精品解析：2025年福建省泉州市初中毕业班中考模拟考试数学试卷

2024~2025学年度泉州市初中毕业班模拟考试（二） 初三数学 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，负数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 据报道，国内产品榜统计数据显示，某人工智能应用软件在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．用科学记数法可将数据22150000表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是小明制作的建筑物桥墩模型示意图，则该模型的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 将一个量角器与一把无刻度直尺按如图所示摆放，直尺的长边与量角器的边缘分别交于点A、C、B，点B、C分别在量角器180，90的刻度上，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某校举办校园诗词大赛，随机抽取25名参赛同学的成绩（单位：分），并绘制成如图所示的条形统计图，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 98分，96分 B. 96分，96分 C. 96分，98分 D. 97分，98分 8. 设是一个四位数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则这个数是11的倍数 B. 若，则这个数是11的倍数 C. 若，则这个数是11的倍数 D. 若，则这个数是11的倍数 9. 如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，O是 的中点，点E在边上，四边形是矩形，则下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（ ） A. 不存在实数a，使得 B. 存在实数a，使得 C. 无论非零实数a为何值，都有 D. 无论非零实数a为何值，都有 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：a2+ab=_____． 12. 正六边形的内角和为___度． 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，反比例函数的图象经过线段AB的中点P，则______． 14. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为______． 15. 某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是______（只要写出一个满足条件的m即可） 16. 如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点 ，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则 的取值范围是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在和中，，，．求证：． 20. 一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 21. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 22. 如图，直线l，垂足为B，， （1）求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 23. 定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求二次函数的表达式； （2）若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 24. 日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； （2）若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； （3）若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 25. 已知四边形内接于，，在对角线 上截取，延长 至点E，连接，使得，与 相交于点I，与相交于点G． （1）若 是的直径，，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） （2）连接，，，如图2，求证：； （3）当时，如图3，试用一个等式表示，，的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度泉州市初中毕业班模拟考试（二） 初三数学 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列实数中，负数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数，在正数前面添加“”得到负数．根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：是负数， 既不是正数也不是负数，和1是正数． 故选：A． 2. 据报道，国内产品榜统计数据显示，某人工智能应用软件在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．用科学记数法可将数据22150000表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：， 故选：B 3. 如图是小明制作的建筑物桥墩模型示意图，则该模型的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的主视图．主视图即从正面看几何体，据此解题． 【详解】解：该模型从正面看是． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，利用幂的运算性质，合并同类项法则逐句进行判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、不能合并同类项，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 5. 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 6. 将一个量角器与一把无刻度直尺按如图所示摆放，直尺的长边与量角器的边缘分别交于点A、C、B，点B、C分别在量角器180，90的刻度上，连接 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 先根据题意得出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】∵点B，C分别在量角器180，90的刻度上， ∴， ∴； 故选∶C． 7. 某校举办校园诗词大赛，随机抽取25名参赛同学的成绩（单位：分），并绘制成如图所示的条形统计图，则这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 98分，96分 B. 96分，96分 C. 96分，98分 D. 97分，98分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数，出现次数最多的数为众数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案． 【详解】解：由图可知，将这25个数据按从大到小顺序排列后，第13位是96；出现次数最多是98，出现了8次， 因此这些成绩的中位数和众数分别是96分，98分， 故选C． 8. 设是一个四位数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则这个数是11的倍数 B. 若，则这个数是11的倍数 C. 若，则这个数是11的倍数 D. 若，则这个数是11的倍数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键． 【详解】解：由题意可知： ， 当这个数是11的倍数时， 可得是11的倍数， 当时，是11的倍数，故A符合题意； 当时，不是11的倍数，故B不符合题意； 当时，不是11的倍数，故C不符合题意； 当时，不是11的倍数，故D不符合题意； 故选：A． 9. 如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，O是的中点，点E在边上，四边形是矩形，则下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 交于点L，，因为四边形是菱形，O是的中点，所以， 经过点O，而，则是等边三角形，由矩形的性质得，由，可判断A不符合题意；可证明，则，因为，所以，可判断B不符合题意；由，且，得，可判断C符合题意；求得，则，再证明，则，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接 交于点L， ∵四边形是菱形，O是的中点， ∴，， 与互相平分， ∴ 经过点O， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点E在边上，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10. 已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（ ） A. 不存在实数a，使得 B. 存在实数a，使得 C. 无论非零实数a为何值，都有 D. 无论非零实数a为何值，都有 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离， 当时， 如图： 可得，即， ∴； 当时，如图： 可得，即， ∴， 综上，无论非零实数a为何值，都有， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：a2+ab=_____． 【答案】a（a+b）． 【解析】 【分析】直接提公因式a即可. 【详解】a2+ab=a（a+b）． 故答案为：a（a+b）． 12. 正六边形的内角和为___度． 【答案】720 【解析】 【详解】解：因为多边形的内角和公式：180°（n﹣2）， 所以正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°． 故答案为：720 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，，反比例函数的图象经过线段AB的中点P，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，求反比例函数的比例系数．先根据中点公式求出点P的坐标，再代入即可． 【详解】解：点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，， ，， 点P是线段AB的中点， ，即， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：1． 14. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15. 某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是______（只要写出一个满足条件的m即可） 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据商店售完这些软糖能够盈利，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合为正整数且正整数m是10的倍数，可得出m的值，任取其一即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数，且正整数m是10的倍数， ∴m可以为60，70，80，90． 故答案为：60（答案不唯一）． 16. 如图，点 是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点 分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意，正八边形的每个内角的度数为，如图所示，连接 ，过点作于点，过点 作于点，延长交于点，过点作，四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，分类讨论：当点 与点重合时；当点 与点重合时；当点 与点重合时；由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点 是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点， ∴正八边形的每个内角的度数为， 如图所示，连接 ，过点作于点，过点 作于点，延长交于点，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 当点 与点重合时， ∴，， ∴； 当点 与点重合时， 同理，，， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴，， ∴； 当点 与点重合时， 同理，点与点重合，点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴， ∴； ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的性质，二次根式的性质化简，零次幂的计算，先去绝对值，化简二次根式，计算零次幂的结果，再根据有理数的加减运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程得解法步骤是解题的关键．通过去分母、将分式方程转化为整式方程，再解方程，分式方程必须验根才能确定是否有解． 【详解】解：， 方程的两边都乘，得 ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1得， 检验：当时，， 原分式方程的解为：． 19. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先求出，再根据可证得，利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 20. 一个不透明的袋子中，装有编号分别为数字1，2，3的3个小球，这些小球除了所标数字不同外无其他差别，将袋子中的小球充分搅匀． （1）随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是 ； （2）随机摸出1个小球（不放回），记下数字作为点Q的横坐标x，再从剩余的小球中随机摸出1个小球，记下数字作为点Q的纵坐标y，求点在一次函数的图象上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法求概率以及一次函数图象上点的坐标特征，树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情况，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）法一：画树状图，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 法二：列表，求出点的坐标，可知点所有坐标为共有6种等可能的结果，其中点在函数图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 ∵三个小球中有一个小球编号为1， ∴随机摸出1个小球，摸到“数字1”的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 法一：记“点在一次函数的图象上”为事件A，画树状图如下： 总共出现6种等可能结果， 其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 法二：记“点在一次函数的图象上”为事件A，列表如下： 横坐标 纵坐标 1 2 3 1 2 3 总共出现6种等可能结果，其中摸出两个球的数字组成的点坐标符合事件A的等可能结果有2种，所以． 21. 已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】（1） 证明：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）证明：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图， 直线l，垂足为B，， （1）求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 【答案】（1）如图，⊙A是所求作的圆： （2） 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，再以点为圆心，为半径作圆，则即为所作； （2）连接，过点T作，垂足为H．在中，利用三角函数求得，再由勾股定理求得．再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点T作，垂足为H． ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 在中，，， 由勾股定理，得． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点T到直线的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． （1）求二次函数的表达式； （2）若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设 交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 是的中线， D为的中点， ， 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， ． 24. 日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长，宽，高，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长，宽，高，B物品的尺寸为长，宽，高． 根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放． 阅读以上材料，完成下列问题： （1）若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）； （2）若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由； （3）若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重，每个B物品重，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．） 【答案】（1）储物箱最多可收纳A物品24件 （2）空间利用率可以达到，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件 （3）三层①，一层②，一层④组合，总重量 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解； （2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到，求整数解即可； （3）依题意，列举方案，逐一比较即可． 【小问1详解】 解：因为， 所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙， 因为， 所以最多可摆放6层， 所以储物箱最多可收纳A物品24件； 【小问2详解】 解：空间利用率可以达到100%，理由如下： 因为， 所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙． 设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层， 依题意，得， 所以或， 当，时，A物品有4件，B物品有112件： 当，时，A物品有16件，B物品有48件； 【小问3详解】 解：三层①，一层②，一层④组合，总重量． 有以下四种组合方式： （i）三层①，一层②，一层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品22件，B物品16件 因为， 此时总重量为； （ii）四层①，三层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品16件，B物品48件， 因为， 此时总重量为； （iii）一层②，五层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品10件，B物品有80件， 因为， 此时总重量为； （iv）一层①，七层④组合： 因为，， 所以共收纳A物品4件，B物品有112件． 因为， 此时总重量为． 综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量． 25. 已知四边形内接于，，在对角线上截取，延长至点E，连接，使得， 与相交于点I，与相交于点G． （1）若是的直径，，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） （2）连接，，，如图2，求证：； （3）当时，如图3，试用一个等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接． ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴ （3） ． 证明：如图4， ∵， ∴． 又∵， ∴， 设，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴ ∴， ∴． ∴， 由，得， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是的直径，故．结合，，则，即可作答． （2）根据圆周角定理得，设，则，结合三角形内角和性质得，因为，则，结合，证明，得，即，得，故，因为，故，整理得，即可作答． （3）先证明，再设，，即，因为 ，所以，结合，则．证明，即，整理得，由得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $