陕西省西安市新城区2025届高三第七次模拟预测数学试题

高三数学试卷参考答案 1.D由题意可得ka+b=(k一1，一3)，则一(k一1)+9=0，解得k=10. 2.C 当x-时，mx+x2+2=-3++2-吉-1<0，则p是假命题，p:3x>0,nx+ x2+2≤0. 3A由题意可得-受<1，解得a≥-2. 4.C由题意可知直线1过定点A(0,1).因为1十2一5<0，所以点A在圆C内，则直线1与 圆C相交 5.D设等差数列{an}的公差为d,则a2十a8=2as=10,得as=5,所以a3a7=(as一2d)(as十 2d)=a-4d=25-4d=-11,又d>0,所以d=3. 6.D设函数f(x)=(x一1)(x一5)，则f(x)的图象经过点M(1,0),N(3, 一4)，P(5,0).当x=3时，抛物线y2=4x对应的纵坐标为士2√5>一4，作 出∫(x)的图象，如图所示.由图可知，∫(x)的图象与抛物线y2=4.x有4个 M 不同的交点，则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为2一1 =15. 7.B如图，设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD.取BC 的中点M,连接OM,SM.在正四棱锥S-ABCD中，∠SMO为侧 面与底面的夹角，则tm∠SM0-品-反.设OM-1,则s0 巨，BM=2BC=1,则SM-5,SB=2,所以正四棱锥S-ABCD 的每个侧面均为正三角形，则顶点S的每个面角均为文，故正四棱锥S-ABCD在顶点S处 的曲率为2x一1X号-三 &D由题意得号-吾得T=w会-2由/)+/(-x+)-0,得/：)的图象关于 点(0)对称则2×牙+g一受+∈D,得g-一音+x∈D,因为1e<受所以 9=一12 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 2z1+22=4十i,,31=3-i 9.AC由 得 则2在复平面内对应的点（一2,3）位于第二象限， z1-2=5-4i,z2=-2+3i. A正确，B错误.x2一6i=一2-3i的虚部为一3，C正确.1x2=(3一i)(-2十3i)=一3+11i 的共轭复数为一3一11i,D错误 10.ACDf'(.x)=3x2+2ax+b,则f'(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+2=0,解得a=0, b=一3，则a一b=3,A正确：f'(x)=3x2一3，则f(x)在（一∞，一1）和(1，十o∞)上单调递 增，在（一1,1）上单调递减，当0<x<1时，0<x2<x<1,则f(x2)>f(x),B错误：当x>1 时，x2>x>1,则f(x2)>f(x),C正确；设切点为(m,m3一3m十2)，则切线方程为y一(m -3m+2)=(3m2一3)(x-m),又点(0,2)在切线上，所以2-(m8-3m十2)= (3m2-3)(一m),解得m=0,所以过点(0,2)可作一条切线与曲线y-f(x)相切，D正确. 1.ABD由y+芳-y,得+号-1或y=0,则C由椭圆2+号-1与直线y=0组成 易知F,0,-2),F,(0,2)为椭圆2+苦-1的两个焦点，所以1PF,+1PF,的取值范围 是[4，十oo),A正确.当点P在直线y=0上时，1|PF,|一PF:1|=0,当点P在椭圆x2十 PF=2a-PE,-PE川=21a-p IPF2|∈[a-c,a+c]=[5-2,√5+2]，得IIPF,|-IPF2|∈[0,4]，B正确.将y=mz -3代人r产+号-1.得m+5)-6mr十4=0，设该方程的两个根为1则△=20m -80>0,即m2>4,且x1+xg m+52m十5由y=mx-3=0,得x-3,假设存 6m 4 在直线1：y=x-3,使得1与C的所有交点的横坐标之和为乙，则6m十3-乙，解得 7 m m245 mm m2=10>4,D正确。当m>3时，三介于x1x2之间，假设存在直线1：y=mx一3，使得1与 3),即 +5m,得5m2+45= 49 C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，则x1x2一 0,显然该方程无实数解，C错误， 12号（或6.）由题意可得D(X)=10×号×号-号则D)-2D(x)-4×号-是 55 13.1260方法一：先从甲、乙、丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书，有CC =105种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本，最后把其余4本书平均分 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 给这两个人，有AxCC ×A8=12种分配方法.综上，不同的分配方法种数是105×12= 1260. 方法二：各选两本书与数学书、英语书组成一组，然后再分配给三人，则不同的分配方法种数 是CC号A=1260. 14.70 5 如图1，设灯带经过侧棱BB,上的E点.如图2，连接A1B,将侧面ABB1A1和 BCC,B展开到同一个平面，则A,E十CE≥A,C,当且仅当线段A,C与线段BB,有交点 时，等号成立，即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E.因为四边形BCC1B,是等腰 AB-A B 2 梯形，所以cos∠AB1B= BB 由余弦定理可得A,B= 1 42+(/10)-2×4×/10× /0 =32米，则A1B>A1B1,所以∠A1B1B>∠A1BB1, 即∠A,B1B+∠B1BC>∠A1BB1十∠B1BC,因为∠A,B,B+∠B1BC=∠BB,C,+ ∠B1BC=π，所以π>∠A,BB,十∠B1BC,即线段A1C与线段BB1有交点.cOS∠A,BB _32)2+0)2-41 2×32×/10 可得nA,B,-看面∠B,BC=:∠AB.B) i而，可得sim∠B,BC- 3 ,所以cos∠A1BC=cos(∠A1BB1+∠B,BC)= 10 7 由余弦定理可得A,C= 521 8/+2-2x2x3x(万-T 米.则所需打带的长度的最小值为不米 图1 图2 15.解：(1)因为2(a-c)(sinA+sinC)=b(sinC+2sinB),所以2(a-c)(a+c)=b(c+2b), 即2(b2十c2-a2)=一b0,…1分 则cosA=62+c2-a2 1 …3分 2bc 4 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 因为0<A<x,所以sinA=√-cosA-压 …5分 (2因为△ABC的面积为压.所以吃csnA-后c=万，则k=8.…7分 由余弦定理可得a2=6+-2c0sA=(6+e)-受c=36- X8=24,…9分 则以=2/6。…10分 设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R=,”, sinA ，则R=1I0 810 00040040 5 …12分 故△ABC外接圆的面积为R:-32x 51 …13分 16.(1)证明：取棱PD的中点F,连接EF,CF 因为E,F分别是棱PA,PD的中点，所以EFAD,EF=AD. …1分 因为AD∥BC,AD=2BC,所以EF∥BC,EF=BC,…2分 所以四边形BCFE是平行四边形，则BECF.… …4分 因为BE中平面PCD,CFC平面PCD,所以BE平面PCD.…6分 (2)解：分别取棱AB,CD的中点O,G,连接OP,OG.易证OB,OG,OP两两垂直，则以O 为坐标原点，OB,OG,OP的方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系。 设AB=2,则A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(-1,4,0),P(0,0,3), 所以B武=(0,2,0).Cp=(-1,-2,5),CD-(-2,2,0).…8分 设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,之1)， n·BC=2y1=0, 则 令x=3,得n n.Cp=-x1-2y1+31=0 (5,0,1). …10分 设平面PCD的法向量为m=(x2y2,z2), m·Ci=-2x2+2y2=0, 则 令x2=1,得m=(1,1,√5).…12分 m.Cp--x2-2y2+5z2=0, 设平面PBC与平面PCD的夹角为0， 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 则cos0=|cos(n,m)1= n·m 23 n m 2×5 行，即平面PBC与平面PCD夹角的余弦值 …15分 c3 a 17.解：(1)由题意可得2 -=16, …3分 c2=a2+b2, 解得a=1,b=2/2,… …5分 故双曲线C的标准方程为x2-义 8,544444*40”7 (2)由题意可知直线I的斜率不为0，则设直线l:x=my十3，A(x1y1),B(x2yz. 2-y 联立 8整理得(8m2-1y2-48my十6=0，…8分 x=my十3， 则8m2-1≠0，△=(-48m)2-4(8m2-1)×64>0. 48m 64 y+y=8m-y1y:-8m2- …10分 482 因为△ABF,的面积为7， 所以2FF·1y-l=2X6×√ 48m 8m2-1 18m2-1 7 …12分 整理得49m+49=2(8m2-1)2,即128m'-81m2-47-0,即(128m2+47)(m2-1)-0, 解得m2=1,所以m=士1，…14分 故直线1的方程为x-y-3=0或x十y一3=0.…15分 18解：1)甲答对题目的概率为分×宁+号×是-号 …4分 (2)记“第i次答题的人是甲”为事件A,“第i次答题的人是乙”为事件B, 所以P(B2)=P(AB,)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A,)+P(B1)P(B,|B1) -×1-号)+号×号是 …10分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 (3)设P(A)=p:,依题可知，P(B,)=1一p: 则P(A1)=P(AA+1)+P(B,A+1)=P(A,)P(A+1A)+P(B,)P(A+1IB:), 即p1-号p,+1-2)×1-p,)-石P,+2 …13分 设B十A=名p+0.解得A=一号则p1一号(p,一哥》 …15分 又P=方p-号一0所以p,一引是首项为一0，公比为行的等比数列 ,…16分 即p,是=×（哈）P,-是品x(传》 …17分 19.(1)解：h(x)不是“金字塔函数”.… …1分 (2)证明：因为g(x)= c-1D+1+所以g2-x)=1-)+1+1-gx).所 以g(x)的图象关于直线x=1对称.…2分 g'(x)= n[(x-1)2+1]-1(2x-2) [(x2-2x+2)"+1]2 …3分 因为n∈N”,(x-1)2十1>0，所以令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,…4分 所以g(.x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 则g(x)存在唯一的极值点1，故g(x)为“金字塔函数” …5分 (3)解：因为f(x)为“金字塔函数”，所以f(2一x)=f(x), 所以e2-r+e+a(2-x)2+b(2-x)-a=e+e2-x十a.x2+hx-a, 整理得(2a十b)x=2a十b对x∈R恒成立，…6分 则2似十b=0,得b=一2.…7分 所以f(x)=e'十e2-十ax2-2a.x-a, 则'(x)=c-e+2a(x-1). f'(x)的导数"(.x)=e+e2-十2a≥2e+2a. …8分 当a≥一e时，f”(x)≥0，则f'(x)单调递增，…9分 因为f'(1)=0,所以当x∈（一o∞，1）时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，'(x)>0,f(x)单调递增， 则f(x)存在唯一的极值点1.… 10分 当a<一e时，"(x)的导数f"(x)=e一e2-,易知(x)单调递增， 当x∈（一∞，1）时，(x)<0,f”"(x)单调递减， 当x∈(1，十o∞)时，*(.x)>0,f"(x)单调递增， 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 所以”(x)mn="(1)=2e十2a<0.…12分 易证e>x+1(x>0). 当x∈(-o∞，1)时，f"(x)=e+e2x+2a>e2+2a>3-x+2a, 若x<3+2a,则3-x+2a>0,则f"(x)>0, 当x∈(1，+oo)时，f"(x)=e+e2-++2a>e+2a>x+2a+1,若x>-2a-1,则"(x) >0,… …13分 所以"(x)存在两个零点x1∈(3十2a,1),x2∈(1，一2a-1), 所以当x∈(-o∞，x1)时，f"(x)>0,当x∈(x1,2)时，”(x)<0,当x∈(x2·十∞)时， f(x)>0, 所以'(x)在（一o∞，x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,十∞）上单调递增.… …14分 由x1<1<x2,且(1)=0，得'(x1)>0,f(x2)<0, 当x·一o∞时，'(x)→一oo,当x→十o∞时，f'(x)→十o∞， 则必存在唯一的x∈（一∞，x1),使得∫'(x3)=0, 必存在唯一的x,∈(x2,十∞)，使得∫'(x)=0,… …15分 所以f(x)在（一o∞，xa)上单调递减，在(x3,1)上单调递增，在(1，x)上单调递减，在(x4, 十o∞)上单调递增，则f(x)有3个极值点，不符合题意.…16分 综上，a的取值范围是[一e,十o∞). …17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】高三数学试卷 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：高考全部内容。 齦 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 却 1.已知向量a=(1,0),b=(一1，一3)，若(ka+b)⊥b,则= A.-10 B.-2 C.2 D.10 谢 2.若p:Vx>0,lnx+x2+2>0,则 拟 Ap是真命题，且一p:3x>0,lnx十x2+2≤0 长 B.p是真命题，且p:3x≤0，lnx+x2+2≤0 C.p是假命题，且p:3x>0,lnx十x2+2≤0 D.p是假命题，且7p:3x≤0，lnx+x2+2≤0 3.若函数f(x)=2+-3在(1，十∞)上单调，则a的取值范围是 A[-2,+o∞) B.[-1,+o∞) C.(-∞，-2] D.(-oo,-1] 4.直线1：x十ay-a=0与圆C:x2+y2+2y-5=0的位置关系是 钢 A相离 B.相切 C.相交 D.无法确定的 5.在公差大于0的等差数列(an)中，a2十a4=10,a3a1=一11，则该数列的公差为 版 A受 a号 C.2 D.3 6.已知集合A={(x,y)川y=(x-1)(x-5)1,B={(x,y)1y2=4x},则A∩B的真子集的个 数为 A.3 B.4 C.7 D.15 7.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体 顶点的曲率等于2x与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如： 正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为了，则其各个顶点的曲率均为2x一3×号 元若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为√2，则四棱维S-ABCD在顶点S处 馨 的曲率为 A受 B.2x 3 c D.元 【高三数学第1页（共4页】 8.已知函数f(x)=2cos(ax十p)(m>0,|p|<2)的图象经过点A(z1,2),B(x2,一2)， 1x1-x的最小值为受，且f(x)+f(-x+没)=0，则p= A君 B-8 C 12 D一8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数21，z2满足2x1十z2=4十i,之1一之2=5一4i,则 A.x1=3-i B.z2在复平面内对应的点位于第一象限 C.z2一6i的虚部为一3 D.21z2的共轭复数为3十11i 10.已知函数f(x)=x3+a.x2十bx十2在x=1处取得极值0，则下列说法正确的是 A.a-b=3 B.当0<x<1时，f(x2)<f(x) C.当x>1时，f(x2)>f(x) D.过点(0,2)可作一条切线与曲线y=f(x)相切 1.已知曲线Cy+号-y,点F(0,-2),F,0,2),则 A当P为C上的动点时，IPF,|十|PF2|的取值范围是[4，十∞) B.当P为C上的动点时，|IPF1|一|PF:I的取值范围是[0,4幻 C.存在直线l:y=mx一3(m>3),使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 在直线人：y=mx一3(m>2),使得1与C的所有交点的横坐标之牙 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X一B(10,),随机变量Y=2X十1，则D(Y)=▲ 13.将9本不同的书（包括1本数学书和1本英语书）平均分给甲、乙、丙三人，其中数学书和英 语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是▲，（用数字作答） 14.某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为ABCD-A,B,C,D1,AB=2米，A1B1= 4米，AA,=√I0米.为举办特展，某策展团队计划以地面顶点A,为起点安装一条LED灯 带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台ABCD-A1B,C,D1的表面经过侧棱BB,后 到达顶点C,则所需灯带的长度的最小值为▲米. 【高三数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2(a一c)(sinA十sinC)=b(sinC+ 2sin B). (1)求sinA的值： (2)若b+c=6,且△ABC的面积为√15，求△ABC外接圆的面积 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=2AB=2BC,△PAB是等边三角 形，平面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点. (1)证明：BE平面PCD (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值， 17.(15分) 已知双曲线C,看-1@>0，b>0)的离心率为3，F,F,分别是双曲线C的左，右霜 点，过F:的直线l与双曲线C交于A,B两点.当直线l垂直于x轴时，|AB|=16, (1)求双曲线C的标准方程， (2)若△ABF,的面积为18，求直线1的方程 【商三数学第3页（共4页】 18.(17分) 甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题， 若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题 的概率为号，给出科学题的概率为号已知甲答对文学题与科学题的概率分别为分，，乙答 对文学题与科学愿的概率均为号，且各轮答题正确与否相互独立由抽签确定第1次答题的 人选，第1次答题的人是甲，乙的概率各为2 (1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； (2)求第2次答题的人是乙的概率； (3)求第i次答题的人是甲的概率 性 燃 19.(17分) 若函数(x)的图象关于直线x=1对称，且p(x)存在唯一的极值点，则称p(x)为“金字塔 b 函数” 烟 1请判断函数：)-女-宁+宁女-：是香为金字塔函数，（无需说明理由) 哦 (2)证明：当n∈N~时，函数gx)=-2z十2+恒为“金字塔函数” (3)已知函数f(x)=e十e十ax2+bx一a(a≠0)为“金字塔函数”，求a的取值范围， 焦 【高三数学第4页（共4页）】