精品解析：广东省上进联考2025届高三下学期5月联合测评数学试题

2025届广东省高三年级5月联合测评 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，而阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以， 所以如图所示的阴影部分表示的集合为. 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3. 在中，“且”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】依据数量积的定义判断两向量夹角，从而判断三角形形状. 【详解】因为所以是锐角，因为，所以是锐角，但是不一定是锐角， 如，此时是钝角三角形，所以是不充分条件； 若为锐角三角形，则是锐角，所以且成立，所以是必要条件， 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和与差的余弦公式计算可得. 【详解】，所以， 所以， 故选：D. 5. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足， 所以 ，当且仅当，即、时等号成立. 故选：A 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 7. 已知数列是公比为（且）的等比数列，点在圆：上，且满足，若是圆的切线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设点分别为圆的圆心，依题意不妨设，根据切线长定理得到，设，利用距离公式得到方程，求出即可. 【详解】如图，设点分别为圆的圆心，依题意不妨设， 由题意知，因为是圆的切线， 根据勾股定理可得，， 所以，因为点在圆上, 故可设点，又，， 代入化简得， 整理得， 则，解得或（舍去）. 故选：D. 8. 已知为等腰直角三角形，，D为斜边BC上一动点，将沿AD折起得到三棱锥，C的对应点为，且二面角为，当最小时，三棱锥的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，过点作于点，过点作于点，作为在平面上的投影，连接，得到，判断为中点时，有最小值，进而可求解. 【详解】 设，则， 过点作于点，过点作于点， 则，， ，， ， 作为在平面上的投影，连接， 由于二面角大小为， 所以， 且， ， ， 所以当时，即为中点时，有最小值， 因为为中点，故， 又为平面内两条相交直线， 所以平面， 由正弦定理可得三角形外接圆半径为，又， 设三棱锥的外接球半径为， 则， 所以， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了丰富学生的课余生活，减轻学生的学习压力，某校提倡师生全民健身，口号为“全民健身，与奥运同行”.该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛，得到10名同学的跳绳数分别为：180，166，190，176，180，200，170，198，160，220（单位：个），则这组样本数据的（ ） A. 极差为60 B. 平均数是184 C. 方差为400 D. 分位数是185 【答案】ABD 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，即可求出极差判断A，再计算平均数、方差判断B、C，根据百分位数的定义判断D. 【详解】将这组数据从小到大排序得160,166,170,176,180,180,190,198,200,220, 这组数据的极差为，故 A 正确； 平均数为，故 B 正确； 方差为 ，故 C 错误； 因为，所以分位数为，故正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（ ） A. C的离心率为 B. 的周长为 C. 面积的最大值为 D. 若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出离心率，即可判断A，根据焦点三角形周长公式判断B，设，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可表示出及，利用基本不等式求出面积最大值，即可判断C，设，结合C即可求出轨迹方程，从而判断D. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积 ，当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 11. 如果数列的首项，且满足，则称数列为“等距数列”.已知数列是“等距数列”，则（ ） A. B. 若数列为“等1距数列”，则可能取值的集合为 C. 若，数列的前n项和或 D. 若，，，则数列存在最大项与最小项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式说明A，列出“等距数列”的前项，即可判断B，推导出，若为单调数列求出，若不单调则不成立，即可判断C，说明为摆动数列，即可判断D. 【详解】对于A：当时， ， ，当时也满足，所以，故A正确； 对于B：由“等距数列”的定义可知前四项可能为：；；； ；；；；. 故的可能取值的集合为，故B正确 对于C：，，，， ， 若数列为单调数列，当时, ； 当时, ； 若数列为摆动数列，则上式不成立，故C错误； 对于D：若为单调数列，不妨令单调递增，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列，则，则当时，与题意矛盾； 所以是摆动数列，由，则， 即的取值均在到之间（可能包含端点），又由的确定性，则必定存在最大值与最小值 （如从函数的角度理解，点为夹在与之间（可能包含直线与上的点）一系列离散的点，则一定存在最高点与最低点）， 所以数列存在最大项和最小项，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知函数，则的极小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，分析可得在区间上单调递增，又，即可得到在区间 上单调递减，从而求出函数的极值. 【详解】因为，所以， 当 时，，故 ， 所以， 当 时，，故 ， 所以， 综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增， 又因为，， 即，所以的图象关于直线对称， 故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 . 故答案为： 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为______. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意得到的含义，要使得为奇数，则要求除最高位外其余的加起来为偶数，依据二项式系数的性质得到位二进制数中共有个，由等比数列求和公式求得答案. 【详解】因为，或， 所以表示正整数的二进制表示中的个数， 要计算关于x的多项式中奇数项的系数和， 即为计算时为奇数的个数， 按位数讨论，位二进制数，只有，是奇数，共个； 位二进制数，最高位是，要使所有位加起来是奇数， 则要求其余的位中有偶数个，依据二项式系数的性质得， 所以总个数为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得， 又，所以 . 【小问2详解】 由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 16. 在平面五边形中，，，O为的中点，将四边形沿翻折，形成一个四棱锥，记平面与平面所成二面角的平面角为. （1）证明：无论为何值，直线平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题意可知：，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以无论为何值，直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意可知：为等边三角形，四边形为等腰梯形， 取的中点，连接，易知两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 又， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解； （2）首先得到，即可得到直线的方程，联立直线与双曲线方程，设，即可求出、，再由斜率公式计算可得. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为， 由题意可知的半焦距，又，， 解得，， 故的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，由，解得， 所以，则直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得，则， 因为，所以，， 所以直线的斜率 ， 所以直线的斜率为定值. 18. 五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. （1）求第2号社区有2名男医生的概率； （2）当时，求与i的关系式； （3）记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）当时, ，结合得到，即可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，从而得解； （3）依题意的可能取值为，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意第2号社区有2名男医生的概率 ； 【小问2详解】 当时, ， 由 , 故 ， 即有， 又，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列，即， 所以. 【小问3详解】 依题意的可能取值为，，， 易知10号社区有1名男医生的概率与有3名男医生的概率相同，即， 所以， ， 所以的分布列为： 所以. 19. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）已知曲线和直线交于A，B两点，设坐标原点为O. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，讨论与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：令函数，则. 若，则，在R上单调递增，至多有一个零点，矛盾，故舍去； 当，，单调递减；单调递增； 若，即，此时至多一个零点，矛盾，舍去； 所以，即. （ⅱ）此时，， 不妨设，，， 又在上单调递减，在上单调递增， 因此在和上各有一零点， 所以或，即. 令，，所以在R上单调递减， 所以时，，即， 时，，即. 若，则，，所以；同理，，. 所以时，. 时，. 综上所述，时，；时，. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数的正负得出函数单调性，进而得出最小值； （2）（ⅰ）分类讨论应用导函数得出函数的单调性结合交点个数计算得证；（ⅱ）应用点的坐标得出，再构造函数，再结合函数的单调性分类讨论证明即可. 【小问1详解】 单调递增，且， 单调递减；单调递增； 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届广东省高三年级5月联合测评 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，“且”是“为锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数，满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公比为（且）的等比数列，点在圆：上，且满足，若是圆的切线，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知为等腰直角三角形，，D为斜边BC上一动点，将沿AD折起得到三棱锥，C的对应点为，且二面角为，当最小时，三棱锥的外接球半径为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了丰富学生的课余生活，减轻学生的学习压力，某校提倡师生全民健身，口号为“全民健身，与奥运同行”.该校跳绳社团组织学生校内跳绳比赛，得到10名同学的跳绳数分别为：180，166，190，176，180，200，170，198，160，220（单位：个），则这组样本数据的（ ） A. 极差为60 B. 平均数是184 C. 方差为400 D. 分位数是185 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（ ） A. C的离心率为 B. 的周长为 C. 面积的最大值为 D. 若，则点Q在定直线上 11. 如果数列的首项，且满足，则称数列为“等距数列”.已知数列是“等距数列”，则（ ） A. B. 若数列为“等1距数列”，则可能取值的集合为 C. 若，数列的前n项和或 D. 若，，，则数列存在最大项与最小项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 13. 已知函数，则的极小值为______. 14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 16. 在平面五边形中，，，O为的中点，将四边形沿翻折，形成一个四棱锥，记平面与平面所成二面角的平面角为. （1）证明：无论为何值，直线平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 18. 五一期间，某医院进行送医下乡活动，需要派遣医生到11个社区义诊，为了方便统计，现在对这11个社区根据到医院的距离由近到远进行标号分别为0，1，2，…，10.每个社区需要安排4名医生，先从医院选派2名男医生、2名女医生到距离医院最近的0号社区，其它各社区各安排1名男医生，1名女医生，为了节约资源，在0号社区完成义诊后，从4名医生中随机选2名医生到1号社区，待1号社区完成义诊后，再从1号社区随机选2名医生到2号社区，按照这样的方式进行下去，直至最后一个社区义诊完成.记第号社区有1名男医生为事件，有2名男医生为事件，有3名男医生为事件. （1）求第2号社区有2名男医生的概率； （2）当时，求与i的关系式； （3）记在第10号社区有男医生的个数为，求的分布列和期望. 19. 已知函数，. （1）求的最小值； （2）已知曲线和直线交于A，B两点，设坐标原点为O. （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，讨论与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $