4.4　数学归纳法同步练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

4．4　数学归纳法*

4.4.1　数学归纳法(1)

 一、 单项选择题

1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋…＋(3n＋1)(n∈N*)时，第一步应证明(　　)

A. f(2)＝1＋2       B. f(1)＝1

C. f(1)＝1＋2＋3    D. f(1)＝1＋2＋3＋4

2 (2025启东联考)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n+2＜2n+3(n∈N*)时，第一步需要验证的不等式是(　　)

A. 1＜24           B. 1＋2＜24

C. 1＋2＋22＜24    D. 1＋2＋22＋23＜24

3 (2024海门证大中学)用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N*，n≥4)”时，第二步应假设(　　)

A. 当n＝k(k∈N*，k≥2)时，2k≥k2成立

B. 当n＝k(k∈N*，k≥3)时，2k≥k2成立

C. 当n＝k(k∈N*，k≥4)时，2k≥k2成立

D. 当n＝k(k∈N*，k≥5)时，2k≥k2成立

4 用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋<n(n∈N，n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边增加的项数是(　　)

A. 2k-1    B. 2k－1

C. 2k     D. 2k＋1

5 (2024南通一中月考)用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取(　　)

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

6 用数学归纳法证明>对任意n＞k(n，k∈N)的自然数都成立，则k的最小值为(　　)

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

二、 多项选择题

7 已知关于自然数n的命题P(n)，由P(k)成立可以推出P(k＋1)成立，若P(6)不成立，则下列结论中不正确的是(　　)

A. P(7)一定不成立

B. P(5)可能成立

C. P(2)一定不成立

D. P(4)不一定成立

8 (2024盐城中学月考)下列说法中，正确的是(　　)

A. 用数学归纳法证明问题时，第一步不一定是验证当n＝1时结论成立

B. 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明

C. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项

D. 用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n+2＝2n+3－1”，验证n＝1时，左边式子应该为1＋2＋22＋23

三、 填空题

9 已知x＞－1且x≠0，用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n＞1时，(1＋x)n＞1＋nx”，第一步应验证的不等式为________．

10 (2024启东一中月考)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n－1)＋2n＝2n-1＋22n-1(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，左边增加的项数为________．

11 用数学归纳法证明“设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1) ＋f(2) ＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，n≥2)”时，第一步要证的式子是________．

四、 解答题

12 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2).

 

 

 

 

 

 

 

13 (2024盐城中学月考)已知数列{an}满足：a1＝1，且对任意n∈N*，都有an＋1＝.

(1) 直接写出a2，a3，a4的值；

(2) 猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

 

 

 

4．4.2　数学归纳法(2)

 一、 单项选择题

1 用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n-1(n∈N*) 能被31整除时，从n＝k递推到n＝k＋1时，增加的项数共有(　　)

A. 7    B. 6    C. 5    D. 4

2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是(　　)

A. 3·7k+1＋6    B. 3·7k＋6

C. 3·7k－3     D. 3·7k+1－3

3 k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)(k≥3，k∈N*)为(　　)

A. f(k)＋k－1    B. f(k)＋k＋1

C. f(k)＋k       D. f(k)＋k－2

4 已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成f(n)个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由n＝k到 n＝k＋1时，应证明增加的空间个数为(　　)

A. 2k          B. 2k＋2

C.     D. k2＋k＋2

5 (2024如东中学月考)用数学归纳法证明“对任意偶数n，an－bn能被a－b整除”时，其第二步论证应该是(　　)

A. 假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝k＋1时命题也成立

B. 假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立

C. 假设当n＝k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2k＋1时命题也成立

D. 假设当n＝2k(k为正整数)时命题成立，再证当n＝2(k＋1)时命题也成立

6 (2024启东中学月考)平面上n个圆最多把平面分成an个区域，通过归纳推理猜测an的表达式，再利用数学归纳法证明．用数学归纳法证明的过程中，当n＝k＋1时，需证ak＋1等于(　　)

A. ak＋k＋1      B. ak＋k2－k＋2

C. ak＋k(k＋1)    D. ak＋2k