精品解析：河北省廊坊市部分高中2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

河北省廊坊市部分高中2024-2025学年高一下学期5月期中 数学试题 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等,则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 2. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表. 借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10 频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4 则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片不都是红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片至多有1张红色 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 平面 D. 平面 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 丁险种最受参保人青睐 三、填空题 12. 求值：__________. 13. 数据的方差为1，则数据的方差为_________． 14. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______． 四、解答题 15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 16. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 18. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求： （1）恰有一人面试合格的概率； （2）至多一人签约的概率． 19. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省廊坊市部分高中2024-2025学年高一下学期5月期中 数学试题 一、单选题 1. 已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等,则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数化简，然后由实部等于虚部可求出，从而可求出共轭复数 【详解】复数， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得， 所以，所以. 故选：C. 2. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可. 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交． 故选：B． 3. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表. 借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10 频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4 则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】由,故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人, 又，故第25百分位数是6. 故选：C. 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的坐标，再由可求得参数. 【详解】∵向量． ∴， ∵， ∴，解得． 故选：C． 5. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】记另3名同学分别为a，b，c， 所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种． 小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种， 综上，小王和小张都没有挑出的概率为． 故选：B. 6. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片不都是红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片至多有1张红色 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件定义，逐项验证. 【详解】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张， 一次任意取出2张卡片， 则选项A事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色” 是互斥而不对立，所以正确； 选项B事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色” 是对立事件，所以不正确； 选项C事件“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”， 所以事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色” 不是互斥事件，所以错误； 选项D事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色” 是对立事件，所以错误. 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件，考查对定义的理解，属于基础题. 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 8. 袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数出满足条件的组数，即可求解. 【详解】组随机数中，满足条件的有221，132，241，142，这4组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率. 故选：B. 二、多选题 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 10. 在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 平面 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D. 【详解】如图 由，且平面，平面， 故直线与平面平行，故A正确； 直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误； 由图，显然平面与平面相交，故C错误； 由， ，且，， 故平面与平面平行，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种的参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D. 丁险种最受参保人青睐 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合图表对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C错误； 对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确. 三、填空题 12. 求值：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 13. 数据的方差为1，则数据的方差为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用方差公式求解即可. 【详解】设的平均数为， 则的平均数为， 所以的方差为： . 故答案为：4. 14. 若平面有不共线的五点A，B，C，D，O，记，，，，满足.，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用平面向量的几何意义，结合图像即可得到答案. 【详解】由,可得，且，即. 作， 如图所示，则，，均为正三角形，且， 由，得， 化简可得，，所以在直线上. 由图像可知，，所以， 可得点在以点为圆心，以为半径的圆E上，所以. 如图过E作MN垂线垂足为C，交圆E于D点，则显然， 此时的最小值为. 四、解答题 15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. （1）写出该试验的样本空间； （2）指出所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 【答案】（1）样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} （2）掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同 （3） 【解析】 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【小问1详解】 该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} 【小问2详解】 所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. 【小问3详解】 事件“点数之和不超过5”就是集合. 16. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解； （2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由，可得． 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以的面积． 17. 如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1） 由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. （2） 因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据题意可证∥，∥，结合线面平行、面面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙、丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求： （1）恰有一人面试合格的概率； （2）至多一人签约的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率的加法公式可得答案； （2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约， 根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式可得． 【小问1详解】 记事件A：甲面试合格， 事件B：乙面试合格 事件C：丙面试合格 事件D：恰好有一人面试合格 依题意，事件A、B、C相互独立 . 【小问2详解】 至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况， 事件F：甲签约乙丙没有签约， 事件G：三人都没有签约，事件E：至多一人签约， 因为F与G互斥，所以， ， ， ， 所以至多一人签约的概率为． 19. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数为81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $