精品解析：甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

高一数学期中考试试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第六章至必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案. 【详解】因为分层抽样的抽取比例为，所以应抽取40岁以上成员的人数为． 故选：B 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理，得． 故选：A 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的求解法则求解即可. 【详解】因为，所以在方向上的投影向量为． 故选：D 4. 方程的复数根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用实系数一元二次方程的复数根公式求解即可. 【详解】方程的复数根为． 故选：A 5. 2019－2023年甘肃省地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（ ） A. 106.9 B. 106.2 C. 105.3 D. 105.35 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列后利用百分位数的求法求解即可. 【详解】这组数据从小到大为103.8，104.4，106.2，106.4，106.9， 因为，所以这组数据的分位数是． 故选：C 6. 已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件有两解，计算求参. 【详解】因为有两解， 得，得． 故选：B. 7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 8. （ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】，利用两角和差的正弦公式化简求值即可. 【详解】 ． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】AD 【解析】 【分析】求出.B样本数据，然后分别求解极差判断A，根据众数的概念判断B，根据平均数的性质判断C，根据方差的含义判断D. 【详解】由题意得B样本数据为4，5，7，11，11，16，样本A的极差为， 样本B的极差为，极差相同，A正确． 样本A的众数为13，样本B的众数为11，B错误． 样本A的平均数比样本B的平均数大2，C错误． 样本A和B中的数据的稳定性相同，则样本A和B的方差相同，D正确． 故选：AD 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 的共轭复数为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知求出复数判断AB，根据虚部的概念判断C，利用复数的乘法法则求得，根据共轭复数的概念判断D. 【详解】由得，A正确，B错误． 的虚部为，C正确． 的共轭复数为，D错误． 故选：AC 11. 若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用三角恒等变化得出解析式，结合角的范围结合解的个数计算求参即可. 【详解】设函数，则． 由，得． 由在上恰有两个不同的实数解，结合正弦函数的图象， 得． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用平面向量共线的坐标公式列式求解即可. 【详解】因为向量，且，所以，解得． 故答案为： 13. 已知复数满足，则______，______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，然后利用模的运算法则求解即可. 【详解】由题意得，得． 故答案为：； 14. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可. 【详解】如图，假设小艇与轮船在点相遇， 由题意得，，． 由余弦定理得，得， 解得或4．故的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的概念即可求解参数，然后再计算复数的平方即可； （2）利用复数的几何意义，转换为点在直线上，即可得方程求解参数. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故； 【小问2详解】 在复平面内对应的点为， 则，得， 解得或． 16. 某校高一学生有2000名，为了了解高一学生的体能情况，该校随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，将得到的数据按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值； （2）若跳绳次数不少于115为达标，估计该校全体高一学生达标的人数； （3）估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【答案】（1） （2）1400 （3）121 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算求参； （2）应用频率计算人数即可； （3）应用频率分布直方图计算平均数即可. 【小问1详解】 由图可得，得． 【小问2详解】 样本中的达标率为， 则估计该校全体高一学生达标的人数为. 【小问3详解】 估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数为． 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）或3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据二倍角正切公式列式求解即可. （2）①化切为弦结合列方程组求解即可； ②利用两角差的余弦公式展开，然后利用二倍角的余弦公式和正弦公式代入计算即可. 【小问1详解】 由， 得，解得或3． 【小问2详解】 ①由题意得，且． 由得 ② ． 18. 如图，已知正方形的边长为2，为的中点． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若为线段上一点，且，求； （4）若，求外接圆的半径． 【答案】（1）4 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，利用坐标运算求数量积； （2）利用坐标运算求向量夹角余弦值； （3）利用共线引入参数表达向量，再由向量垂直可得数量积为0，再求出参数即可； （4）利用坐标运算求向量夹角余弦值，再由正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系， 则． 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 设，则，得． 因为，所以， 得（负根舍去），故． 【小问4详解】 由，得，则， 得． 设外接圆的半径为，则， 得． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）证明：． （2）若，求面积的最大值． （3）若，求的值． 【答案】（1） 由，得， 得， 即． 由正弦定理及余弦定理得，得． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将已知条化切为弦得，通分后利用两角和的正弦公式化简得，然后由正余弦定理化角为边可证明. （2）由基本不等式求得，然后由余弦定理得，结合同角三角函数关系及三角形面积公式得，根据求解三角形面积最大值即可. （3）结合三角形的性质利用两角和的正切公式得，再与及联立求得，再结合确定，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 当且仅当时，等号成立． 由余弦定理得， 则． 故面积的最大值为． 【小问3详解】 ，① 由， 得．② ③ 由①②③得得或 因为，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期中考试试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册第六章至必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的复数根为（ ） A. B. C. D. 5. 2019－2023年甘肃省地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（ ） A. 106.9 B. 106.2 C. 105.3 D. 105.35 6. 已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. （ ） A. B. C. D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 的共轭复数为 11. 若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，且，则______． 13. 已知复数满足，则______，______． 14. 如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在直线上，求的值． 16. 某校高一学生有2000名，为了了解高一学生的体能情况，该校随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，将得到的数据按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值； （2）若跳绳次数不少于115为达标，估计该校全体高一学生达标的人数； （3）估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 17. 已知． （1）求的值． （2）已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 18. 如图，已知正方形的边长为2，为的中点． （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若为线段上一点，且，求； （4）若，求外接圆的半径． 19. 已知的内角的对边分别为，且． （1）证明：． （2）若，求面积的最大值． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $