精品解析：山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 复数满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知一组数据：的平均数是5，方差是4，则由，，和 这四个数据组成的新数据组的方差是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 11 5. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B独立 D. 事件A包含于B 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 7. 在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 10. 已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若O为的外心，， 则 B. 若O为的垂心，，则 C. 若，则与的面积之比为 D. 若，的面积为8，则的面积为14 11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱外接球的半径为2 B. 三棱锥的体积与的位置无关 C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为 三、填空题 12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为____． 13. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________． 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 四、解答题 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 16. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 17. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值； （2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数； （3）从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率. 18. 如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为的中点，证明：平面； （3）侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形． （1）当时，求的长度； （2）求长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市历城第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 1. 复数满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由求出复数，从而可求出其共轭复数，进而可得答案 【详解】解：由，得， 所以，所以其在复平面对应的点为， 故选：A 2. 设m，n，l是不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面位置关系的判定定理和性质逐一判断即可． 【详解】对于A，由，与可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由，与可能平行或相交，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理可得，故C正确； 对于D，由，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 3. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 4. 已知一组数据：的平均数是5，方差是4，则由，，和 这四个数据组成的新数据组的方差是（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式计算可得； 【详解】解：由已知得，， 则新数据的平均数为， 所以方差为， ， 故选：C． 5. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或6”．则事件A与B的关系为（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立 C. 事件A与B独立 D. 事件A包含于B 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义进行判断即可. 【详解】由题意可知：，因为， 所以事件事件A与B不可能是互斥和对立， 因为，， 所以有，因此事件A与B独立， 故选：C 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解或，再分类讨论逐个判断即可. 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以或，故三角形有两种解，故ABC均错误， 当时，，为钝角三角形， 当时，为钝角三角形，故D正确. 故选：D 7. 在三棱锥中，，，，点P在平面上投影为A，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中由余弦定理求得，由题意平面，进而确定外接球球心，由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可. 【详解】如图，在中，由余弦定理，， ，， 设的外接圆半径为，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 8. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理和两角和与差的正弦公式可得，则，由为锐角三角形，求出的范围，结合在上单调递增，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即， 即，即， 即，所以或（舍去）， 所以，则， 因为为锐角三角形， 所以，即，解得：， 因为在上单调递增， 由，可得，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由虚数单位的次方规律求解判断；对B，由复数的虚部不为0时，复数不能比较大小判断；对C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对D，举反例说明. 【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确； 对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误； 对于C，设，则，所以，故C正确； 对于D，举反例，如，则，而，故D错误. 故选：AC. 10. 已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 若O为的外心，， 则 B. 若O为的垂心，，则 C. 若，则与的面积之比为 D. 若，的面积为8，则的面积为14 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，利用向量线性运算可得，根据向量数量积运算律求解判断；对B，由，结合得解；对C，由奔驰定理得解；对D，将条件式利用向量运算转化为，再由奔驰定理得解. 【详解】对于A，由，，则， ，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则, 即，由奔驰定理可得， 又，则，故D正确. 故选：BD. 11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱外接球的半径为2 B. 三棱锥的体积与的位置无关 C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助长方体判断A；利用等体积法判断B；通过中位线证明截面为梯形，利用勾股定理求出两腰，进而判断C；分情况讨论，比较最短距离，可判断D. 【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱， 如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图： 所以直三棱柱外接球即为长方体外接球， 因为， 所以其外接球半径为，故A正确； 对于B，如图： ， 因为分别为的中点，所以， 又点在上，所以到的距离为定值， 故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确； 对于C，如图，连接， 因为分别为的中点， 所以，且， 又因为，且，所以，且， 过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形， 又， 所以，所以， 所以,所以， 所以四边形不是等腰梯形，故C错误； 对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为； 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：； 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：， 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4， 过作，交于点， 因为为中点，所以 ，所以， 在中，则爬过的最小距离为： ， 故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键要找出虫子的几条路线，然后分别求最短距离. 三、填空题 12. 有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积. 【详解】因为直角梯形，， 所以直观图的面积是 因为原来的平面图形面积是直观图面积的倍， 所以平面图形的面积是 故答案为： 13. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱台体积公式得到正四棱台的高，进而由勾股定理可得斜高，从而求得各面积，由此得解. 【详解】如图所示：设分别为底面的中心，分别为的中点，且有， 设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、， 由，即得，，所以，， 又及， 所以有，解得. 由勾股定理可得斜高， 所以，从而. 故答案为：. 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知的向量数量积等式，利用向量投影的性质得出投影向量长度，再结合向量垂直的条件构建几何关系，进而分析的最小值情况. 【详解】不妨固定向量，，的起点为同一点，因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1． 由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1． 又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形， 由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2． 故答案为：2. 四、解答题 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 16. 为普及抗疫知识､弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率分别计算甲、乙比赛胜出的概率比较即可得解； （2）考虑问题的对立面，计算两人都没有赢得比赛的概率，根据对立事件的概率之和为1即可得解. 【小问1详解】 设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，，， ， 同理 因为， 所以，派甲参赛获胜的概率更大. 【小问2详解】 由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”， ，； 于是“两人中至少有一人赢得比赛”. . 17. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值； （2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数； （3）从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率. 【答案】（1） （2）平均值为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1即可求解； （2）根据频率分布直方图中平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，而中位数左边和右边的直方图的面积相等即可求解； （3）利用频率分布直方图中频数、频率和样本容量的关系，结合古典概型的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 平均值， ∵用电量落在区间的频率之和为， ∴中位数落在区，设中位数为，则， 解得. 【小问3详解】 由题频率分布直方图可知，用电量落在区间的用户有户，记为，用电量落在区间用户有户，记为，记事件“至少有1户落在区间内”. ∴从，中这6个元素中任取2个元素的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，共有个样本点， ，，，，，，，，，共有个样本点， ∴， 即至少有户落在区间内的概率为. 18. 如图所示，正四棱锥，，底面边长，M为侧棱PA上的点，且． （1）求正四棱锥的体积； （2）若为的中点，证明：平面； （3）侧棱上是否存在一点E，使平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据体积公式可求几何体的体积； （2）连，交于，可证，故可证平面； （3）存在，，此时作中点，连结，，，可证平面平面，故可得平面. 【小问1详解】 连接，设，连接，则平面． 中，，，， 所以． 【小问2详解】 由正方形可得为的中点，而，， 又平面，平面， 平面． 【小问3详解】 存在，．理由如下：作中点，连结，，． ，， 又平面MBD，平面， 平面， ，， 又平面，平面， 平面， 又平面， 平面平面，而平面， 平面． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形． （1）当时，求的长度； （2）求长度的最大值． 【答案】（1）6 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义及诱导公式，结合余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理和正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，，，，则，， 因为，所以 在中，，， 由余弦定理所以的长度为. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得，所以， 设，在中，由余弦定理得， 所以 ① 在中，由正弦定理得， 所以， 代入①可得, 因为, 所以， 当即时，的最大值为， 所以长度的最大值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $