精品解析：吉林省吉林市田家炳高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

吉林市田家炳高级中学2024-2025学年下学期高一年级期中考试 数学学科试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ） A. 与互相平行； B. 与是异面直线； C. 与相交，其交点在直线上； D. 与相交，且交点在直线上． 8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（   ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为-5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D. 复数z满足，则的最大值为 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 14. 已知对任意平面向量，把B绕A点沿逆时针方向旋转得到点P，则向量.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 16. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，判断的形状. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. （1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； （2）求证：平面PCD； （3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为 （1）求函数的“伴随向量”的坐标； （2）在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，. （i）求周长的最大值； （ii）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市田家炳高级中学2024-2025学年下学期高一年级期中考试 数学学科试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】, 所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知，且向量与向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 4. 已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，球的半径为，由已知可得，可求得圆锥的表面积与球的表面积之比. 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形， 所以圆锥的高为，母线长为，由题意可得，所以， 所以圆锥的表面积为， 球的表面积为， 所以. 故选：A. 5. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 6. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边化简可得，再结合余弦定理求即可. 【详解】由正弦定理和，可得， 所以，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 7. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ） A. 与互相平行； B. 与是异面直线； C. 与相交，其交点在直线上； D. 与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【解析】 【分析】推导出四边形是梯形，从而判断AB，推导出平面，平面，再由平面平面，得，从而平面，判断C；推导出与相交，与相交，与平面相交，且只有一个交点，判断D. 【详解】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（   ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为-5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，数量积的坐标运算，模的坐标表示，以及向量夹角的公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为向量，， 对于A中，若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，解得，即， 则，所以B正确； 对于C中，若，可得，则， 所以，所以C正确； 对于D中，若，可得，则， 此时，所以D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若互为共轭复数，则为实数 B. 对于复数，若，则 C. 若是关于x的二次方程的根，则也是该方程的根 D. 复数z满足，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，则，利用复数乘法法则得到，A正确；B选项，举出反例得到B错误；C选项，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），C正确；D选项，利用复数几何意义得到z对应的点的轨迹，从而得到的最大值为. 【详解】对于A选项，设，则， 为实数，A对； 对于B，若，例如，满足， 但，，即，故B错误； 对于C，实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）， 所以为一元二次方程的两根，C对； 对于D，由复数的几何意义，可知z对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 表示圆周上的点到点的距离，所以的最大值为，故D对． 故选：ACD 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】对于A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，A错误； 对于B，取中点，中点，连结， 易证，因为，所以，即，又，，所以平面， 因为，所以点的轨迹为矩形，，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； 对于C：连接，，以为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 易知平面，FT不含于平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出，然后计算可得. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得 . 故答案为： 13. 已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱台的概念可知四边形为等腰梯形，进而可得四棱台的高，即可求得体积. 【详解】如图所示， 由正四棱台可知且，，，四边形为等腰梯形， 取上底下底的中心平面，过作，垂足为，， 且，，， 所以， 所以， 故答案为： 14. 已知对任意平面向量，把B绕A点沿逆时针方向旋转得到点P，则向量.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，计算出 ，再利用投影向量的定义及模长公式即得. 【详解】因为，，所以， ， 所以P点坐标为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数． （1）若是实数，求； （2）若是实数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是实数，可得，求出，然后计算即可； （2）先计算，再由为实数，可得虚部为零，从而可求出，进而可求出. 【小问1详解】 由，，得， 而是实数，于是，解得， 所以． 【小问2详解】 依题意，是实数， 因此，解得， 所以． 16. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长； （2）利用向量夹角余弦公式得到，得到. 【小问1详解】 ， 故， 故，解得， 故， 所以； 【小问2详解】 ， 又，故. 17. 在中，内角所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，判断的形状. 【答案】（1）； （2）； （3）为正三角形. 【解析】 【分析】（1）已知条件利用余弦定理可求得角的大小； （2）由面积公式求得，又，代入余弦定理求的值； （3）将代入已知等式中得，又，可得的形状. 【小问1详解】 在中，已知，即， 由余弦定理得，而，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. （1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； （2）求证：平面PCD； （3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，则有平面； （2）取棱的中点，由平面平面，可证平面，得，又，可证得平面； （3）由，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等，由平面，直线与平面所成角为，在中，求正弦值. 【小问1详解】 连接，如图所示， 因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取棱的中点，连接，如图所示， 为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. 【小问3详解】 连接，如图所示， 因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 19. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为 （1）求函数的“伴随向量”的坐标； （2）在中，角，，的对边分别为，，，若函数的“伴随向量”为，且已知，. （i）求周长的最大值； （ii）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用和角的正弦公式变形函数，再利用“伴随向量”的定义求出. （2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合基本不等式及二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 ， 所以函数的“伴随向量”为. 【小问2详解】 （ⅰ）由函数的“伴随向量”为，得， 由，得，，则， 在中，由余弦定理得：， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为. （ⅱ）由（ⅰ）， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $