精品解析：辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 考生请注意： Ⅰ．考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ．只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，即可求解. 详解】由条件可知，, 而. 故选：A 2. 设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】由，，得， 则， 所以，所以. 故选：A. 3. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解. 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 故选：A 4. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 5. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A. 6. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ） ①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案. 【详解】，所以， ， 所以，所以且，故②错误，④正确； 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故①③正确． 故选：C． 7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得. 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 故选：. 8. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B. 若，，则回归直线一定经过点 C. 若点，，….，都落在直线上，则变量x，y样本相关系数 D. 若，，则相应于样本点的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A、选项B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断. 【详解】线性回归方程为不一定经过，，…，中的任何一个点， 但一定会经过样本中心点，故A错误，B正确； 选项C，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值，即样本相关系数，故C正确； 选项D，样本点的残差为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则A，B相互独立 B. 若A，B相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得. 【详解】因为随机事件A，B发生的概率分别为， 对于A，因为，所以A，B相互独立，故A正确； 对于B，若A，B相互独立，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 有最大值 C. 当时，的图象过的切线有且仅有条 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；分析函数的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；设切点坐标为，利用导数求出切线方程，再将点的坐标代入切线方程，判断关于的方程解的个数，可判断C选项；令，求导得到其单调性和最值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，对任意的，恒成立， 所以，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以有最小值，无最大值，B错； 对于C选项，当时，，设切点为， ，则切线斜率为， 所以曲线在点的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程为，整理可得， ，即方程有两个不等的实根， 所以，当时，的图象过的切线有且仅有条，C对； 对于D选项，方程，即， 令，而， 当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，且，如图， 要使方程有两个不等实根，的范围是，D错. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为__________． 【答案】27 【解析】 【分析】利用等差数列的性质来求三个数的和即可. 【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得，所以插入的3个数之和为． 故答案为：. 13. 已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出. 【详解】设该公切线过函数、函数的切点分别为，. 因为，所以该公切线的方程为 同理可得，该公切线的方程也可以表示为 因为该公切线过原点，所以，解得. 故答案为： 14. 已知函数，若，则的最大值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数不等式恒成立可得，再构造函数，求导分析单调性，得到最值即可. 【详解】， 因为恒成立，所以恒成立，所以， 所以， 令，，则，令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 所以， 所以的最大值为1. 故答案为：1 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， 在处取得极值， （1）求的值. （2）在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解； （2）结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解. 【小问1详解】 因为函数，所以， 又函数在处取得极值. 则有，即，解得：或 经检验，时，单调递减，无极值不符合题意， 经检验，时，符合题意，故. 【小问2详解】 由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知：当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值； 因为，， 故函数在上的最小值为，最大值为. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】(1) 根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解； (2) 求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，即可列出分布列； (3) 根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解. 【小问1详解】 零假设学生对长跑喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； 【小问2详解】 从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，即随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【小问3详解】 由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即， 所以. 17. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前项和； （3）若数列，证明：数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据公式，求通项公式，再根据定义证明数列是等差数列； （2）首先根据（1）的结果，计算数列的第2项和第3项，再根据等比数列基本量计算求数列的通项公式和前项和； （3）根据前2问可知，，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 经验证，当时也满足； 所以； 又， 所以是公差为2的等差数列，通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，于是 又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项， 所以， 则，，则， 所以. 【小问3详解】 由已知， 于是. 18. 已知函数，，数列满足，，且函数在点处的切线斜率为数列的通项． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，记为数列前项和，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义可得，求导即可求解， （2）为等差数列和等比数列相乘的形式，利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，即， 又，所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 因为，所以， 所以函数在点处的切线斜率为， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 因为为数列的前项和， 所以，① ，② 由①②得 ， 所以． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的最小值为，求a的值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调区间； （2）由函数，得到，当时，得到区间上单调递增，此时；当时，分，和，三种情况讨论，分别求得函数的最小值，进而求得的值； （3）根据题意，转化为证，令，求得，令，得到在为单调增函数，结合零点的存在性定理，得到存在，使得，即，将代入得到，进而证得． 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，可得， ①当时，若，恒成立，恒成立， 可得，所以在内单调递减； ②当时，令，，可得；令得：， 所以在内单调递减，在内单调递增， 综上所述，当时，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增． 【小问2详解】 解：由函数，可得， ①当时，在区间上恒成立，区间上单调递增， 所以（舍去）； ②当时，令，可得， （i）当时，即，区间上单调递增，（舍）； （ii）当时，即， 区间上单调递减，区间上单调递增， 所以； 令函数，可得， 所以函数为单调函数，所以，解得， 故关于的方程的解为； （iii）当时，即，区间上单调递减， 所以，解得（舍去）； 综上所述，实数的值为． 【小问3详解】 证明：当时，，要证， 即证， 记函数，定义域为，可得， 令， 由，可得在为单调增函数， 因为，且， 所以存在，使得，即，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 将代入得，其中， 故，即 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 考生请注意： Ⅰ．考试时间120分钟.满分150分； Ⅱ．只交答题纸，在卷上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 2. 设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 3. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，，则（ ） A B. 2 C. 3 D. 5. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ） ①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 已知数列满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B. 若，，则回归直线一定经过点 C. 若点，，….，都落在直线上，则变量x，y样本相关系数 D. 若，，则相应于样本点的残差为 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则A，B相互独立 B. 若A，B相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 有最大值 C. 当时，的图象过的切线有且仅有条 D. 关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为__________． 13. 已知函数与函数存在一条过原点的公共切线，则__________. 14. 已知函数，若，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， 在处取得极值， （1）求的值. （2）在区间上最值. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前项和； （3）若数列，证明：数列的前项和. 18. 已知函数，，数列满足，，且函数在点处的切线斜率为数列的通项． （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，记为数列前项和，求． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的最小值为，求a的值； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$