广东省佛山市顺德区拔萃实验学校2024-2025学年八年级下学期第二次学业水平数学测试卷

第 1页（共 4页） 2024-2025 学年八年级第二学期第二次数学学业水平测试 满分 120 分 考试时间 120 分钟 出卷人：廖伟丽 审卷人：王朝阳 一．选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1.中国队在 2024年巴黎奥运会上的成绩非常出色，金牌数与美国队并列第一，创造了多项历史记录．下列图案 是 2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（ ） A． B． C． D． 3．若 a＞b，则下列各式中一定成立的是（ ） A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C． ＞ D．﹣2a＞﹣2b 4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．x2+4x+1＝x（x+4）+1 C．a2﹣4＝（a+2）（a﹣2） D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 5.如图，BE⊥AC于点 E，CF⊥AB于点 F，若 BE＝CF，则 Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（ ） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 6．如图，将 Rt△ABC（其中∠BAC＝50°，∠C＝90°）绕点 A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点 C、 A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） A．50° B．80° C．130° D．150° 7．如图，∠AOB的平分线上一点 P到 OA的距离为 5，Q是 OB上任意一点，则（ ） A．PQ≥5 B．PQ＞5 C．PQ≤5 D．PQ＜5 8．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝7，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以 AB的端点 A，B为圆心、大于 为半径画弧，使两弧相交于点 M，N；（2）作直线 MN交 BC于点 P，则△APC的周长是（ ） A．10 B．11 C．15 D．18 第 5题 第 6题 第 7题 第 8题 第 2页（共 4页） 9．用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（ ） A．有三个直角 B．有四个直角 C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角 10.如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，AB∥DE．△ABC是等腰三角形，∠ ABC＝120°，∠CDE＝78°，则∠ACD的度数为（ ） A．32° B．48° C．44° D．30° 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．不等式的解集如图所示，写出一个符合要求的不等式： ． 12．因式分解：4a2-4�2=___________________ 13．当 x 时，分式 的值为零． 14．若不等式（m﹣3）y﹣1＞0（m为常数，且 m≠3）的解集为 ，则 m的取值范围 是 ． 15.如图，四边形 ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝ 3，BD＝5，则 CD的长为__________ 三．解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 16．解不等式组： ． 17．已知 a2+4a+1＝0，求 的值． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点 D在 BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点 E，F，且 DE＝DF，求 DE的长． 四．解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分 19．若一个整数能表示成 a2+b2（a，b是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”．例如，5是“神秘平 方数”，因为 5＝12+22，再如 M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是非零整数且 x+y≠0），所以 M也是“神秘 平方数”． （1）请你写一个大于 20小于 30的“神秘平方数”： ； 第 3页（共 4页） （2）请判断 52是否是“神秘平方数”，并说明理由； （3）已知 S＝x2+2x+k（x是整数，k是常数），要使 S为“神秘平方数”，请求出符合条件的一个 k值，并说 明理由． 20．某文体书店销售 A，B两种跳绳，购买 2条 A种跳绳和 3条 B种跳绳共计 35元，购买 6条 A种跳绳和 4条 B种跳绳共计 80元． （1）求 A种跳绳和 B种跳绳每条的价钱； （2）现该文体书店对 A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下（两种促销方案不能同时使用）： 方案 内容 促销方案一 买一条 A种跳绳，赠送一条 B种跳绳 促销方案二 买 A种或 B种跳绳都打八折 某校为了准备跳绳比赛，计划购买 A，B两种跳绳，且 B种跳绳比 A种跳绳多买 20条．请根据购买 A种跳绳 的条数 x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案更合适． 21．某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数 y ＝|x+1|的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）如表是 y与 x的几组对应值，请将表格补充完整： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … m 1 0 1 2 3 n 5 6 … 表格中 m的值为 ，n的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象； （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： ①当自变量 x＝ 时，函数的最小值为 ；②方程|x+1|＞2的解集为 ； ③函数 y＝ |x+1|与 y =− 1 5 x + m 的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和（a，3）．当 − 1 5 x + m时，直接写出不等式的解集． 第 4页（共 4页） 五．解答题（三）：本大题共 2 小题，22 题 13 分，23 题 14 分，共 27 分 22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以 C为顶点作等腰直角三角形 CMN．连接 BN，射线 NM交线段 BC 于点 D． （1）如图 1，∠MCN＝90°，CM＝CN，点 A，M，N在一条直线上，说明线段 AM和线段 BN之间的关系， 并证明你的结论； （2）如图 2，点 A，M，N在一条直线上时，∠CMN＝90°，MC＝MN． ①求证：BN+CM＝AM； ②若 AM＝5，BN＝2，直接写出 AB的长为 ； ③若 ，将△CMN绕点 C逆时针旋转，在旋转过程中射线 NM交直线 AB于点 H，当△DBH是等腰三 角形时，直接写出 CD2的长． 23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点 D和点 E分别是 AB边和 CB边上的动点（点 D 不与 A，B重合），AD＝2BE．连接 DE，以 DE为边向左上方作等边△DEF，连接 FC，设 BE＝a． （1）用含有 a的式子表示线段 BD的长； （2）记△CEF的面积为 S1，△BDE的面积为 S2，求 的值； （3）连接 FB，当△FCB的周长最小时，求 a的值． 第 1页（共 4页） 2024-2025 年八年级第二学期第二次学业水平测试答案 一．选择题（共 10 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C B C A B D B 二．填空题（共 5 小题） 11． x＞4（答案不唯一） 12.4(a+b)(a-b) 13.-4 14.m＜3 15.4 三．解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 16．【解答】解：由①得：x≥1， 由②得：x＜4， ∴不等式组的解集为 1≤x＜4， 解集表示在数轴上，如图所示： 17．【解答】解： ＝[ ﹣ ]• ＝ • ＝ • ＝ ， ∵a2+4a+1＝0，∴a2+4a+4＝3，∴（a+2）2＝3，∴ 原式＝ ． 18．【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝ ∠BAC＝30°， ∵∠AED＝90°， ∴DE＝ AD＝ ×10＝5． 19．【解答】解：（1）根据“神秘平方数”的概念， ∵52+22＝29， ∴29 是大于 20小于 30 的“神秘平方数”；故答案 为：29（答案不唯一）； （2）∵62+42＝52，∴52是“神秘平方数”； （3）∵S＝x2+2x+k＝（x+1）2+k﹣1，∴k﹣1是平 方数即可， 如 k﹣1＝32，可得 k＝10；∴k的值为 10（答案不 唯一）． 20．【解答】解：（1）设 A种跳绳每条 x元，B种跳 绳每条 y元， 根据题意得： ， 解得 ． ∴A种跳绳每条 10元，B种跳绳每条 5元， 答：A种跳绳每条 10元，B种跳绳每条 5元． （2）促销方案一的花费：10x+20×5＝10x+100 （元）， 促销方案二的花费：10×80%x+5×80%（x+20）＝ 12x+80（元）， 当 10x+100＞12x+80， 解得 x＜10， 当 10x+100＝12x+80， 整理得，2x＝20， 解得 x＝10． 当 10x+100＜12x+80， 整理得，2x＞20， 解得 x＞10， 所以当 x＝10时，该校选择促销方案一和二同样合 适， 当 x＜10时，该校选择促销方案二更合适， 当 x＞10时，该校选择促销方案一更合适． 第 2页（共 4页） 21．【解答】解：（1）当 x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2， 则 m＝2． 当 x＝3时，y＝|3+1|＝4，则 n＝4． 故答案为：2，4． （2）函数图象如图所示． （3）观察函数的图象： ①当自变量 x＝﹣1时，函数的最小值为 0； ②方程|x+1|＞2的解是 x＞1或 x＜﹣3； ③把（1，2）代入 y＝﹣ x+m， 2＝﹣ +m， ∴m＝ ， 把（a，3）代入 y＝﹣ x+ ， ∴解得 a＝﹣4， 画出直线 y＝﹣ x+ 如图， 当|x+1|＜﹣ x+ 时，不等式的解集为﹣4＜x＜1． 故答案为：①﹣1，0；②x＞1或 x＜﹣3；③﹣4 ＜x＜1． 22．【解答】（1）解：AM＝BN，AM⊥BN；理由如 下： ∵∠ACB＝∠MCN＝90°， ∴∠ACB﹣∠MCB＝∠MCN﹣∠MCB， ∴∠ACM＝∠BCN， ∵AC＝BC，CM＝CN， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴AM＝BN，∠AMC＝∠BNC， 在 Rt△MCN中，CM＝CN， ∴∠CMN＝∠CNM＝45°， ∴∠AMC＝180°﹣∠CMN＝135°， ∴∠BNC＝135°， ∴∠ANC+∠ANB＝135°， ∴∠ANB＝135°﹣∠ANC＝90°， ∴AM⊥BN， 即 AM＝BN，AM⊥BN； （2）①证明：如图 2，过点 C作 CF⊥CN，交 AN 于点 F， ∵△CMN是等腰直角三角形， ∴∠CNM＝45°，CM＝MN， ∵CF⊥CN，∠ACB＝90°， ∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°， ∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN， ∵AC＝BC， ∴△ACF≌△BCN（SAS）， ∴AF＝BN， ∵CF＝CN，CM⊥MN， ∴MF＝MN＝CM， ∴AM＝AF+FM＝BN+CM； ②解：∵AM＝5，BN＝2，BN+CM＝AM， ∴CM＝MN＝AM﹣BN＝3， 第 3页（共 4页） ∴AN＝AM+MN＝8， 在 Rt△ABN中，根据勾股定理得，AB＝ ＝2 ； 故答案为：2 ； ③解：在 Rt△ABC中，AC＝BC， ∴∠B＝45°， Ⅰ、当 DH＝DB时，如图 3，此时点 M与点 D重 合， ∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝ ， ∴CM＝1， ∴CD＝CM＝1， ∴CD2＝1； Ⅱ、当 BH＝BD时，如图 4，作∠MCN的角平分线 CP，交 MN于点 P， ∵BH＝BD， ∴∠BDH＝∠BHD＝ （180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CDM＝67.5°， ∴∠DCM＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°， ∵CP平分∠MCN， ∴∠MCP＝ ∠MCN＝22.5°， ∴∠DCM＝∠MCP， 又∵CM⊥MN， ∴CD＝CP， 过 B作 PQ⊥CN， ∴PM＝PQ， ∴△CDP是等腰三角形，DM＝PM，CD＝CP， 设 PM＝x，则 PQ＝x， ∴S△CMN＝S△CMP+S△CPN 即 CM•MN＝ CM•x+ CN•x， ∴ ×1•1＝ ×1•x+ × •x， 解得：x＝ ﹣1， 即 MP＝ ﹣1， ∴CD2＝CP2＝CM2+MP2＝1+（ ﹣1）2＝4﹣ 2 ； Ⅲ、当 HB＝HD时，如图 5， ∵∠BHD＝90°，∠B＝45°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠CDN＝45°＝∠N， ∴CD＝CN＝ ， ∴CD2＝2； 即 CD的长为 1或 2或 4﹣2 ；． 23．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC＝4， ∵AD＝2BE＝2a， ∴BD＝AB﹣AD＝4﹣2a； （2）如图 1， 第 4页（共 4页） 作 EH⊥AB于 H，作 FQ⊥BC，交 BC的延长线于 点 Q， ∴∠Q＝∠DHE＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°，DE＝EF， ∴∠FEC+∠BED＝180°﹣∠DEF＝120°， ∵∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠FEC＝∠BDE， ∴△DEH≌△EFQ（AAS）， ∴FQ＝EH， ∵CE＝BC＝2﹣a，BD＝4﹣2a， ∴BD＝2CE， ∴ ； （3）如图 2， △FCB的周长＝BC+CF+BF＝2+CF+BF， 在 BC的延长线上依次截取 BG＝BD，GH＝BE＝a， 连接 FG，FH，AH，设 FH和 AC交于点 F′，FH 交 AB于点 T， ∴∠H＝∠GFH， 由（2）知， ∠FEC＝∠BDE，DE＝EF， ∴△EFG≌△SEB（SAS）， ∴∠FGE＝∠DBE＝60°，FG＝BE＝a， ∴∠H+∠GFH＝∠FGE＝60°， ∴∠H＝∠GFH＝30°， ∴∠H+∠ABC＝90°， ∵BH＝BE+EG+GH＝a+（4﹣2a）+（a+4）＝4， ∴AB＝BH， ∴△ABH是等边三角形， ∴HF是 AB的垂直平分线， ∴当点 F在 F′处时，CF+BF最小， ∵AT＝ ，∠BAC＝30°， ∴AF＝ ， ∵AC＝ BC＝2 ， ∴CF＝AC﹣AF＝ ， 由（2）知，E′H＝CF， ∴E′H＝ ， ∴E′B＝ ， 即 a＝ ． 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