精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

玉溪一中2024-2025学年下学期高一年级期中考 数学试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：纳晓莎 常文浩 毛润涵 审题人：吴兆平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，再结合集合的运算，即可得到结果. 【详解】，且， 所以，则. 故选：C 3. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，且，所以共面，故A正确； 对于B选项，直线平面，所以平面， 因为直线，又平面，所以平面， 因为为中点，平面，所以平面， 底面为正方形，所以为中点，平面，所以底面， 又平面，平面， 所以平面与平面相交，且在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面平面，平面，但直线， 所以平面，故C错误； 对于选项D，直线平面，直线平面，， 所以直线与为异面直线，故D正确. 故选：C 4. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 5. 已知，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线得出向量共线，结合向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】因为，，，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 7. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：在中，利用正弦定理求解；方法二：设树高为，则由求解. 【详解】方法一：在中，， 又， ， 由正弦定理得：， 所以， 所以树的高度为， 方法二：设树高为，则，则， 故选：A. 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数最小正周期为1 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【详解】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A和D，根据诱导公式化简后，因角的象限不能确定，即可判断选项；对于B，利用诱导公式整体处理角即得；对于C，拆角后利用和角公式计算即得. 【详解】对于A，由只能判断为第一或第二象限角，而余弦函数在这两个象限的符号不同，故A错误； 对于B，由，因，则可得，故B正确； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，因，而， 因根据不能确定的符号，也就不能确定的值，故D错误. 故选：BC. 10. 如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 正方体被面分割成两部分的体积比为 B. 点C到平面的距离为. C. 四面体的外接球体积为 D. 二面角的大小为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用棱锥的体积公式计算分割成的三棱锥的体积，用间接法计算另一部分体积求其比值即可；对于B，先证平面，即得点C到平面的距离即即可；对于C，根据图形判断四面体与正方体共外接球易得其体积；对于D，证明是二面角的平面角，在中求其正切值即可判断. 【详解】 对于A， 如图正方体被平面分割成的较小部分的体积为， 而较大部分的体积为，则正方体被面分割成两部分的体积比为，故A正确； 对于B，连接，设交点为点，则， 因平面，平面平面，则， 又平面，故平面， 则点C到平面的距离即，故B正确； 对于C，因四面体的外接球即正方体的外接球， 故其半径为，其体积为，故C正确； 对于D，连接，交于点，连接，因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因平面，故，即是二面角的平面角， 因，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算可判断A；由向量的垂直的坐标运算可判断B；由向量数量积的坐标运算和的范围可判断C；由得，求出的范围可判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，，因为， 所以，，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，，所以，， 若，则，得， 解得，因为，所以，解得， 因为，所以无解，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 13. 定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别代入和求解即可. 【详解】对于，取，可得， 又，代入可得：，解得. 再取可得，故，解得. 故答案为： 14. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用平行四边形的面积公式，结合新定义求出第以空，利用新定义与向量数量积的定义求得的夹角，从而得到，再利用向量数量积的运算法则与基本不等式即可得解. 【详解】因为平行四边形的面积为4， 所以， 所以. 因为，， 所以，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） 连接，如下图所示： 点是的中点，所以点是对角线的交点， 所以是的中点，是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，即可求得其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），连接，如上图： 则或其补角即为异面直线与所成的角 由于平面平面，，，又 得， 所以， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为． 16. 如图，在四面体中，平面BCD，，． （1）求证：平面平面； （2）若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 【答案】（1） ∵平面，平面∴， 又∵，，∴，即， 因平面，故平面 因平面ABC，故平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由平面推出，由勾股定理证得，利用线线垂直即可证得线面垂直，继而推得面面垂直； （2）连接CM, 由 平面推得为BM与平面ADC所的角，求出相关边长，在中，利用三角函数的定义求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）知平面， 连接CM，则CM是BM在平面上的射影， ∴为BM与平面ADC所的角， ∴M为AD的中点， 则在中，因，则，， 则，从而． 即直线BM和平面ADC所成的角的余弦值为. 17. 如图函数的部分图象． （1）求和，并求的单调增区间； （2）若在区间恰好有三个零点，，，求实数k的取值范围，并求的值． 【答案】（1），，，； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，结合可得，再根据周期的范围与求解可得，进而可得单调增区间； （2）将题意转化为与在区间有三个交点，再数形结合可得，再结合三角函数的对称轴求解即可. 【小问1详解】 由，又，得 由，得， 得，取，， ，由， 得增区间，； 【小问2详解】 在区间恰好有三个零点， 即与在区间有三个交点，，，， 得. 又的对称轴为，即，故在区间有两条对称轴和. ∴，． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角A； （2）若外接圆的半径为． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）已知，AD为的角平分线，求AD的长． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简，结合角的范围即得； （2）（ⅰ）由正弦定理求得，由余弦定理得到，利用基本不等式求得，代入三角形面积公式即可；（ⅱ）（ⅱ）由条件推得，结合联立求得，再利用等面积即可求得AD的长. 【小问1详解】 由得，， 所以， 又，所以， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因外接圆的半径为，由正弦定理，可得， （ⅰ）由余弦定理，可得，即． 所以，解得，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． （ⅱ）由，得，即， 由（ⅰ）可得：，联立解得： 因为，所以， 所以． 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 由题意，； . （2）奇函数， （3）． 【解析】 【分析】（1）利用、的表示式分别化简计算即可得 ； （2）根据的表达式，利用奇偶性的定义判断为奇函数，再将其解析式化成，利用函数的单调性即可求其值域； （3）将题设不等式恒成立等价转化成在上恒成立，继而只需求在上的最大值，通过整理换元，利用函数的单调性即可求得其最大值，即得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，， 则对于，，是奇函数； 又， 因在上单调递增且为正，故在上单调递减， 则在是增函数， 由，得故得， 即的值域为. 【小问3详解】 由题意可知在上恒成立， 整理得在上恒成立 令， 则， 令，由，可得，，即得， 则，， 因函数在上递增，在上递减，故， 依题意，，即m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2024-2025学年下学期高一年级期中考 数学试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：纳晓莎 常文浩 毛润涵 审题人：吴兆平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在图示正方体中，O为BD的中点，直线平面，下列说法错误的是（ ） A. A，C，，四点共面 B. ，M，O三点共线 C. 平面 D. 与BD异面 4. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 7. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的值域为 C. 函数最小正周期为1 D. 不等式的解集为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列推理正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 正方体被面分割成两部分的体积比为 B. 点C到平面的距离为. C. 四面体的外接球体积为 D. 二面角的大小为 11. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，的值为 C. 的取值范围为 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 定义在上的函数满足，且，则________． 14. 已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．若平行四边形的面积为4，则________，若，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 16. 如图，在四面体中，平面BCD，，． （1）求证：平面平面； （2）若M是AD的中点，求直线BM和平面ADC所成的角的余弦值． 17. 如图函数的部分图象． （1）求和，并求的单调增区间； （2）若在区间恰好有三个零点，，，求实数k的取值范围，并求的值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求角A； （2）若外接圆的半径为． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）已知，AD为的角平分线，求AD的长． 19. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数（e是自然对数的底数），双曲正切函数． （1）类比三角函数的平方关系：写出、的一个平方关系并证明； （2）判断双曲正切函数的奇偶性并求的值域； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $