精品解析：广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题 一、单选题 1. 如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当且时称为“凹数”；若，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（ ）. A. 20 B. 36 C. 24 D. 30 5. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 7. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 9. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小无法确定 二、多选题 11. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 直线恰好过点C D. 三、填空题 12. 已知随机变量，，，______. 13. 若， 则的值为___________ 14. 、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为___________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若有三个零点，求的取值范围. 16. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； （2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄 次数 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. （1）证明：当且仅当时，； （2）若，且，比较与1的大小； （3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市五校联考2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题 一、单选题 1. 如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由散点图图形趋势可判断大小关系. 【详解】因③图形比较分散，则；因①②④相较③接近于一条直线附近，则， 又②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则. 综上，最大. 故选：A 2. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，则. 故选：D. 3. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将样本点中心，并代入回归方程，求，并代入后，即可求解残差. 【详解】因为回归直线过样本点中心即，将其代入，可得， 解得，当时，，所以残差为. 故选：A 4. 一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当且时称为“凹数”；若，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（ ）. A. 20 B. 36 C. 24 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析： （1）在五个数中任取3个数，来组成“凹数”， （2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位，个位，由分步计算原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： （1）在五个数中任取3个数，来组成“凹数”，有种取法， （2）将取出的3个数中最小的数放在十位，其余2个数放在百位，个位，有种情况， 则“凹数”的个数为个. 故选： 【点睛】本题考查分步加法计数原理，考查排列组合公式，属于基础题. 5. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，分析幂指数的特征即可得解. 【详解】展开式通项， 依题意，，解得，因此是的倍数，只有选项C符合要求. 故选：C 6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率的定义，分别计算即得解. 【详解】由题意 事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件 由条件概率的定义： 故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题. 7. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次甲投篮四种情况求概率可得答案. 【详解】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为，， 则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别为，， 根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为 第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮， 其概率为； 第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮， 其概率为. 则前4次中甲恰好投篮3次的概率为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对前4次中甲恰好投篮3次的情况分析，然后再由互斥事件的概率加法公式求和. 8. 已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 作出和的图象如图： 令，可得，（舍去）， 所以曲线上斜率为3的切线的切点为， 该切线方程为，与直线平行， 两平行线间的距离即为到直线的距离， 即的最小值即为． 故选：A． 9. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数求导公式找到（为常数），结合二次函数性质和条件计算判断结论的正误； 【详解】根据题意可知，则（为常数）， ①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确； ②若销量为800件时，总收益为， 所以（为常数），解得, 则当销量增加400件，即件，总收益，②正确； ③当销量从500件增加到501件时，， 总收益改变量的近似值为500．③正确； 故选：D. 10. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 二、多选题 11. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，经过残差分析确定B为离群点，把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到经验回归直线的方程为，样本相关系数为，决定系数为，（其中决定系数是样本相关系数的平方，即，去掉离群点B后，拟合效果更好），则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 直线恰好过点C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由回归直线方程的概念对选项逐一判断 【详解】对于A，B，由图可知与正相关，故故A正确，B错误 对于C，由，，故回归直线过，C正确 对于D，由题意得去掉离群点B后，拟合效果更好，则，故D错误 故选：AC 三、填空题 12. 已知随机变量，，，______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】已知随机变量，知， 因为, 所以. 故答案为：. 13. 若， 则的值为___________ 【答案】1 【解析】 【分析】令，则，令，则，从而可求出答案. 【详解】解：由， 令，则， 令，则， 则 . 故答案为：1. 14. 、为上在轴两侧的点，过、的切线与轴围成面积的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设点、，不妨设，利用导数求出曲线在点、处的切线方程，求出点的坐标，以及，可得出的表达式，利用基本不等式结合导数法可求得面积的最小值. 【详解】对函数求导得，设点、，不妨设， 所以，曲线在点处的切线方程为，可得， 同理可知，曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即点， 在直线方程中，令，可得，即点， 同理可得点， 所以，， ， 令，令， ， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增，则. 当且仅当时，的面积取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意只需满足，解得即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 且 令，解得或，则函数在上单调递增； 令，解得，则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 且当时，，当时，， 要使得函数有三个零点，则需满足， 解得， 综上可得，实数的取值范围. 16. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； （2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 【答案】（1）X分布列为： X 0 1 2 3 P （2）Y的分布列为： Y 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可. 【小问1详解】 有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3． 每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 所以，， ，， 则X分布列为： X 0 1 2 3 P 则 【小问2详解】 不放回抽样时，则 ，，， 则Y的分布列为： Y 0 1 2 P 则 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算和，得切线方程为； （2）先求导得，分和讨论，求出极小值，再由整理有，构造新函数，利用导数求解即可. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 因为，所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： - 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则． 因为，当等号成立， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是． 18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表． 年龄 次数 每周0～2次 70 55 36 59 每周3～4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率． 参考公式：． 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2） 0 1 2 . （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的列联表，求得卡方值，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 则， 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 19. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. （1）证明：当且仅当时，； （2）若，且，比较与1的大小； （3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 【答案】（1）若，则，所以. 当时，因为，所以，所以. 综上可知：当且仅当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，当时，由可得，由此可说明结论成立. （2）根据条件可计算的值，由此可计算，进而比较大小. （3）根据题意表示，利用错位相减法计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，由，得. 因为，所以，解得，于是，.. 因为，所以. 【小问3详解】 由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前19次都正面朝上， 则，，，…， ，. 所以，. 所以. 设，则， 两式相减得， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $