陕西省渭南市大荔县大荔中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

2025 届高考信息卷·数学 本诚卷满分150.分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知集合M={-1,1,2,3},N={xy=√/1-z),则MnN A.（-o∞，2) B.(-1,1) C.{1,2,3) D.{-1,1》 2.已知i为虚数单位，复数z满足(1+)z=3-i,则|z= A.5 B.5 C.22 D.2 3.已知向量a=(0,2),b=(1,1),则a在b方向上的投影向量的坐标为 A停) B.(1,1) C.(-1,-1) D(-9- 4.已知cos(a-)=l,tanatanB=2,则cos(a十B) A-立 R-吉 c号 D青 5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为4√7，则该四棱锥的外接球的表面积为 A品 8器 C.24π D号 2-a,x>0 6.设函数f(x)= ,对Y1,∈R(≠)有）二>0成立，则实数a的 -x2+ax,x≤ x1-x2 取值范围是 A.[0,1] B.(-∞，1] C.(1,+∞) D.[1,2] 7.不等式(x2-ax-1)ln(x+1-b)≥0对任意x>0恒成立，则a2+8的最小值为 A.22 B.2√2-2 C.2 D.22+2 8.二元函数z=f(x,y)表示有两个自变量x,y的函数，其中x,y∈R,如x=xy为一个二元函数.设 x,y为正整数，二元函数f(x,y)满足f(1,1)=1,f(x,y+1)=f(x,y)+1,f(x十1,1)=2f(x, 1),则f(2025,2024)= A.2202+2023 B.22024+2023 C.22o23+2024 D.22024+2024 高三·数学·信息卷[第1页] CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描Ap 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分」 9.下列说法正确的是 A.随机变量X~N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6827，则P(x>4)=0.15865 B.随机变量Y服从两点分布，且EY)=了则D(3Y)=2 C.对a,b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为一0.8728，对m,n两个变量进行相关性检 验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D.在(1十2y)的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 10.已知函数f（x)=x-sinx,则 A.f(x)为其定义域上的增函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的图象与直线y=1相切 D.f(x)有唯一的零点 11.如图，圆锥的顶点为V,将半径为R的球O'置于该圆锥内，使得球O与圆锥侧面相切于圆O,平 面B与球O切于点F,A为圆O上一点，V,A,O,F四点共面，且VA∥平面B,平面B截该圆锥所 得截口曲线为T,M为曲线P上一动点，记圆O所在平面为平面a,a∩B=l,MN⊥l,垂足为N, VM交圆O于点P,∠AVO=0,则下列选项正确的有 A.PM=MF B.MN∥VA C.r是双曲线的一部分 D.若Rtane越大，则曲线P的开口越大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所 成角为60°，则液面所呈椭圆的离心率为 13.设D是f(x)定义域的子集，对Vx1,x2∈D,将|f(x)-f八x)川的最大值称为f(x)在D上的振 幅，记作swgf(x).若曲线f(x)=e“+b虹(a>0,b>0)在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且 83f(x)=2,则6= 14.数学老师在黑板上写上一个实数x,然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑 板上的数x。乘以一2再加上3得到x1,并将x。擦掉后将x1写在黑板上；如果反面向上，就将黑 板上的数x。除以一2再减去3得到x1,也将x。擦掉后将x1写在黑板上.然后老师再抛掷一次 硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为x2.现已知x2>x的概率为0.5，则实数xo的取值范围 是 高三·数学·信息卷[第2页] CS扫描全能王 亿人■在用的扫描A 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知O为△ABC外心，S为△ABC面积，r为⊙O半径，且满足C范·AO+42(2-cos2A一 cos'B-号a=26s 3 (1)求∠A大小； (2)若D为BC上近C三等分点（即CD=号BC),且AD=瓦，求S最大值， 16.(本小题满分15分) 已知4，h是过点(0,2)的两条互相垂直的直线，且与椭圆r:千+y=1相交于A,B两 点，l2与椭圆下相交于C,D两点， (1)求直线1的斜率k的取值范围： (2)若线段AB,CD的中点分别为M,N,证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD,AB=2CD=2,AD=4, ∠BAD=60°，PD⊥CD,E为AB的中点，M为CE的中点， (1)证明：PM⊥AB: (2)若PA=压，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 求四棱锥P一ABCD的体积. 高三·数学·信息卷[第3页] CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明 18.(本小题满分17分) 已知函数f八x)=e(x2-ax+b)(a,b∈R). (1)若a=0,求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； 高 元C (2)若a=2,当x≥0时，f(x)≥x,求b的取值范围； (3)若{xlf(x)=a}={xf[f(x)]=a}≠O,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 每个正整数k有唯一的“阶乘表示”为(a1,a2,…,anm),这些a,满足k=1!·a1十2！·a,十 …十m!·am,其中每个a(i=1,2,3…,m,m∈N")都是整数，且0≤a,≤i,am>0. (1)求正整数3,4,5,6的“阶乘表示”， (2)若正整数k对应的“阶乘表示”为(a1,a2,…,am),正整数k'对应的“阶乘表示”(a1,a'2,…, a',),其中m>s,求证：k>k'; (3)对正整数，记6，=[]（≤m,n∈N~),[x]表示不超过x的最大整数，数列(n一1）b.,}前n 项和为Sn,若k-Sn=2024,当k最小时，求am的值， 高三·数学·信息卷[第4页] C3扫描全能王 1亿人■在用的扫描Ap f(3.1)=2f(2.1)=22=2.以此臭推.f(n.1)=21f（1.1) 高三·数学·信息卷·参考答案 2.则fx.1)=2.又f(x.y+1)=f八xy)+1.则fx.2)= 选择题 f八x,1)+1=21+1,f（r.3)=f八x.2)+1=(21+1)+1= 1.D 2.A 21+2.以此类推，f（x,m)=21+m-1.∴f(2325,2024) 3.B 4.B 5.B 6.A 2n1+2024-1=2+2023.数选B. 7.B 8.B 9.ABD 10.AD 11.ABD 填空题 9.对于A,由题意得n=3g=1.P(2≤X≤4)=P(n一a≤X≤n 12.0.5 +g)=0.6827,制P(X>1)=P(X>n+a)= 13.3-e 14.(-o,-2)U(1.+) 1-Pn-a≤X≤n+a_-0,6826=0.15865.载A正确1对 提示： 2 1.由题意可得：N={x≤1.且M=《-1.1,2.31..MnN= 于B.:两点分有的E)=p=方D)=p1-p1=言× (一1,1》.故选D 21+w=3i-常-得得骨--1-4 1-号)=号D3Y)=9D=9x号=2.故B正确：对于 C.-0.8728<0.0.8278>0.且1-0.87281>10.82781..4 :=+=5.故选A 与b负相关，m与n正相关，且a与b的相美性更强，故C错 3.a·b=0×1+2×1=2.b=2..a在b方向上的投影向量为 误：对于D,由(1十x)”的展开式知，取x=1.得C+C+C+ …+C1=2=61,取r=一1.得C时一C+-*+C=0,两式 相减可得，2(C+C+C)=6.∴C+C+C=32, (cosacos3+sinasing=1. (1+2y)的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确 1.由cos(a一3=1，tangtan3=2可得 ,解 故选ABD. cosacos? 10.由题意，在f(r)=x一sinu中，定义城为R.f(r)=1一or ≥0，，f(x)为R上的增品数，A正精：f(一x)=一r十sinr= -f(r).∴f（x)为奇函数，B错误：当了(r)=0时.解得：x nnmg=一子载话R =2kπ(k∈Z),此时f(x）=2kx-sin2kx=2kπ≠1(k∈Z),. 5,设正四棱雏的针高为A。,高为h,外接球的半径为R,AC,BD 斜奉为0的切线为2张π(k∈)，不可能为直线y=1,C错 误：f八x)为R上的增函数，f八0)=0.f八x)有唯一的零点，D 相文于点G,:正四棱维侧面积为1V厅，则4×分×2×么= 正确.故选AD 4VF,解得h=√F,故PM=万，取AB的中点M,连接GM,故 11.:P,F均为球的切点，易得MF= GM-合AD-,则正回枝维的高PG=A=VP-GF- MP.A正确：设平面n平面VFO) =FG.直线FG交I于G.VA∥ √W7)-=6,共中OP=A=R. a.VA∥FG.F⊥A.lCa.l ⊥dF.V)⊥a.lsa..l⊥)'.由 则(G=PG-PO=√6-R.其中GA= ).FC平面OF..1L平面 名AC=克2+7=E.尉0m F,FGC平面OF,.I⊥FG, (+GA,即R=(W6-R)+ 又MN⊥l..MN∥FG.FG∥VA,.MN∥VA,B正确：作 MH垂直平面a于H,又)'⊥a.'.MH∥)'，由等角定星 2).解得R-25。时孩司被惊的外 3 可得，∠NMH=∠AO=0=∠PMH.MH-平面a.得 桃味的表面款红×2，=琴：技这具 R△PMH≌Ri△NMH.MN=MP,又P.F均为球的切点， 则易得MF=MP,,每有MN=MF,即IMFI=d,其中F为 3 定，点，d为M到定直战1的拒高，∴，M的统迹为抛物线，C错 6.由题扣f(x）= 2-a…r>0 -2+ar,r≤0 在R上单调递培， 误：圈维过F的轴藏面，如图所 示，取FG中点Q,易如（为AF的 ≥0 ,解得0≤a≤1，故选A 中点.∴(Q∥(..Q⊥).FG 2"-a≥0 =2FQ=2Ran0.在平面B内，若以Q 7.易知方程一r-1=0有两个异号实根，不坊个< 为坐标原点，QF为1轴正向，可得 0,:>0,对于y=ln(r+1-b),若对任惑x>0有意义，别1 方程为y2=4Rr1an0可得该判物战 b>0.即b≤1.当b=1时，若(-ar-1)lnr≥0对任意x>0 的开口随着Rtal的增大而增大，D正确.故选ABD 恤成主，剩：=b:当≤0时y=n(x+1一b)>0对于r>0每 12.设圈柱的底面半径为r.山题意可知2h=2r.=sim60=图 2a 成立，剩当r∈(0，x:)时，(2-ar-1)n(r+1-b)<0,与已加 矛盾：当0<b<1时，y=ln(-b)<0.y=ln(x+1-b)在(0， 即么二气，四此，镇格因的离心本为三工√而 d +)上单词地增，别要使得(x2一ar一1ln(x+1-b)≥0在i >0时血成立.必有b=:成立.∴一ab-1=0.且0<b≤1， 名+6-h名+松-张+启-2≥2顶-2. 13.swgf（r)=f八，)-f:)l…=f(r)n-f(r)·当a> 当且仅当2张=言脚6=√行时取等子+标的最小值为 0.b>0时.fx)单调递增∴swgf(r)=f(1-f(0)=e+b -1=2.则c+b=3,又f(r)=ae+b,则了(1)=ae+b= 2V2-2.故选B 8.已知f1.1)=1.fr+1.1)=2f八x.10.则f2.1)=2f1.1)=2. 3.两式联立得1 1h=3-e 高三·数学·信息卷[第5页] CS扫描全能王 3亿人■在用的扫描A 14.由题意构造f(x)=一2r+3,g(r)=一 -3：尉有x》 k的取值意围为(-子.-号U停，景.6分) =4-3g)=+9g)=-是gx)=片 (2)设A(1y).B(x) 由(1)得(4+1)2+16kr+12=0. 是.：x>g<:接成主，又>的概率 1+:= 则w-艺-一兰8分) 16k 2 4r-3>r, 14r-3≤x 8k2 为0.5.必有 2 者片->… 解得r∈ 六w=kw+2=一++2+ (-o,-2)U(1,+6∞). 则M(- 8k2 +'+ 解答题 8k 2 15.(1)取AB.AC的中点M.N.连接(OM.ON.则OM⊥AB,(ON 同理N+司0分) ⊥AC. 2k2 2 可得：C.A=(ai-AC,·0=A5.A0-At,A0 2 则直线MN的方程为y一k+行 +十(r+ =1AB11A01cOs∠0MM-IAC11A01cos∠AN= +++司 号不-号C=0-0,2分) 8k +(13分) 南.+4r(2-owA-coB)-号女-29s可得 化简袋理别y=品十号1分) 合-+4r1-cosA+1-owB)-是a-9× 因此直线MN经过一个定点(0.号.(15分) sin. 17.(1)在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点. :BE=CD且BE∥CD..四边形CDBE为平行四边形. 则宁-+2+2nimB-=x .BD与CE的交点即为CE中点M.(1分) 由已知可得，AB=2.AD=4.∠BAD=60°， 即宁c-+r+6-是c=9×hnA.4分) 3 由余弦定理得BD=2√5. .三角形为直角三角形..AB⊥BD.(3分) 整现科+r--x2hsnA. 又AB∥CD,PD⊥CD.AB⊥PD,且BDOPD=D. ∴.AB⊥平面PBD,(5分) 由余袋定理co1-±云-号nA.可得unA-厅 又PMC平面PBD.∴AB⊥PM.(6分) (2)由(1)知.CD⊥平面PDM.如图.以D为坐标原点.分别以 A∈(0)，故A=子.(6分) DB.DC为x·y轴，垂直于底面ABCD的直线为：轴，建 (2由题意可得：市=市+动=花+子武=花+子（衣 立空间直角坐标系.则A(23.一2,0)，C(0.1.0.(8分) -恋，=号$+子花 设P,0e.则N字宁 则亦=（宁苏+号的 =资-26是 平面PDM的一个法向量为n= 号亦+号$.花+号花.(9 (0.1.0).(10分) 分) 设直线AN与平面PDM所成角 为0， 可得：2=+号c+5则18 则i0=cos(a.1=:Ad -2m=c2+≥4k.当且仅当 IANIm =4,即c=2弘时等号成立· 甲k<3.期5-n长空×3×号=3 √情-2+要+ 6 故5最大值为29(13分 化简得(x-45)+:2=35.(12分) 16.(1)根据题意直线.：的斜米均存在且不为0 由PA=√5，可得(x-2)+2=11. 直线4，山：分别为y-+2y-名+2 求得r=3.=22. (y=kr+2 故V-5wh=子×35×2巨=26.5分) 联文片+y=+r+16kr+12=0 18.(1)由a=0得f(x)=e'(+b),则f(x)=e(+2x+b), .切线斜率k=子(0)=b. 由4=(16k)2-4×12(4+1)>0得k>3. 又f(0)=b.则切线方程为y一b=br.即y=r+h.(3分) 则长-号或>号3分 (2)由a=2.得f(x)=c(r2-2r+b). 当r=0时，f(0)=e·b>0.b≥0.(1分) 同理4(-名)>3则-导5<<导尽。 当x>0时，转化为。(u+么-2)≥1.(5分) 高三·数学·信息卷「第6页1 CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap 令g()=e(r+台-2.则gr=e(r+乌 -2+ 故虹]al=ada+m+i!·at+mla -片)-e:红t山(6分) .nlh.-(n+1D！6=n！·a, 即。一(n十1)h.1=a.· b≥0..x2+b>0. 累加可得b-[6:+2h+…+(m一1)b.]=@,十a:十…+ 当r∈(0,1)时，g'(r)<0.g(x)在(0,1)递减， a.=k-5., 当x∈(1.+∞)时，g(x)>0.∴g(x)在(1.+)递增， 即41+4：+…十4-=2024 ÷g(x)=gD=≥1，得b2+1. 当a,=.≤m一1时k取到最小值. 综上，b≥e十1.(7分) m(m-卫<2024 2 (3)设xa∈{rlf(r》=a}.则f(r。)=a: 此时 义∈{rlf几fx]=a}.则f几fx.)]=a, m(m+卫≥2024 解得m=64, 2 即f(a)=a,解得b=a.,f八r)=e·(x-ax+a). 即a1+a:+…+aa=2016.∴a.=a,=8.(17分) 一方面，对任意xm∈xfr)=a},有f几f八x)门=f(a)= a,即x.∈{xf(r)]=a}. 另一方面，若方程八x)=a存在除a以外的其他解1(1≠ a),则方程f八x)=4需无解. 求导得了(r)=e·[x(x-a+2门.由f(x)=0得x=0 或a一2.(10分) ①当a-2=0.a=2时. 了(r)≥0，fr)在R上递增，方程f八x)=a有唯一解a,满 足题意.(12分) ②当a>2时.当x∈(0.a-2)时.了(r)<0,f(x)在区间 (0,a一2)递减， 当x∈(-o9,0)U(a-2,+o)时.f(x)>0.f(x)在区间 （-∞，0)和(a一2，+e)上递增.此时极大值f0)=兰< a方程f(r)=a有唯一解a,满足题意.(14分) ③当a<2时，当r∈(a-2.0)时.f(r)<0.f(x)在K间 (a-2.0)递减： 当x∈(-m,a-2)U(0,+o)时.了(x)>0在区间 (一oa一2)和(0，+8…)上递增， 此时极大值为u-2)=.段小值为0=总， (1)当a<0时：则极小值0)-÷<a: 义++o时，f八x)++∞， 存在>0，满足()=a,且方程(x)=1有解，不满足 题意. (")当0≤a<2时，则极小值(0)=二≤a, 此时若方程f(r)=a有除a以外的其他解1，必有<0 而极小值0)=号>≥0.且当r<0时，>0， ∴.fx)=1无解.满足题意.综上a≥0.(17分) 19.(1)3=1!×1+2!×1,故“阶乘表示”为(1,1)： 1=2!×2,故“阶乘表示”为(0.2)： 5=1!+2!×2.故“阶乘表示"为(1.2)： 6=3!×1,故阶乘表示”为(0.0,1).(4分) (2)k=1！·a1+2!·a:+…+m！·a≥m!·a-≥ml, m>5,故m≥s+1. ∴k≥m!≥(s+1).由于0≤a,≤i.'≤1！+2！X2 十…十x！Xs, 即k-k≥(+1)1-(1！+2！×2+…+！)=- [1！+2!×2+…+(s-1)！×(s-1)]. 依次化简可得-≥1.>'.(11分) (3)由于=1！·，+2！·a:+…+m!·a…由于[片] nl·a.十(n十1月·a1+…+m!·a N! 高三·数学·信息卷[第7页] CS扫描全能王 亿人在用的扫描Ap明