2025年重庆市高中数学联赛初赛试题

2025年重庆市高中数学联赛初赛试题参考答案 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 设集合，，，则的元素个数为_______. 【答案】 【解析】,，故，的元素个数为. 2. 四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 【答案】 【解析】利用勾股定理可算得，，故在等腰中可算得点到直线的距离为. 3. 从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______. 【答案】 【解析】记正六边形的个顶点顺时针依次为，易知从中选个不同的点构成的三角形只有三种不同的形状，分别为（其中下标按模理解），其面积依次为，而形如的三角形共有个，故构成的三角形的面积大于的概率为. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且,，则双曲线的离心率为_______. 【答案】 【解析】不妨在双曲线靠近的这一支上，取中点，则. 设，由双曲线的第一定义知，从而. 由知，可得. 又由及可得，解得. 于是，可得离心率. 5. 在中，的最小值为_______. 【答案】 【解析】由余弦定理及均值不等式，，所以. 于是由正弦定理，原式. 令，则. 又当时，原式. 故原式的最小值为. 6. 若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 【答案】 【解析】 法一：设方程有模为的虚根，其中满足. 代入有，从而有且. 注意，所以. 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个，使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为，其中满足. 由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为. 再由韦达定理知，. 下同法一. 7. 设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_______. 【答案】 【解析】由且知,. 注意满足，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值. 又注意在区间上，故在区间上的最大值即为在区间上的最大值，从而. 再注意在区间上单调递增且，故，所以. 8. 小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为_______. 【答案】 【解析】我们先只考虑相邻字符不同的密码，共有种. 这里面不满足要求的有两类：第一类是仅包含单一字符类型（如全数字），这类共有种；第二类是仅包含两种字符类型（如数字和小写字母），共有个不同的字符可选，只满足相邻不同的密码有种，其中单一字符类型的有种，故第二类共有种. 所以不同密码的总个数为. 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分） 已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 【解析】设，即方程有三个不同的实根. 由于在单调递增，且该部分值域为；在单调递增，且该部分值域为，且. 结合图像可知，方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，即当且仅当，且， 8分 再考虑方程和. 注意，或或. 故 . 由于，且为关于的增函数，所以. 16分 10.（本题满分20分） 已知数列满足，数列满足，为数列前项和. （1）若，求的通项公式； （2）对于给定的，求所有可能的． 【解析】（1）若，则. 设，其中，则，故只能是，所以 10分 （2）我们归纳证明，所有可能的. 时，，命题成立； 假设时命题成立，即，则当时， ，即或，， 即. 故时，命题也成立. 20分 11.（本题满分20分） 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为. 若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 【解析】若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，为椭圆长轴两端点，故若、、、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径，而又在椭圆上，显然矛盾！ 设，，则，. 设（其中），并设，. 由在椭圆上可得，从而. 5分 法一： 设中点为. 由相交弦定理和平行四边形性质有和，故. 于是可得① 及② 由在椭圆上可得,,③，于是有④，结合①③④可得，代入②可得，结合可得. 15分 联立得，由韦达定理知，进而. 注意在椭圆上，于是有，即，即，解得. 20分 法二： 由于、、、四点均满足和，故过、、、四点的圆的方程为，考察项的系数可知，结合可得. 15分 （下同法一） 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年重庆市高中数学联赛初赛试题 考试时间：80分钟 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 设集合，，，则的元素个数为_______. 2. 四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______. 3. 从面积为的正六边形的个顶点中随机选个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为_______. 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，若过点的直线与双曲线交于两点，且，，则双曲线的离心率为_______. 5. 在中，的最小值为_______. 6. 若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为 7. 设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，则_______. 8. 小明在注册账号时想到一个问题. 他将这个问题简化如下：可以使用字符来组成五位密码，要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻. 例如密码可以设置为或，但不能设置为或，则可以设置不同的密码的个数为_______. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本题满分16分） 已知函数，设是三个不同的实数，满足，求的取值范围. 10.（本题满分20分） 已知数列满足，数列满足，为数列前项和. （1）若，求的通项公式； （2）对于给定的，求所有可能的． 11.（本题满分20分） 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点、、满足四边形为平行四边形，关于的对称点为. 若、、、四点共圆，且直线过，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$