湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二下学期数学独立作业4

华中师大一附中2023级高二下学期独立作业（4）

总分：150分  时间：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 曲线在点处的切线斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 函数的极大值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

3. 已知函数，则（    ）

A. 6 B. 3 C.  D.

4. 某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ）

A. 12万斤 B. 10万斤 C. 8万斤 D. 6万斤

5. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（   ）

A.  B.  C.  D.

6. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（   ）

A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1

C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1

7. 设函数有且仅有一个零点，则实数的值为

A.  B.  C.  D.

8. 若函数存在单调递减区间，则正数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9. 下列函数在定义域上为增函数的有（   ）

A.  B.

C.  D.

10. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（    ）

A. 当时， B. 当时，

C. 一定能被3整除 D. 的取值集合为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 曲线的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为_______________.

13. 已知函数，，且，则的最小值为__________．

14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数

（1）若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值；

（2）若在处有极值，求a与b的值.

16. 有六个数字．（运算结果以数字作答）

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？

（3）能组成多少个恰有三个重复数字的四位数？

17. 如图，在几何体中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，已知平面平面，平面平面，平面，，．

（1）证明：平面；

（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值．

18. 已知函数（是自然对数的底数）.

（1）若，证明：在区间上不存在零点；

（2）若，函数有两个极值点，.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：

19. 已知函数，.

（1）当时，求在区间内极值点的个数；

（2）若恒成立，求的值；

（3）求证：，，.