精品解析：上海市南洋中学2026-2027学年高二上学期期中学习能力诊断测数学试卷

2621高二年级数学学科期中学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线：与直线：的夹角为__________． 2. 圆锥的轴截面是一个腰长为1的等腰直角三角形，则圆锥侧面积大小为__________． 3. 焦点在轴上的椭圆方程为，其焦距为，两个焦点为、，弦过点，则的周长为__________． 4. 已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______． 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________． 6. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________. 7. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 8. 已知正四棱柱的底面边长为2，若与底面所成角的大小为60°，则与平面所成角的大小为__________． 9. 在正三棱锥中，是三角形的中心，且，则______． 10. 现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟． 11. 已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为2、2、，则的取值范围为__________． 12. 已知圆：，点在圆上，点在轴上，圆上存在不同的两点、使得，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 14. 若过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 曲线，与直线有两个交点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若． （1）求图2中六面体的表面积； （2）求二面角的大小． 18. 已知圆：，直线：． （1）若直线与圆相离，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相交，求弦的中点的轨迹方程． 19. 如图，在长方体中，，，，、分别是棱、上的点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，指明点的位置；若不存在，说明理由． 20. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，，点是的中点． （1）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 21. 把圆弧：（）和右半个椭圆：（）合成的封闭曲线称为“果圆”，与轴左右交点依次记为、，与轴上下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与交于、两点． （1）当直线与轴垂直时，求的面积； （2）当、两点都在半椭圆上时，弦长是否存在最大值与最小值？若存在，求出其最大值与最小值并说明理由；若不存在，也请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2621高二年级数学学科期中学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 直线：与直线：的夹角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求解两条直线的倾斜角，结合直线夹角的定义与取值范围，计算得到两直线的夹角； 【详解】直线：的斜率，的倾斜角， 直线：是垂直于轴的直线，其方向平行于轴，因此倾斜角， 因此直线与的夹角为. 2. 圆锥的轴截面是一个腰长为1的等腰直角三角形，则圆锥侧面积大小为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设底面半径为，母线，由题意可得，解得， 所以. 3. 焦点在轴上的椭圆方程为，其焦距为，两个焦点为、，弦过点，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】焦点在轴上的椭圆焦距为， 所以，解得， 所以，则， 所以的周长为. 4. 已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案. 【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值， 其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 5. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解之即可. 【详解】，且直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， ， ，即，解得． 故答案为： 6. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将图还原成正三角形，求出其面积，再根据面积比即可得到答案. 【详解】如图，所以，且为正三角形，则， 因此在中，， ， 故答案为：. 7. 某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可. 【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则， 由截面圆的周长为，得，∴， 球的半径是． 所以该球的表面积为. 故答案为：. 8. 已知正四棱柱的底面边长为2，若与底面所成角的大小为60°，则与平面所成角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面得到平面角即为与底面所成角,于是得到，再由线面垂直判定得到平面，得到即为与平面所成角的平面角，在直角三角形中求解大小即可. 【详解】如图，连接，在正四棱柱中， 平面，所以平面角即为与底面所成角， 所以，所以. 因为平面，平面， 所以，因为四边形为正方形， 所以，又因为，平面， 所以平面，所以即为与平面所成角的平面角. ，又因为， 所以在直角三角形中， 所以与平面所成角的大小为. 9. 在正三棱锥中，是三角形的中心，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正三棱锥的线面垂直性质，将目标向量分解为具有垂直关系的向量组合，结合勾股定理计算的长度，通过向量数量积的运算率求解. 【详解】由正三棱锥的性质，O是底面等边的中心，因此平面， 由于平面，故，即， 已知，为边长为2的正三角形，其高为， 因此， 因为为直角三角形，直角顶点为O， 在中，， 已知， 则， ，因此 ， ，可得. 10. 现有甲乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时________分钟． 【答案】19. 【解析】 【分析】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为，由题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，则答可求， 【详解】不妨以正四棱台为例，设正四棱台的高为， 由，正四棱台的中截面是边长为4的正方形， 当水的高度是四棱台高度的一半时，甲容器内水的容积为 设水流速度为v，则， 当乙容器中水的高度是四棱台高度的一半时，水的容积为 当水的高度是四棱台高度的一半时用时为分钟. 故答案为：19. 11. 已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为2、2、，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，外接球球心坐标为，利用向量坐标运算表示，然后得到，利用几何直观得到，于是可得的取值范围为. 【详解】由图可知，， 以为坐标原点，所在方向为轴建立空间直角坐标系. 因为是长方体外接球的一条直径，考虑长方体的对称性， 不失一般性，可使点与点重合，其图形如下所示. 设，其中， 则， ，因为外接球球心坐标为， 所以， 因为在长方体表面上运动，所以. 当在平面且在正上方时，或当在平面且在正下方时均有最小值1；当在点或点时有最大值. 所以 12. 已知圆：，点在圆上，点在轴上，圆上存在不同的两点、使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，再把圆沿该向量整体平移，则圆上存在这样的不同两点、就等价于两圆有公共点，由圆心距不超过半径和得，解出的范围. 【详解】由，移项得，即，所以， 与平行且同向； 把圆沿向量平移，得到圆，半径不变， 若在圆上，则终点必在圆上，又本身还必须在圆上，所以圆与圆有公共点， 圆的圆心，半径,圆的半径也是，所以两圆圆心距长， 题目要求、是不同两点，即，等价于，点到轴的距离为，而在轴上，故恒成立， 因此、始终不重合，无需额外剔除取值； ， 代入，两边平方得，即，解得， 当时，两圆外切，公共点唯一，此时恰好是圆的直径，、为直径的两个端点，两点不同，符合题意，故端点可以取到， 所以实数的取值范围为. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，故舍去； 当时，直线与直线互相平行，符合题意； . 故选：D 14. 若过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆的方程确定的范围，再利用“过点可作圆的两条切线等价于点在圆外”列不等式求解，取交集得到的取值范围. 【详解】由圆，得， 过点总可以作两条直线与圆相切等价于点位于该圆的外部， 所以， 整理得 ，解得 或 ， 又，对两个范围取交集，可得的取值范围为 15. 曲线，与直线有两个交点，则实数范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到，最后计算即可求解. 【详解】由曲线，，可得，， 所以曲线，为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线与曲线有两个交点时，可得. 与半圆相切，则，整理得，解得，即. 经过点，则，解得，即. 所以实数范围是. 16. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：分以下两种情况讨论：（1）点到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点位于正四面体各棱的中点，符合条件的有个点； （2）点到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有个点，故选C. 考点：新定义 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫等功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目，如图1所示的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得到图2所示的六面体形状的香囊．若． （1）求图2中六面体的表面积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求边长为的六个等边三角形的面积之和即可求解； （2）和都是等边三角形，取的中点，连接，，，设面，可得即为二面角的平面角，在中，由余弦定理即可求解并求得角的大小. 【小问1详解】 由题意可得：六面体的六个面都是边长为的等边三角形， 所以六面体的表面积为； 【小问2详解】 由题意可得：和都是等边三角形，且边长为， 取的中点，连接，，，设面， 可得，，且， 所以即为二面角的平面角， 在正四棱锥中，， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以 18. 已知圆：，直线：． （1）若直线与圆相离，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相交，求弦的中点的轨迹方程． 【答案】（1）． （2），其中． 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，利用圆心到直线的距离大于半径求参数范围． （2）利用弦中点在过圆心且垂直于弦的直线上，消去参数得到轨迹方程，再由相交条件确定轨迹范围并检验充分性． 【小问1详解】 圆的方程可化为，所以圆心为，半径为． 圆心到直线的距离为，直线与圆相离的充要条件为，即． 因为，所以两边平方并整理得，即，解得． 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 直线的方程为，恒过定点． 设直线与圆交于、两点，弦的中点为． 过圆心且垂直于的直线方程为，由垂径定理，点在这条直线上， 故，又因在上，得． 于是，即，化为． 由于、为两个不同的交点，弦中点在圆内，所以， 结合，得，即． 反之，任取满足且的点． 若，由圆的方程得或，均不满足，故． 取，则，且由得， 所以是圆心在直线上的垂足． 又由得，故在圆内，直线与圆相交，且为所得弦的中点． 因此，弦中点的轨迹方程为，其中． 19. 如图，在长方体中，，，，、分别是棱、上的点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为，若存在，指明点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，为线段的中点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条异面直线方向向量，利用向量夹角公式、取绝对值算出异面直线所成角的余弦值； （2）参数表示线段上动点，求出平面法向量，借助线面角向量公式列方程，检验参数范围判断点是否存在. 【小问1详解】 以点为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由，，，，可得，，，，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设（）， 则， ， 设平面的法向量为，由得 ，令，取法向量为，， ， ， 设直线与平面所成角为，由题设，即， 所以， 整理得，解得（舍去），， 当时，，，，于是，即，与题设相符， 所以线段上存在满足条件的点，且为线段的中点. 20. 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，，点是的中点． （1）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （2）证明：平面平面； （3）若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）存在，是棱上靠近的三等分点，且 （2）因为底面，底面，故， 在直角梯形中，， 过点作的垂线，垂足为，则， 故， 则，故， ，平面， 故平面， 又平面，故平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形找到对角线交点分线段比例，再在中构造平行线，用线面平行判定定理证明； （2）先证垂直平面内两条相交直线，再由面面垂直判定定理证两面垂直； （3）先找到线面角，列方程求出长度，再用等体积转化，换顶点计算三棱锥体积． 【小问1详解】 存在，是棱上靠近的三等分点，且． 设， 因为，所以， 由得相似比为，故， 在上取点，使得，则在中， ， 由平行线分线段成比例定理的逆定理，得， 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得平面． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 直线与平面所成的角，即与其在平面内的射影的夹角， 由（2）知，， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 故角即为直线与平面所成角， 即， 解得，结合得，即, 由（2）知，平面，故是三棱锥的高， 为中点，故， 故． 21. 把圆弧：（）和右半个椭圆：（）合成的封闭曲线称为“果圆”，与轴左右交点依次记为、，与轴上下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与交于、两点． （1）当直线与轴垂直时，求的面积； （2）当、两点都在半椭圆上时，弦长是否存在最大值与最小值？若存在，求出其最大值与最小值并说明理由；若不存在，也请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值． 【答案】（1）1 （2）存在，； 设直线，代入椭圆方程整理得： ， 设两交点纵坐标为，则， 则， 令，则， 已知、两点都在半椭圆上，即两交点横坐标均满足， 临界情况为交点在，此时，解得， 故满足条件的的取值范围为， 令，求导得， 故函数在上单调递增， 故，． （3）1 【解析】 【分析】（1）先推导圆弧与椭圆的基本参数和交点坐标，代入垂直直线方程求弦长，再用底乘高公式计算三角形面积； （2）设斜截式直线联立椭圆方程，通过韦达定理和弦长公式表示，结合右半椭圆的定义域确定参数范围，求导判断单调性后得到弦长最值； （3）将三角形面积转化为纵坐标差的表达式，分“两点都在椭圆”和“一点在椭圆、一点在圆弧”两类讨论，分别求单调性与区间最大值，比较后得到全局最大值． 【小问1详解】 圆弧圆心为，半径为，左交点， 椭圆，右焦点， 当直线l与x轴垂直时，方程为，代入椭圆方程： ， 故弦长， 到直线的距离为， 故． 【小问2详解】 ，；理由：略 【小问3详解】 由题意知，，故， ， 若均在右半椭圆上，对应第（2）问，， 此时， 代入面积公式得， ， 故在上单调递减，最大值为； 若P在右半椭圆、Q在左圆弧上，对应， 圆弧以F为圆心，故，将代入圆弧方程， 得，因Q在下方，故， P为直线与椭圆的正纵坐标交点，由求根公式得， 代入面积公式化简得， 求导得， 时，，， 时，，此时， 时，， 综上可得，函数单调递减，最大值， 故面积最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $