精品解析：江苏省沭阳如东实验学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试数学试卷

2025年初中学业水平第二次模拟考试 初三数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025 年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金 2497000000010 元．其中数 24970000000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 用11个完全相同的正方体堆积成如图的几何体，从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的几何体与原几何体相比，俯视图发生变化的是（ ） A. 拿走① B. 拿走② C. 拿走③ D. 拿走④ 6. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 由小到大排列一组数据a1、a2、a3、a4、a5，其中每个数据都小于0，则对于样本a1、a2、－a3、－a4、－a5、0的中位数可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点 ，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点 ，连接． 若的面积为，则的值为 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式3x3-12x=________ 11. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______． 12. 已知一元二次方程的一个根是3，则___________ 13. 已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 14. 已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 15. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 17. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为___________． 18. 如图， 点，点B为x轴上一动点， 在中， 若， 则线段 最大值为___________． 三、 解答题 （本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 21. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 22. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了 名观众； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 23. 甲、乙、丙三位同学在操场上相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由丙开始传球． （1）经过2次传球后，球仍回到丙手中的概率是 ． （2）请用列举法（画树状图或者列表）求经过3次传球后，球仍回到丙手中的概率． 24. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东（方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 25. 如图，在中，，D为斜边上的中点，连接，以为直径作，分别与交于M、N．过点N作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 26. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 27. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点E，连接，若，求点P的坐标． （3）如图2，连接，，，与交于点G，过点作交于点．记，，的面积分别为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第二次模拟考试 初三数学 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算， 先根据幂的乘方计算A，再判断是否是同类项解答B，然后根据单项式乘以单项式解答C，最后根据乘法公式解答D． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为不是同类项，不能合并，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：C． 3. 2025 年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金 2497000000010 元．其中数 24970000000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选D． 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键．根据题意得，结合计算即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 用11个完全相同的正方体堆积成如图的几何体，从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的几何体与原几何体相比，俯视图发生变化的是（ ） A. 拿走① B. 拿走② C. 拿走③ D. 拿走④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据用上面看到图形的变化解题即可． 【详解】解：拿走④俯视图发生变化， 故选：D． 6. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 7. 由小到大排列一组数据a1、a2、a3、a4、a5，其中每个数据都小于0，则对于样本a1、a2、－a3、－a4、－a5、0的中位数可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数. 【详解】因为，所以，所以中位数为. 故选：. 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力，要明确定义.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 8. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点 ，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点 ，连接． 若的面积为，则的值为 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 连接,根据题意得到，求出，由轴得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接, , , , , , , 轴于点， , , 点在反比例函数图象上， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，结合被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式3x3-12x=________ 【答案】3x(x+2)(x-2) 【解析】 【详解】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解． 解答：解：3x3-12x =3x（x2-4）--（提取公因式） =3x（x-2）（x+2）． 11. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______． 【答案】18 【解析】 【详解】试题分析：因为正多边形的外角和是360度，若这个正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是360÷20=18.是正十八边形. 考点：正多边形的边角计算. 12. 已知一元二次方程的一个根是3，则___________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，理解圆锥侧面展开图，掌握扇形面积的计算是解题的关键． 根据题意可得底面圆的周长即为扇形弧长，运用勾股定理得到母线长，运用扇形面积公式“弧长与母线长的乘积的一半”即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，高为， ∴底面圆的周长为，母线长为， ∴侧面扇形的面积为， 故答案为： ． 14. 已知一次函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，利用数形结合思想求解是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系，观察图像，可直接得出答案． 【详解】解：不等式可以看成一次函数中函数值小于0的部分， 从图中可以看出时，． 故答案为：． 15. 若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 16. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转90°后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，解直角三角形、旋转变换等知识，先求出，，根据计算即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．由题意可知二次函数的图象与直线在的范围内有两个交点，求得直线与抛物线有且只有一个交点和直线过点时的的值，结合图象即可求得． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，则，整理得， ∵在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“级和值点”， ∴二次函数的图象与直线在的范围内有两个交点， 令，解得或， ∴二次函数的图象与x轴的交点为，， 令 方程整理得， 当直线与抛物线有且只有一个交点时，， 解得， 当直线过点时，， 解得， ∴二次函数的图象上存在两个“级和值点”，则的取值范围为． 故答案为：． 18. 如图， 点，点B为x轴上一动点， 在中， 若， 则线段 最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，作使，作轴交于点，取的中点，连接、，根据全等三角形的性质得，得到，证明，得，由已知，得，继而得到，，根据勾股定理，再根据，即可得解． 【详解】解：如图所示，作使，作轴交于点，取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴，， 即， ∵轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 三、 解答题 （本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将0次幂，三角函数，绝对值，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值；0次幂，绝对值以及负整数幂的化简方法． 20. 先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 先化简，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【详解】解： ； 且， ∴当时，原式； 当时，原式. 21. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2） 如图， 四边形就是所求作的菱形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论； （2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 22. 《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了 名观众； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 【答案】（1）150 （2） 补全条形统计图如下： （3）1820人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体． （1）根据喜欢敖丙的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求出喜欢哪吒的人数； （2）根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以乘以即可求解； （3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的观众共有（人）， 故答案为：150； 【小问2详解】 解：喜欢哪吒的观众有：（人）， 喜欢哪吒的观众有：（人）， ∵； ∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：∵（人）， ∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人． 23. 甲、乙、丙三位同学在操场上相互传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由丙开始传球． （1）经过2次传球后，球仍回到丙手中的概率是 ． （2）请用列举法（画树状图或者列表）求经过3次传球后，球仍回到丙手中的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，弄清题意是解题关键； （1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出球仍回到丙手中的结果数，然后根据概率公式求解； （2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出球仍回到丙手中的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：画树状图为： 共有4种等可能的结果数，其中球仍回到丙手中的结果数为2， 所以球仍回到丙手中的概率=， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中球仍回到丙手中的结果数为2， 所以球仍回到丙手中的概率． 24. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东（方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）求的度数； （2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】（1） （2）两地的距离是千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作于点，在中，可求出，，由可得，进一步即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：过点作于点， 在中， ， ，， ， ， （千米） 答：两地的距离是千米． 25. 如图，在中，，D为斜边上的中点，连接，以为直径作，分别与交于M、N．过点N作，垂足为点E． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵在中，，D为斜边上的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．欲证明为的切线，只要证明即可； （2）根据可得．进而求出，连接，证明四边形是矩形即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得到：， ∴． ∵， ∴． 连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 26. 在一条笔直的公路上依次有三地，小明、小红两人同时出发．小明从地骑自行车匀速去地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往地，小红步行匀速从地至地．小明、小红两人距地的距离（米）与时间（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从地前往地过程中关于的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【答案】（1）小明骑自行车速度是 （米/分），小红步行速度是 （米/分） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据图象，得到，小红走完用时间为，计算速度即可；根据图象，得到，小明走完用时间为，计算速度即可． （2）根据题意，小明从地前往地用时间为，故直线经过点和，设解析式，代入解答解答即可． （3）分类求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得到，小红走完用时间为， 故小红的速度为：； 根据图象，得到，小明走完用时间为， 故小明的速度为：． 【小问2详解】 解：根据题意，小明从地前往地用时间为， 故直线经过点和， 设解析式， 故 ， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 ① ， 解得 ； ②，解得 ； ③ ， 解得 . 综上所述，经过分钟或分钟或分钟，符合题意. 【点睛】本题考查了函数图象信息的读取与应用，待定系数法求解析式，分类思想解答，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 27. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】（1）90 （2）① 45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②略 【小问3详解】 解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点E，连接，若，求点P的坐标． （3）如图2，连接，，，与交于点G，过点作交于点．记，，的面积分别为，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出直线的解析式为，然后可设，则有，，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得：，（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最小值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $