精品解析：浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题

2025年义乌市初中毕业生学业水平考试调研卷 数学 考生须知： 1．全卷共4页，有3大题，24小题．满分为120分．考试时间120分钟． 2．本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效． 3．请考生将姓名、准考证号填写在答题纸的对应位置上，并认真核准条形码的姓名、准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑． 5．本次考试不能使用计算器． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，每小题3分，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国科学家采用嫦娥六号采回的月球背面样品做出的研究成果揭示了月球背面约28亿年前存在岩浆活动．将数据“28亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若关于的不等式的解如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（ ） 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 A. 12元，90元 B. 12元，80元 C. 80元，90元 D. 80元，100元 8. 某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配辆汽车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，已知，，，对角线平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段为半圆的直径，点为半圆上一点，连结，．在线段上取一点，使得，过点作交半圆于点，连结，．设，，若的大小保持不变，当直径的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 与的积 D. 与的比值 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．答题请用0.5毫米及以上的黑色签字笔书写在“答题纸”的对应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 若分式的值为，则______． 13. 已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是________． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为________． 15. 如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为________． 16. 如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、． （1）如图2，若，则的值为________． （2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 20. 随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网 （1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． （2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 21. 如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）过点作交于点，若，求的长． 22. 如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间（分）之间的函数关系． （1）请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）． （2）根据图象信息，请求出与的值． （3）求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米． 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求此抛物线的解析式及顶点坐标． ②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 24. 如图，在中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，． （1）判断是否为等腰三角形，并说明理由． （2）证明：． （3）连结，若点为线段的三等份点且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年义乌市初中毕业生学业水平考试调研卷 数学 考生须知： 1．全卷共4页，有3大题，24小题．满分为120分．考试时间120分钟． 2．本卷答案必须做在答题纸的对应位置上，做在试题卷上无效． 3．请考生将姓名、准考证号填写在答题纸的对应位置上，并认真核准条形码的姓名、准考证号． 4．作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑． 5．本次考试不能使用计算器． 温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 说明：本卷共有1大题，10小题，每小题3分，共30分．请用2B铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满． 一、选择题（请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 2. 2025年碳中和目标加速推进，下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但是找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 我国科学家采用嫦娥六号采回的月球背面样品做出的研究成果揭示了月球背面约28亿年前存在岩浆活动．将数据“28亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：28亿， ． 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂除法，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，运用相关知识计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，计算正确，符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 已知点，在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象的性质及函数值的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象的性质即可得出答案． 【详解】解：∵函数中系数， ∴反比例函数图象分布在第二象限和第四象限， 在第二象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 6. 若关于 的不等式的解如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再根据数轴可得原不等式的解集为，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 由数轴可知，原不等式的解集为， ∴， ∴， 故选：B． 7. 下表是某小区志愿者们在一次捐款活动中对捐款金额进行的统计：根据表中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别为（ ） 金额（元） 50 80 100 200 500 人数（人） 5 12 10 6 1 A. 12元，90元 B. 12元，80元 C. 80元，90元 D. 80元，100元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数，处在最中间的数或最中间的两个数的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：∵捐款金额为80元的人数最多， ∴众数为80元， ∵，， ∴把所有人的捐款金额按照从低到高排列，处在第17名和第18名的捐款进而分别为80元，100元， ∴中位数为元， 故选：C． 8. 某新能源汽车制造厂采用高度自动化的机器人装配技术系统以提高生产效率，平均每小时比技术升级前多装配50辆汽车．现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每小时装配 辆汽车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每小时装配 辆汽车，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合“现在装配1000辆汽车所需的时间与技术升级前装配800辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于��的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每小时装配 辆汽车，则升级后每小时装配辆汽车， 由题意可得， 故选：A． 9. 如图，在四边形中，已知，，，对角线平分，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形，根据角平分线的意义和平行线的性质可证明 是等腰直角三角形，由勾股定理得，由得，过点作，可证明是等腰直角三角形，设，则，由可求出 的值，再根据可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作，则， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴，即， ∵， ∴， 故选：D， 10. 如图，已知线段为半圆的直径，点为半圆上一点，连结，．在线段上取一点，使得，过点作交半圆于点，连结，．设，，若的大小保持不变，当直径的长度变化时，下列关系式中固定不变的是（ ） A. 与的和 B. 与的差 C. 与的积 D. 与的比值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接交于点，得到，推出，根据圆周角定理得到，推出，得到，，继而得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点 线段为半圆的直径，， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 是定值， 当的大小保持不变，当直径的长度变化时， 与的差固定不变， 故选：B． 卷Ⅱ 说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．答题请用0.5毫米及以上的黑色签字笔书写在“答题纸”的对应位置上． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 若分式的值为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意列出方程，进而解分式方程即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 13. 已知一个不透明的布袋里装有4个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，恰好摸到黑球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率公式是解决此题的关键； 用黑球的个数除以球的总个数即可求得摸到黑球的概率． 【详解】解：∵一个口袋里装有4个黑球，3个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球， ∴摸到黑球的概率为：． 故答案为：． 14. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交 轴于点，轴交轴于点，连结．若矩形的周长为8，对角线的长为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质、矩形周长公式及勾股定理的综合运用，解题关键是通过设点坐标，利用矩形周长和勾股定理建立等式求出反比例函数中的值． 设，由反比例函数性质得．根据矩形周长公式得出的值，两边平方得到的值．利用勾股定理得出的值，代入上式求出，进而得到的值． 【详解】设A点坐标为（，）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴． ∵矩形周长为， 即，，， 则，化简得． 将两边同时平方得 ， 即． ∵对角线长为， 在中， 根据勾股定理， 即． 把代入中得 ． 解得． ∵， ∴． 故答案为：3． 15. 如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，根据已知得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交分别为，连接，过点作于点，设正六边形的边长为 ∵六边形是正六边形 ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵六边形是正六边形 ∴ ∵ ∴，则， ∴ ∵， ∴ 即 解得： 即， 故答案为：． 16. 如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、． （1）如图2，若，则的值为________． （2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为________． 【答案】 ①. （1） ②. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得到，再结合折叠的性质，得到，，再求比值即可； （2）根据平行四边形的性质和折叠的性质，推出是等边三角形，从而得到，过点作延长线于点，则，再根据特殊角的三角函数值，求出，，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）在平行四边形中，，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ，， ， 故答案为：； （2）在平行四边形中，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 如图，过点作延长线于点，则， 在中，，， ，， ， ， ，， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，分母有理化等知识，正确作辅助线构造直角三角形是解题关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值． 利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． （1）连接，根据作图痕迹，请说明平分． （2）如图2，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分； （2）证明：且， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、菱形的判定定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等角对等边可得，由平行线的性质可得，从而可得，即可得解； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 随着新能源汽车数量的不断增多，人们对公共充电桩的需求量也逐渐增大．为了解用户认可度较高的充电桩品牌，现随机抽取部分充电桩企业品牌进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： A：星星充电 B：特来电 C：云快充 D：小桔充电 E：国家电网 （1）此次调查中，各企业投放充电桩的总量为________万台，扇形的圆心角为________度． （2）某小区将装50台公共充电桩，业主委员会挑选了男、女业主各两名，在这四名业主中随机抽取两名到各品牌旗下店作咨询，请用列树状图或列表的方法求出恰好抽到男、女业主各1名的概率． 【答案】（1）120，54 （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解题关键． （1）用品牌的数量除以对应占比，可得总数；用总数减去其它品牌数量充电桩的数量，可得品牌充电桩的数量，再除以总数可得对应占比，然后乘以即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取到男、女业主各1名的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：由图可知品牌（特来电）的数量是36万台，且在扇形统计图中占比． 总量为（万台）． 品牌数量为（万台）． 品牌占比为， 扇形的圆心角为 ． 故答案为：120，54； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： 总共的结果数是12种，且每种情况出现的可能性相同，其中一男一女的情况有8种， 所以概率 ． 21. 如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）过点作交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角对应相等证明； （2）先证，推出，再证，推出，设，则，，根据求出x值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ． 22. 如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间 （分）之间的函数关系． （1）请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）． （2）根据图象信息，请求出与的值． （3）求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米． 【答案】（1）360米/分，72米/分 （2）， （3）分钟或分钟 【解析】 【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，看懂运动图象是解题的关键． （1）根据图中数据找出对应的路程与时间，即可求出速度； （2）由哥哥速度不变可知哥哥从学校到家与从家再返回学校所用时间相等，由此可得m的值，n时哥哥追上弟弟，根据路程、时间、速度关系可求得n的值； （3）分哥哥到家前、哥哥到家后两种情况，根据路程、时间、速度关系列方程求解． 【小问1详解】 解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分）， 弟弟的速度为：（米/分）， 【小问2详解】 解：由题意知，， ， 解得； 【小问3详解】 解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米， 分两种情况： 哥哥到家前：， 解得； 哥哥到家后：， 解得； 即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米． 23. 已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求此抛物线的解析式及顶点坐标． ②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围． （2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①，顶点，②或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、函数图象性质以及函数值大小比较等知识，解题的关键是熟练运用二次函数的相关性质进行计算和分析． （1）①将点坐标代入抛物线解析式求出，进而得到解析式并化为顶点式求顶点坐标；②先求出关于的表达式，再结合线段与抛物线的位置关系确定的取值范围； （2）先确定点坐标，再根据的正负性结合对称轴与给定区间分析函数单调性，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：①将已知点在抛物线上，将代入可得： ， 解得：， 所以抛物线解析式为， 将其化为顶点式：， 所以顶点坐标为； ②当时，代入得：， 当时，， 因为线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段过顶点，此时只有一个公共点； 当时，线段与抛物线也只有一个公共点， 所以或； 【小问2详解】 解：抛物线，对称轴为直线． 当时，． 因为对于都有． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随 的增大而增大． 要满足条件，则， 解得：； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 横坐标为3关于对称轴的对称点的横坐标为， 对于，（等号不同时成立），都有，则， 解不等式得：， 又∵， ∴ 综上所述，的取值范围是或． 24. 如图，在 中，，点P为线段上的一个动点（不与A，C重合），作点关于的对称点，连结，．是的外接圆并分别交，于点，，连结，． （1）判断是否为等腰三角形，并说明理由． （2）证明：． （3）连结，若点为线段的三等份点且，，求的值． 【答案】（1） 为等腰三角形； 理由：由翻折得， ， ， ， 为等腰三角形； （2） 证明：， ， ，， ，， ，， ， ，， 又， ， ， 又， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质求解即可； （2）先证明，得到，再证明，，即可证明结论； （3）过点A作于点H，交于点M，连结，证明经过圆心O，，然后分和两种情况，设，分别求出，，的长，根据勾股定理列方程求解，求出的长，最后利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作于点H，交于点M，连结， ， ， 经过圆心O， ， ， ， ， 当时，， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， 即， ， ，，， ， ， ， ， 设， 在和中，，， ， ， 解得， ， ； 当时，， ， ， ， ， ， ， 同理， 求得， ， 设，则， ， 解得， ， ； 【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合问题,轴对称的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，作等腰三角形的高是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $