型2 集合与集合间的关系 重难点题型3 有限集合的子集问题 重难点题型4 集合的交并补混合运算 重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数范围 重难点题型6 韦恩图在集合中的应用 重难点题型7 集合的新定义问题 重难点题型1 元素与集合的关系 1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（    ） ①是空集；②若，则；③集合有两个元素；④集合是有限集 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、空集的概念以及判断、集合的分类 【分析】对①，根据空集的定义可判断；对②，根据元素与集合的关系判断；对③，求出方程的根可判断；对④，根据集合的表示，无限集合定义可判断. 【详解】对于①，不是空集，空集中无任何元素，故①错； 对于②，若，当时，，故②错； 对于③，集合，只有一个元素，故③错； 对于④，集合是无限集，故④错； 综上，正确的命题有0个. 故选：D. 4．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合的分类 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 7．（2024·全国·模拟预测）（多选题）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 8．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列的公差为，集合有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】， 则， 其周期为，而，即最多3个不同取值， 集合有且仅有两个元素，设， 则在中，或， 或，又，即， 所以一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为, 于是有，即有，解得， 不相等的两项为， 故，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：此题关键是通过周期性分析得到相等的项为相邻的两项，不相等的两项之间隔一项，从而求得答案. 重难点题型2 集合与集合间的关系 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 2．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 3．（2024·河南·二模）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：由真子集的个数可得，且区间,中含有4个整数，结合区间长度，即可对讨论求解. 4．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 5．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】由，且， 当时，，则，即， 当时，若，则，解得， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 6．（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 重难点题型3 有限集合的子集问题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）满足的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意可得：，分析可知集合的个数即为集合的子集个数，即可得结果. 【详解】因为， ， 由题意可得：，可知集合必有元素，可能有元素， 满足条件的集合的个数即为集合的子集个数，有个. 故选：A. 2．（22-23高一上·江苏徐州·期中）若集合的所有子集个数是，则的取值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析可知，集合有且只有一个元素，分、两种情况讨论，在第一种情况下直接验证即可，在第二种情况下，由求出的值，综合即可得解. 【详解】因为集合的所有子集个数是，则集合有且只有一个元素， ①当时，即当时，则，合乎题意； ②当时，即当时，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 3．（2022·广东·一模）从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合A，B，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、其他排列模型、计算古典概型问题的概率 【分析】写出集合的非空子集，求出总选法，再根据，列举出集合的所有情况，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】解：集合的非空子集有共7个， 从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法， 因为， 当时，则可为共3种， 当时，共1种， 同理当时，则可为共3种， 当时，共1种， 则符合的共有种， 所以的概率为. 故选：A. 4．（2025·福建福州·模拟预测）已知集合，则的真子集个数为（   ） A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、余弦函数图象的应用、由标准方程确定圆心和半径 【分析】数形结合，判断方程组解的个数，即中元素的个数，再根据集合中元素的个数确定其真子集的个数即可. 【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合， 集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合， 在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图： 观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点， 所以有3个元素，共有个真子集． 故选：C 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断直线与圆的位置关系、判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算 【分析】集合都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交点，有个子集. 【详解】集合A表示直线上的所有点的集合，集合B表示圆上所有点的集合， 因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切， 故中只有一个元素，故的子集个数为． 故选：C. 6．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则的子集个数为 . 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、由指数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算 【分析】根据题意先求集合B，进而可得，根据元素个数求子集个数. 【详解】令，即，可得，解得， 则， 可得，共两个元素， 所以其子集的个数为. 故答案为：4. 重难点题型4 集合的交并补混合运算 1．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 2．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、复合函数的值域 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 3．（2023·北京·三模）已知集合,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案 【详解】集合,解得, ,即,解得,故, 所以 故选：C 4．（2023·黑龙江大庆·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、分式不等式 【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可． 【详解】函数的定义域为， 不等式，可化为或，所以， 所以，， 所以． 故选：A． 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求出A集合，解一元一次不等式求出B集合，利用交集的定义运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 6．（2023·广东佛山·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出集合再求交集即可. 【详解】，， 则. 故选：B. 重难点题型5 根据集合的交并补运算求参数 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】化简集合A，根据集合交集不为空集建立不等式即可得解. 【详解】因为， ，， 所以且，解得：， 故选：C 2．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． 故选：A． 3．（2024·浙江杭州·三模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 4．（2014·全国·一模）设集合，，且，则满足条件的实数的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个. 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A∪B={1，4，x}，得x2=x或x2=4，可解出符合题意的x有0，2，-2共3个． 【详解】，， 所以由集合的互异性可得且， ，则或 解之得或 满足条件的实数有共3个， 故选C. 【点睛】本题给出含有未知数x的集合A、B，在已知它们并集的情况下求实数x值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题． 5．（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 6．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】先求集合，对分类讨论，并结合，数形结合求出的取值范围，注意端点值能否取到． 【详解】因为， 当时，，若，则． 在数轴上表示出集合，，如图， 则； 当时，，此时不成立， 当时，，此时不成立． 综上，的最大值为． 故答案为： 重难点题型6 韦恩图在集合中的应用 1．（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 2．（2019·北京朝阳·一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据题意，作出维恩图，由数形结合列出方程求解即可. 【详解】作维恩图，如图所示， 则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为， 周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x. 则，得， 得，当时，x取得最大值6. 故选：A 3．（2023·广东·模拟预测）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解. 【详解】因为或，或， 所以或或或， 或或或. 由题意可知阴影部分对于的集合为， 所以， 或. 故选：D. 4．（2024·河北石家庄·三模）（多选题）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、容斥原理的应用 【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 重难点题型7 集合的新定义问题 1．（24-25高三上·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ） A．3 B．4 C．14 D．16 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】集合新定义 【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划分的个数. 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故选：B. 2．（2023·河南郑州·模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、集合新定义 【分析】根据题意列举出满足条件的集合，然后根据题意结合古典概型公式求解. 【详解】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个． 满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种． 由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率． 故选：C． 3．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 4．（2022·湖南长沙·一模）对于集合的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，，0． （1）子集的“特征数列”的前四项和等于 ； （2）若的子集的“特征数列”，，，满足，，，的子集的“特征数列”为，，，，满足，，，则的元素个数为 ． 【答案】 3 33或34 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、数列新定义 【分析】（1）根据“特征数列”的定义写出子集的“特征数列”再求解即可； （2）根据所给信息直接写出P，Q的“特征数列”分析即可 【详解】（1）子集的“特征数列”为1，0，1，1，1，0，0，…，0，所以． （2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，1，0， Q的“特征数列”满足，且，或，故为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，0，1或1，0，1，1，0，1，…，0，1，1， 则，或.考虑P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，一个周期内的元素个数为2，且共，故的元素共或，即33或34个． 故答案为：3,33或34. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$