精品解析：上海市实验学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分40分，共有10题） 1. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式计算可得. 【详解】因为扇形的半径，圆心角， 所以扇形的弧长. 故答案为：. 2. 已知角的终边过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 3. 若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】若，得到，则，又，则，则. 故答案为：. 4. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方公式与正弦两角和公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 5. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化弦为切齐次化计算即可. 【详解】. 故答案为： 6. 函数的严格增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调区间求解函数在区间上的严格增区间即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以当时，即时，函数严格递增， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 7. 已知为等腰三角形，且，则_________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得. 故答案为： 8. 函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，根据恰有个最高点，得到不等式，求出答案. 【详解】由于，所以， 由于图象在区间上恰有2个最高点，则，解得. 所以的取值范围为 故答案为： 9. 若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先化简方程，再令，结合三角函数在上的单调性可将方程有解问题分三种情况讨论，方程在内存在两个相等根、方程两个不等实根都在上、两个不等实根一个在上，一个取，分类讨论即可. 【详解】因， 则方程在上有两解， 令，且其在上单调递增，在上单调递减， ①若方程存在两个相等根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在内存在两个相等根， 因一元二次函数对称轴， 则方程在内不可能存在两个相等根； ②若方程存在两个不相等实根， 则结合三角函数在上的单调性可知， 方程必在上存在两个不相等实根， 若方程两个不等实根都在上， 则，解得； 若方程两个不等实根一个在上，一个取， 则，得， 则，两根分别为，不符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为： 10. 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 二、选择题（本大题满分16分，共有4题） 11. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 12. 已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D. 【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误； 对于B，由题，故B错误； 对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D正确. 故选：D 13. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 14. 设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 已知，与的夹角，求： （1）； （2）向量和的夹角余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再根据模长与数量积的关系求解即可； （2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，与的夹角， 所以， 则 所以； 【小问2详解】 . 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【小问1详解】 由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 18. 已知函数 （1）求的最小值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； （3）当时，的值域为，求的值. 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，从而可得正弦型三角函数的最大值； （2）根据图象变换得函数，结合正弦型三角函数的性质解方程求得的值，利用整体代换法求解函数的对称轴和对称中心即可； （3）根据正弦型函数的性质确定函数的值域列不等式即可求得的值. 【小问1详解】 由题意可得：. 因为，所以的最小值为. 【小问2详解】 由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 【小问3详解】 当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 四、附加题 19. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. （1）试用、和表示； （2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为； ②设转向中心到路边的距离为. （2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件； （b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②，③，④.你的选择是______. （2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道. 【答案】（1） （2）（2-1）（a）右前轮与左后轮同时能够顺利过弯（不碰到边界）；车子能够在不碰到边界的前提下，顺利过弯. （b）②③ （2-2）以和分别为轴和轴建立坐标系，如图所示. 则.，， 设，，， ， 由，得，进而， 由，得， 所以当时，且，此时汽车可以通过弯道. 即当转向中心距路边 为6.642米，距路边为6.766~6.917时，汽车可以通过弯道. 【解析】 【分析】（1）利用正切函数的定义，通过已知的轮距、轴距和左前轮转向角来表示右前轮转向角的正切值. （2）以和分别为轴和轴建立平面直角坐标系，通过坐标来表示点的位置，进而分析汽车在弯道中的位置关系，求解不等式来确定汽车可以通过弯道时转向中心的纵坐标的取值范围. 【小问1详解】 （1）由已知，， 所以，， 进而. 【小问2详解】 （2-1）（a）略 （b）根据汽车通过弯道的限制条件，右前轮与左后轮同时不碰到边界，所以选择②③. （2-2）略 20. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 【答案】（1） （2）是，理由如下： 由“余弦方差”的定义得： . 所以是与无关的定值. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得，是一个与无关的定值； （3）由“余弦方差”的定义和三角恒等变换得到，要使是一个与无关的定值，则，与的终边只能关于轴对称，从而得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由“余弦方差”的定义得： ， 要使是一个与无关的定值，则， 因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称， 又，所以与的终边只能关于轴对称， 所以， 因为，，所以， 当时，，当时，， 所以或时， 相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上实验2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题满分40分，共有10题） 1. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为______. 2. 已知角的终边过点，则______. 3. 若，则______. 4. 已知，则______. 5. 已知，则______. 6. 函数的严格增区间为______. 7. 已知为等腰三角形，且，则_________. 8. 函数的图象在区间上恰有个最高点，则的取值范围为______. 9. 若关于的方程在上恰有两解，则的取值范围是______. 10. 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 二、选择题（本大题满分16分，共有4题） 11. （ ） A. B. C. D. 12. 已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 13. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 14. 设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）. ①函数的值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤） 15. 已知，与的夹角，求： （1）； （2）向量和的夹角余弦值. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 18. 已知函数 （1）求的最小值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； （3）当时，的值域为，求的值. 四、附加题 19. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米. （1）试用、和表示； （2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米，测得左右轮距米，前后轴距米.试依据如下假设，回答问题，并说明理由. 假设：①转向过程中，左前轮转向角固定，为； ②设转向中心到路边的距离为. （2-1）（a）请你用文字描述：“汽车通过弯道”的限制条件； （b）以下条件中选择两个，使得汽车能够通过这一弯道：①，②，③，④.你的选择是______. （2-2）基于你在第（2-1）的选择，建立合适的坐标系，确立转向中心的位置，使得汽车能够顺利通过弯道. 20. 对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”. （1）若集合，，求集合A相对的“余弦方差”； （2）判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由； （3）若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $