精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024--2025学年度下学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程求出其焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义求出点的横坐标，最后将代入抛物线方程求出纵坐标. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为，准线方程为. 已知点到焦点的距离，则点到准线的距离也为，即，解得. 因为点在抛物线上，且，所以. 又因为，所以. 故选：A. 2. 等比数列中，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据求出公比，利用等比数列的前n项和公式即可求出. 【详解】 , ，又所以， . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，属于基础题. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数后，令代入导函数解析式可得答案. 【详解】因为， 所以， 令，可得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：利用累加法，结合对数的运算性质可得，再验证是否符合所得公式即可确定；法二：构造数列，由已知条件确定其性质并写出通项，进而可得. 【详解】方法一：， 当时，． 又也符合所得通项公式， ∴． 方法二：∵，， ∴数列是常数列，即，则． 故选：A． 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求最小距离． 【详解】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，求导得， 令，而，解得，此时， 曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离，为点到直线的距离. 故选：B 7. 定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出导函数，即可得到的单调性，则问题转化为，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在定义域上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，即不等式的解集为. 故选：C 8. 已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出渐近线方程，依题意可得点在渐近线上，即可得到，再根据离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为，设，，则， 因为点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形， 所以点在渐近线上，所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数四则运算法则逐项判断. 【详解】对于A，，故选项A错误； 对于B，，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D正确． 故选：CD． 10. 已知等差数列的首项为29，公差为，其前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则最大 B. 若最大，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A， 利用等差数列的前项和公式求解即可； 对于B，最大，得到，建立关于的不等式，求出的取值范围即可判断； 对于C，利用数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d求解即可； 对于D，利用等差数列通项公式展开，得到，即可判断； 【详解】对于A，，，=，故选项A正确； 对于B，，若最大，则，即，只是其中的一种情况，故选项B错误； 对于C，设，则，数列，S6－，S9－S6，S12－S9，…(m∈N*)也是等差数列，首项为，公差为，，，故选项C正确； 对于D，若，则，显然无论取何值，都不成立，故选项D错误； 故选：AC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 若直线经过点，则的最小值是1 C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为 D. 若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用椭圆的定义计算可判断；对于B，利用焦点弦长通径最短可判断；对于C，利用点差法，即可得直线方程；对于D，利用点到圆心的距离最大值，再加上半径即为的最大值. 【详解】 对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为， 若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误； 对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确； 对于C，显然直线的斜率存在，设， 易知 ， 若中点为，则， 则直线的方程为,即，故C正确； 对于D，设，圆心，则， 因为，所以当时，取得最大值为， 此时取得最大值为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再把函数的单调性问题转化为导函数的恒成立问题，结合分离参数法求解即可. 【详解】由知， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即，， 令，，则在上单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，以为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又，则，即， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，则，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，然后利用数形结合即得. 【详解】 当时，，则函数在单调递增， 当时，，则函数在单调递减， 所以当时，函数有最小值，即， 函数的图象如下图所示： 方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出； （2）求出在的最大值即可建立关系求解. 【详解】（1），， 在与时都取得极值， ，解得， ， 令可解得或；令可解得， 的单调递增区间为和 ，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得当时，为极大值，而， 所以， 要使对恒成立，则，解得或. 16. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为正三棱柱，所以，又因为是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，由正三棱柱的几何特征可知两两垂直，故以为坐标原点，分以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以, 则， 所以 由于异面直线成角的范围是，所以异面直线与所成角的余弦值为，因此异面直线与所成角为. 17. 如图，椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值． 【答案】（1）；（2）所以直线、斜率之和为定值2． 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程； （2）把直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意知，，结合，解得， 椭圆的方程为； （2）由题设知，直线的斜率不为0， 则直线的方程为，代入，得 ， 由已知，设，，， 则，， 从而直线与的斜率之和： ． 所以直线、斜率之和为定值2． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 18. 记数列的前项和为，已知 （1）求的通项公式. （2）若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）运用关系式，得到数列是等比数列，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可； 【小问1详解】 ，则，两个式子相减，化简得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由如下： 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年度下学期期中考试 高二数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 2. 等比数列中，则的前项和为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. 3 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8 7. 定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线（）的左右焦点分别是，，点在第一象限且在的渐近线上，是以为斜边的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. （多选）下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的首项为29，公差为，其前项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则最大 B. 若最大，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 若直线经过点，则的最小值是1 C. 若线段中点坐标为，则直线的方程为 D. 若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_____ 13. 已知数列的前项和为（），满足（），，则______. 14. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 16. 如图，在正三棱柱中，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）已知，求异面直线与所成角的大小． 17. 如图，椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值． 18. 记数列的前项和为，已知 （1）求的通项公式. （2）若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $