精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市第十五中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率定义，可得答案. 详解】∵，∴． 故选：B 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可. 【详解】因为切线方程为， 可知当时，，且切线斜率为3， 即，，所以. 故选：C. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】由，可得． 故选：A. 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 40 C. 80 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理可知，的展开式中含项的系数为. 故选：C. 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 6. 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ） A. 192 B. 240 C. 360 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 7. 已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点个数与导函数零点个数的关系，计算可得结果. 【详解】易知， 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解， 故所以. 故选：D. 8. 已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：对任意的，不等式恒成立等价于 详解：由题意可得，且， 由于， 所以当时， ，函数在上单调递增， 则,， 所以， 故,，即，即 故选A 点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先将问题等价转化为求函数，在区间的最大值和最小值的问题．然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性求出其最大值和最小值，从而使得问题获解． 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的，选错得0分，没有选全但没有错误，酌情给分. 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 10. （多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分组分配问题，即可结合排列组合以及选项逐一求解. 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故A错误． 对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误． 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有种安排方法； ②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有种安排方法，则共有种安排方法，故C正确． 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故D错误． 故选:ABD． 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得， 当时，，函数上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在时取得极大值也是最大值，故A对， B选项，时，，，当时，如下图所示： 函数有且只有唯一一个零点，故B错， C选项，当时为单调递减函数，， ，，故C对， D选项，，故，由于函数在上恒成立， ，设，定义域为，则， 设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对. 故选：ACD. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算_____． 【答案】201 【解析】 【分析】运用组合，排列数公式计算即可. 【详解】. 故答案为：201. 13. 甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】由分步计数原理可得，先安排甲，再将其余3人分组分配即可. 【详解】完成这件事，可分为3个步骤： 第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法； 第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法； 第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法， 故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定是函数的一个零点，再分类讨论与且两种情况，利用导数与参变分离法研究相关函数的图象，从而得解. 【详解】易知，所以是函数的一个零点． （1）当时，由可得， 令，，则，所以单调递增． 又， ∴当时，方程有且只有一解；当时，方程无解. （2）当且时，由可得， 令（且），则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 且， 所以，函数的大致图象如下， 作直线如图所示，数形结合可得若函数有三个不同的零点，须有. 故实数a的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数的零点个数问题，需要分段解决，在两段上都用到了分离参数的方法，转化为利用导数分析函数的单调性和值域的问题，从而得解. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）极大值为，无极小值 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间； （2）求出函数的导函数，根据导数的几何意义可知，求得的值，根据求极值的步骤依次求解即可. 【小问1详解】 当时，定义域为， 又， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 即的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 16. 已知的二项式系数之和为4096． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【小问1详解】 因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. 【小问2详解】 设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 17. 现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球． （1）若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同的排法？ （3）若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由捆绑法求解即可； （2）先确定A，再将安排在两边，进而可求解； （3）将5个小球按3，1，1和2，2，1分3组，再全排列即可； 【小问1详解】 将两个球捆绑在一起和其他球进行全排列，有种不同的排法． 【小问2详解】 先把球排在中间位置，再从球的两侧各选一个位置排两个球，其余球任意排列，所以有种不同的排法． 【小问3详解】 先把5个小球分成3组，再放入3个盒子中． 若按3，1，1分配，则有种不同的放法； 若按2，2，1分配，则有种不同的放法． 所以共有种不同的放法． 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记事件第天去餐厅，则，，，利用概率的乘法公式可得出的值； （2）利用对立事件的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值； （3）利用全概率公式可得出，再利用构造法可求得的通项公式. 【小问1详解】 记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. 【小问2详解】 由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. 【小问3详解】 记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，，故. 19. 已知函数，设在点处的切线为 （1）求直线的方程； （2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围 【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）. 【解析】 【分析】（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案． （2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方． （3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max． 【详解】（1）， 由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1， 所以直线m的方程为y＝x﹣1． （2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1， ， 函数定义域为（0，+∞）， 令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0， p′（x）＝﹣﹣2x＜0， 所以p（x）在（0，+∞）上单调递减， 又p（1）＝0， 所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 所以h（x）max＝h（1）＝0， 所以h（x）≤h（1）＝0， 所以f（x）﹣（x﹣1）≤0， 若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0， 所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方． （3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立， 则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立， 即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立， 令g（x）＝，x＞1， g′（x）＝ ＝ ， 令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1 s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•， 令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1 q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0， 所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减， 又q（1）＝0， 所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减， 所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减， 又， 所以a＜1， 所以a的取值范围为（﹣∞，1）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知函数，当自变量t由2变到2.5时，函数平均变化率是（ ） A. 5.25 B. 10.5 C. 5.5 D. 11 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. -4 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 10 B. 40 C. 80 D. 120 5. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ） A. 192 B. 240 C. 360 D. 720 7. 已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的，选错得0分，没有选全但没有错误，酌情给分. 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 10. （多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12 计算_____． 13. 甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种． 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中为非零常数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数的图象在点处的切线斜率为，求的极值． 16. 已知的二项式系数之和为4096． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大项． 17. 现有编号为的3个不同的红球和编号为的2个不同的白球． （1）若将这些球排成一排，且要求两个球相邻，则有多少种不同的排法？ （2）若将这些球排成一排，且要求球排在中间，两个球不相邻，则有多少种不同排法？ （3）若将这些球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则有多少种不同的放法？ 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 19. 已知函数，设在点处切线为 （1）求直线的方程； （2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方； （3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$