4.4 数学归纳法 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（苏教版）

**基本信息** 聚焦数学归纳法，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|初始值确定、第二步项添加等基本步骤|选择填空为主，如第1题初始值判断，夯实概念理解| |能力提升|数列猜想证明、不等式证明|解答题形式，如第9题数列通项猜想与证明，强化逻辑推理| |拓展探究|归纳推理、实际情境应用|结合跨情境问题，如第13题“完美平方年”，发展创新意识|

4.4　数学归纳法* 1.D　[解析] 当n=1时,21>12;当n=2时,22=22;当n=3时,23<32;当n=4时,24=42;当n=5时,25>52;当n>5时,2n>n2.则第一步证明中的初始值n0应取5.故选D. 2.C　[解析] 等式左边的特点是各数先递增再递减,当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,则当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,比较两式可得,等式左边应添加的式子是(k+1)2+k2,故选C. 3.D　[解析] 当n=k时,不等式左边等于+++…+,k∈N+,当n=k+1时,不等式左边等于+++…++,则当n=k+1时,不等式的左边比n=k时增加的项为++-=+-.故选D. 4.B　[解析] 已假设n=k(k≥2,k为偶数)时等式成立,因为n只能取偶数,所以还需要证明n=k+2时等式成立.故选B. 5.D　[解析] 当n=k时,左边A=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),当n=k+1时,左边B=(k+2)(k+3)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(2k+2),则===2(2k+1).故选D. 6.ABC　[解析] 对于A,若f(3)≥9成立,则由题意只能推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A中说法错误;对于B,若f(5)≥25成立,则由题意只能推出当k≥5时,均有f(k)≥k2成立,故B中说法错误;对于C,因为f(7)<49不满足题设条件,所以不能得出相应结论,故C中说法错误;对于D,若f(4)=25≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,故D中说法正确.故选ABC. 7.2k-1　2k+1　[解析] 因为用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除,所以第一步,当n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除;第二步,假设当n=2k-1(k∈N*)时命题正确,再证明当n=2k+1时,命题正确. 8.++…+>-　[解析] 从不等式结构看,当n=k+1时,左边最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边的式子为-,则应推证的目标不等式为++…+>-. 9.解:已知a1=1,利用递推公式计算得a2=a1+=2,a3=a2+=3,a4=a3+=4, 由此猜想,对任何正整数n,都有an=n. 下面用数学归纳法证明这一猜想. (1)当n=1时,a1=1,所以猜想成立; (2)假设当n=k(k为正整数)时,猜想成立,即ak=k, 那么当n=k+1时,ak+1=ak+=k+=k+1,猜想也成立. 根据(1)和(2),由数学归纳法可知an=n对任何正整数n都成立. 10.证明:①当n=1时,左边=,右边=, 左边>右边,所以结论成立. ②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即××…×>, 则当n=k+1时, ××…××>×=, 要证明当n=k+1时结论成立,只需证≥, 即证≥. 由基本不等式得=>,故≥成立, 故≥成立, 所以当n=k+1时,结论成立. 由①②可知,当n∈N*时,不等式××…×>成立. 11.D　[解析] 由题意知,不等式的左边各式的分子都为1,分母从1开始到(3n-1),故共有(3n-1)项,易知由n=k变到n=k+1时,左边由(3k-1)项增加到(3k+1-1)项,所以左边增加了(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k(项).故选D. 12.D　[解析] 由题意得,a1=2,a2=2+1×2,a3=2+1×2+2×2,依此类推,an=2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=n(n-1)+2,归纳猜测an=n2-n+2.当n=1时,a1=2,猜测成立;假设当n=k(k∈N*)时猜测成立,即ak=k2-k+2,则当n=k+1时,需证ak+1=(k+1)2-(k+1)+2=(k2-k+2)+2k=ak+2k.故选D. 13.1000　[解析] 由题知(1+2+3+4+5+6+7+8+9)2=2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93,则猜想13+23+…+n3=(1+2+…+n)2(n∈N*),证明如下:当n=1时,13=12,猜想成立;假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即13+23+…+k3=(1+2+…+k)2成立,则当n=k+1时,13+23+…+k3+(k+1)3=(1+2+…+k)2+(k+1)3=+(k+1)3=(k+1)2·=(k+1)2·==[1+2+…+k+(k+1)]2,所以当n=k+1时,13+23+…+n3=(1+2+…+n)2也成立.故对任意n∈N*猜想都成立.由2025=(1+2+…+9)2,得下一个完美平方年为(1+2+…+10)2==3025(年),因为3025-2025=1000,所以标题可起为“1000年之约”. 14.　[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f[f1(x)]==,猜想fn(x)=(n∈N*),下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式显然成立.假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即fk(x)=成立,则当n=k+1时,fk+1(x)==,即当n=k+1时,等式也成立.综上可知fn(x)=(n∈N*). 15.,0,　[解析] 易知f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,所以解得下面用数学归纳法证明f(n)=n3+n+1,n∈N*. ①当n=1时,由f(1)=2可知等式成立. ②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即f(k)=k3+k+1,那么当n=k+1时,在k个平面的基础上再添加第k+1个平面,它和前k个平面都相交,所以可以得到k条互不平行的交线,且其中任何3条交线都不共点,这k条交线可以把第k+1个平面最多划分成个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域,因此,空间区域的总个数增加了k2+k+1,所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1=k3+k+1+k2+k+1=(k+1)3+(k+1)+1,即当n=k+1时,等式也成立.由①②可知,f(n)=n3+n+1,n∈N*.所以a=,b=0,c=. 16.解:(1)由题中图知,f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 则f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12, 归纳可得f(n+1)=f(n)+4n. 则f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…, f(n)-f(n-1)=4n-4(n≥2), 以上n-1(n≥2)个等式相加得 f(n)-f(1)=4+8+…+4n-4=(n-1)×=2n(n-1)(n≥2), 又f(1)-f(1)=0满足上式, 所以f(n)=2n2-2n+1(n∈N*). (2)+=+==-, ++=+==-, +++=+==-, 猜想+++… +=-(n≥2,n∈N*). 证明:当n=2时,+=+=,-=, 所以当n=2时猜想成立, 假设当n=k(k≥2,k∈N*)时猜想成立, 即+++… +=-, 则当n=k+1时, +++… ++=-+=-=-, 所以当n=k+1时,猜想成立.综上可知,对任意n∈N*,n≥2都有 +++… +=-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　数学归纳法* 1.用数学归纳法证明“2n>n2对于任意满足n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的初始值n0应取 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 2.用数学归纳法证明:12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)(n∈N*),第二步从n=k到n=k+1,等式左边应添加的项是 (　 ) A.(k2+1)2 B.k2+1 C.(k+1)2+k2 D.(k+1)2+2k2 3.用数学归纳法证明“+++…+>1(n∈N*)”时,假设当n=k时命题成立,则当n=k+1时,不等式左边增加的项为(　 ) A. B.- C.++ D.+- 4.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要证明 (　 ) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 5.在用数学归纳法求证“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n为正整数)”的过程中,从“n=k到n=k+1”左边需增乘的代数式为 (　 ) A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.2(2k+1) 6.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可以推出f(k+1)≥(k+1)2成立”,那么下列中说法错误的是 (　 ) A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立 B.若f(5)≥25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立 7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是:假设当n=　　　　(k∈N*)时命题正确,再证明当n=　　　　时命题正确.  8.用数学归纳法证明:++…+>-(n∈N*).假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　　　　　　.   9.(13分)已知数列{an}满足an+1=an+,a1=1.尝试通过计算数列{an}的前四项,猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 10.(13分)用数学归纳法证明不等式××…×>(n∈N*). 11.利用数学归纳法证明不等式1+++…+<f(n)(n∈N*)的过程中,由n=k(k∈N*)变到n=k+1时,左边增加了 (　 ) A.1项 B.k项 C.3k项 D.2×3k项 12.平面上n(n∈N*)个圆最多把平面分成an个区域,通过归纳推理猜测an的表达式,再利用数学归纳法证明.用数学归纳法证明的过程中,当n=k+1时,需证 (　 ) A.ak+1=ak+k+1 B.ak+1=ak+k2-k+2 C.ak+1=ak+k(k+1) D.ak+1=ak+2k 13.数学的浪漫难以言表,今年是2025年,2025=452,2025=13+23+33+43+53+63+73+83+93,我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份称为“完美平方年”,小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信,根据今年和下一个完美平方年的时间间隔,标题可起为“　　　　年之约”.(用数字作答)  14.已知函数f(x)=,若f1(x)=f(x),fn(x)=f[fn-1(x)](n≥2,n∈N*),则fn(x)=　　　　　　(n∈N*).  15.空间内n(n∈N*)个平面最多可将空间分成f(n)个部分,且f(n)=an3+bn2+cn+1,则a,b,c的值分别为　　　　　　.   16.(15分)如图所示的图形类似于中国结的一种刺绣图案,这些图案由小正方形构成,其数量越多,图案越美丽,后面图形的摆放规律与前4个图中小正方形的摆放规律相同,设第n个图中所包含的小正方形个数为f(n). (1)利用归纳推理思想,归纳出f(n+1)与f(n)的关系,并通过你所得到的关系式,求出f(n)的表达式; (2)计算+,++,+++的值,猜想+++… +(n≥2,n∈N*)的结果,并用数学归纳法证明. 学科网（北京）股份有限公司 $