精品解析：广东省中山东升镇高级中学2024-2025学年高二下学期二段考（4月）数学试题

2024-2025学年广东省中山东升镇高级中学高二下学期二段考（4月） 一、单选题 1. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，求导，进而得到，又，写出切线方程. 【详解】解：因为， 所以， 所以，又， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. 故选：D. 2. 在高二社会实践活动中，实践基地要求每班每天只能有一位协助员随工作人员一起进城采购．某班主任从甲、乙、丙三位同学中安排周一到周四这四天的协助员，每位同学至少担任一天的协助员，则不同的安排方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】先将四天分为三组，再将三组分配给甲、乙、丙三位同学即可. 【详解】依题意，先将四天分为三组，有种， 再将三组分配给甲、乙、丙三位同学，有种， 所以不同的安排方案共有种. 故选：A. 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A. B. 1 C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用切线的斜率和导数的关系求解即可. 【详解】将切线方程整理为 ，其斜率为，因此. 切点在切线上，将代入切线方程： 所以 故选：D. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求解即可. 【详解】由随机变量及正态分布的对称性，知， 所以，所以. 故选：C 5. 已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导数求得在上单调递增，根据，得到，进而得到大小关系，得到答案. 【详解】令，则， 对于任意，可得， 所以函数在上单调递增． 因为，所以，即， 所以， 所以，，. 故选：C． 6. 已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用零点的意义转化为直线与函数的图象有3个公共点，数形结合求解即得. 【详解】由，得，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， 直线是过定点，斜率为的直线系， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象最多有两个公共点，不符合题意， 则，即，设直线与函数的图象相切的切点为， 由，求导得，因此，解得， 显然直线与函数的图象有两个公共点，直线的斜率， 当直线过点时，该直线与函数的图象有3个公共点， 直线的斜率， 由图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点， 于是，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 7. 设随机变量的概率分布列为则 1 2 3 4 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出m的值，再由解出X,再求和． 【详解】 故选D 【点睛】本题考查根据分布列计算随机变量的概率，属于基础题． 8. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 96 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知需要5步才能涂完， 第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选； 第三步，涂区域，共有2种颜色可选； 第四步，涂区域， 若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选， 若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选， 利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种. 二、多选题 9. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数的图像，可得函数的单调性，逐一判断即可. 【详解】由图像可知：当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值，在区间上单调递增，故A错误，B正确，C正确； 由图可知，故D正确， 故选：BCD. 10. 已知随机变量满足，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，因为，即，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合，即可判断选项. 【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，，故A错误； B. 甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B正确； C.，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 的展开式中常数项是___________ 【答案】61 【解析】 【分析】先求的通项公式，分布求出常数项和项的系数即可. 【详解】由展开式的通项公式有，， 所以当时，，当时，， 所以的展开式中常数项为， 故答案为：61 13. 某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______． 【答案】0.047## 【解析】 【分析】根据全概率公式可得结果. 【详解】记事件“B=选取的食品为次品”，记事件“=此件次品来自甲生产线”， 记事件“=此件次品来自乙生产线”，记事件“=此件次品来自丙生产线”， 由题意可得，，， ，，，由全概率的公式可得: ， 所以从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为0.047． 故答案为：0.047. 14. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果） 【答案】 【解析】 【详解】取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个， 黑球相应个数为0，1，2，3个， ∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10， ∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6） 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，利用导函数的正负确定函数的单调区间； （2）利用极值及端点函数值，比较大小可得答案． 【小问1详解】 ，令，解得， 当时，，所以的增区间为， 当时，，所以的减区间为， 所以的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 由（1）可知，在上的极小值， 又因为，， 故最大值为，最小值为． 16. 现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）. （1）求三位“幸福数”的个数； （2）如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”. 【答案】（1）个 （2）589 【解析】 【分析】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”. 【小问1详解】 根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个. 【小问2详解】 对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个， 4在最高数位上的有个， 5在最高数位上的有个. 因为， 所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589. 17. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： （1）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； （2）甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 【答案】（1）0.4 （2）期望都是，按照“”的顺序猜歌名，理由如下： 甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以，，，， 所以； 甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为， 则的所有可能取值为， 所以，， 所以， 法1：因为， ， 由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名. 法2：甲按“”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“”的顺序猜歌名. 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解； （2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案. 【小问1详解】 由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生， 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得 【小问2详解】 期望都是，按照“”的顺序猜歌名，理由略. 18. 已知函数，其导函数为． （1）求函数的极值点； （2）若直线是曲线的切线，求的最小值； （3）证明：． 【答案】（1）函数的极小值点为，没有极大值点． （2）e （3） 由（1）可知，在单调递减，单调递增， 所以，则， 因为，则，当时取等号， 令，则， 因为，所以， 又因为，所以， 则，，…，， 累加后可得， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的极值点. （2）设切点，求出切线方程，求得，构造函数，利用导数求函数的单调性，从而求出的最小值. （3）利用（1）的结论令，，可得， 利用累加法结合数列的裂项求和方法，即可证得结论. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的极小值点为，没有极大值点． 【小问2详解】 令，则，， 设切点为，则，， 则切线方程为，即， 又是曲线的切线方程，则，则， 令，，，， 令，所以时，， 时，， 在单调递减，在单调递增， 所以，即的最小值为e． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据不等式，得出，利用累加法和裂项相消法证得结论. 19. 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． （1）求的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2） ①式两边同时乘以x得②， ②式两边对求导得：， 令，得. 【解析】 【分析】（1）在等式两边对求导，然后令，，可求得所求代数式的值； （2）由（1）可得出，在此等式两边对求导，然后令可证得结论成立. 【小问1详解】 解：在等式（，正整数）， 两边对求导得：①， 令，，可得. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省中山东升镇高级中学高二下学期二段考（4月） 一、单选题 1. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在高二社会实践活动中，实践基地要求每班每天只能有一位协助员随工作人员一起进城采购．某班主任从甲、乙、丙三位同学中安排周一到周四这四天的协助员，每位同学至少担任一天的协助员，则不同的安排方案共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 60种 3. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为（） A. B. 1 C. -1 D. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量的概率分布列为则 1 2 3 4 A. B. C. D. 8. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 64 B. 72 C. 84 D. 96 二、多选题 9. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 10. 已知随机变量满足，且，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(，)，N(，)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ） 附:若随机变量X服从正态分布N(，)，则. A. 甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲 B. 甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 C. 若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 D. 若，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174 三、填空题 12. 的展开式中常数项是___________ 13. 某食品加工厂生产一种食品的生产线有甲、乙、丙三个，其次品率分别为，假设这三个生产线的产量之比为，则从这三个生产线生产的食品中随机抽取1件食品为次品的概率为______． 14. 袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P（ξ≤7）=______．（用分数表示结果） 四、解答题 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值． 16. 现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）. （1）求三位“幸福数”的个数； （2）如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”. 17. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表： （1）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率； （2）甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由． 18. 已知函数，其导函数为． （1）求函数的极值点； （2）若直线是曲线的切线，求的最小值； （3）证明：． 19. 请先阅读：在等式的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：． 利用上述的想法，结合等式（，正整数）． （1）求的值． （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $