2025年重庆市高中数学联赛初赛试题

2025年重庆市高中数学联赛初赛试题参考答案 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设集合A={1.2,3…,2025,B=3x∈A},C-x3r∈A,则B门C的元素个数为 【答案】225 折1】B=369,-6075.C传号165放BnC=369675.BnC的元素个数为 2.四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB、BC、CD的中点分 别为L、M,N,则点M到直线LN的距离为 【答案】 4 【解桥】利用勾股定理可算得M=MN=巨 w=, 16 +442 1+ ,故在等服△LMN中可算得点M到直线 LN的距离为 2 4 3.从面积为1的正大边形的6个顶点中随机选3个不同的点，它们构成的三角形的面积大于的概率为一 【答案】 10 【解析】记正六边形的6个项点顺时针依次为A,A,A,A,A.A,易知从中选3个不同的点构成的三角形只有三 舞不阿的形.软分瑞为△M人人MA.AMAA(其中下标技模6理解，其面积旅次为号分而形 4人，A,的三角形共有6个，故构成的三角形的而积大于的概率-。一日 4.己知双曲线的两个焦点分别为F,F,若过点F的直线与双曲线交于A,B两点，且∠AF5=30°，FA=FB, 则双曲线的离心率为 【答案】√瓦 【解析】不斯A在双曲线靠近F的这一支上，取AB中点C,则F,C⊥AB,设AF=x,由双曲线的第一定义刻 M|B5=+2a,a=x+4a,从商h=4aAG=2a.曲A5=30知C=5F.可海 =反-2a,又由c=5c装aG+Cs=f时得(ea,+2a=+2n,解 3 x=(V后-2a,于是V5-2a=(后-2a,可得离心率e=9=反 5.在AMBC中， 2sim2A+sin Bsin C的最小值为 sin Asin Bsin C 【答案】3 2人 b2+e2-a2、2he-a2 【解析】由余弦定理及均值不等式，CO5A= -2 2be 26所 2024-4c0sA,千是由正 弦定理，原式 2a2+bc12a2 +12 4c0sA分mA-1>0,则4os4.r≥2r=3. besinA sin A be sinA sinA 2山 2 第1项共4货 又当A=CinB=C=时，原式=3.故原式的最小值为3 2 6.若实数mn使得关于x的方程x+m+n=0有模为3的虚根，则m+n的取值范围为一 爷贸 【解析】 法一；设方程x+r+n=0有模为3的虚根a+bM，其中a,beR满足a+b2=9,b≠0，代入有 (a+bi+m(a+bi)+n=0,从而有a2-3ab+am+n=0且3ab-b+bm=0。注意b≠0，所以 m=2-3对=9-4d2.n=d+3ab2-m=1a,m+n=4加+l8+9=-a-+ (93117 注意a∈(-3,3)，所以 a吗号-限个a-区w- 4 n三风，m+n三，具使方程2+m世+n=0有模为3的虚根a+9一云.故m+n的取值范围为-81.中 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程x+mx+n=0的两虚根为a+bi,a-bi,其中a,bER满足 +b=9.b≠0.由书达定理知此三次方程三根之和为0，从而其准一实根为-2a,再由书达定理知 m=(-2a(a+bi)+(-2a)(a-bi)+(a+bi)a-bi)=9-4a3,n=-(-2a)(a+bi)(a-bi)=18a,下同法-， 7.设函数f(x)=xsin(2xnx)在区间(0.上的最大值为a,在区间[L,2]上的最大值为b,在区间2,3上的最 大值为c,则匹 【答案】3esin(2rln3) 【解折】由fe=e0e->0且ee0小ce,习知a>0,b>0.注意f)满足 1 f(ex)=e(x),故f(x)在区间(0，上的最大值a即为在区间-1上的最大值.又注查在区间「√E,e]上 f(x)≤0，故fx)在区何[L,2]上的最大值b即为f(x)在区间[L,上的最大值，从画b=m.再注意f(x)在区 间6e产上单调造端且e,3到se产.故c=f3到=3win(2rln3.所似c-3sin(2xln3) a 8.小明在注册账号时想到一个问题.他将这个问题简化如下：可以使用字符1,23a,b,C,A,B,C来组成五位密码， 要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为123江A或 1a412,但不使设置为123ab或112aA,划可以设置不同的密码的个数为 【答案】25758 【解析】我们先只考虑相邻字符不同的密码，共有9×8=36864种，这里面不满足要求的有两类：第一类是仅包 含单一字符类型（如全数学），这类共有3×(3×2)=144种：第二类是仅包含两种字符类型（如数字和小写字母）， 共有6个不同的字符可选，只满足相邻不同的密码有6×5=3750种，其中单一字符类型的有2×(3×2)）=96种， 故第二类其有3×(3750-96=10962种，所以不同密码的.总个数为36864-144-10962=25758 第2项共4页 二，解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步漂 9.(本题满分16分) 己知函数f(x)= og:x+lx>0设a.么c是三个不同的实数，满是/[/(a]=f[fb]=f[fe小，求 2，x≤0 a+b+c的取值范围 【解析】投f[f(a)]=f[f(b)]=f[f(c月=t,即方程f[f(x门=t有三个不同的实根ab,c,由于f(x)在 (以0小单强是卷，且孩部分指选为@小：在Q树)样调遂指，且孩都分值装为，且了付-a刊=1：销合图 像可知，方程f[f(x)]=:有三个不同的实根，当且仅当方程f(x)=1有两个不同的实根：<名，即当且仅当 0,25=g1(%ep5=r得 8分 群考患方程f到=考和f八对名：挂意f代树=与台e,x+1=名台=2-号f代到=名台 2=与或1og:x+1=与白x=og25=1-1成x=2=2,故 a+b+e-1-l42=2+-1 由于1∈(0，，且a+b+c为关于1的增函数，所以a+b+c∈ …16分 10.(本题满分20分) 已知数列a}满足a,=一（∈N)数列他}满是6=：b∈a,-g}(2≥2引，S为数列他，}能n项和 ④看5。北-》求他的通理公式 (2)对于给定的n∈N,求所有可能的S 【解1w着5-)期6+6++a=5-5{品）是 8=ka:其种长，-，周业，2达-会→败+4+2k=3.贝 2 能是kn=1k=k4■-山，人.=1，所以b= 0I(mod4) 10分 厂zn=23mod4) 2我阳明纳证明。所有可能的5=2m=22 =1时，一乞命怎成立： 餐段=秋后N们时合成立即5=2一m=122兴，对当=4H时 12S±1.22m-0± 54=5±2m= 2 2 .即S22m》-我22m）,m=12,24, 2 2 2m-1 即54=2m=2…2,故n=表+1时，命腮也成之 4…20分 第3质共4页 11.(本题满分20分) 省直角坐标系O中，隔圆子+护=@>)的右猪点为F,已知箱圆上有三个点A、B、C清足 形OACB为平行四边形，C关于O的对称点为D,若A、B、C,D四点共醒，且直线AB过F,求实数a的 值. 【解析】若AB⊥轴，则由四边形OACB为平行四边形及椭圆的对称性知，C,D为椭圆长轴两端点，故若A、B、 C、D四点共圆，则圆心必为O,即圆以CD为直径，而A,B又在树圆上，显然矛盾！ 设A()B(,为小则C(名+y+为)D(-无-5，--y).设F(c,0)(其中=后)，并 AB:y=k(x-c).CD:y=kx. 由人上学才-兰片口会学装接风华-宁 1 …5分 法一： 设AB中点为E.由相交弦定理和平行四边形性频有EAEB=EC个ED和ED=3到EC,故AB=√3OC 于是可得（年-考）了+（出-为广=3(，+与了+3(y+为广①及(1+）(：-广=31+k)(馬+)广@ 由人品C在指眉上司得等=，手+=1.+为-1©，手是有 +-=30,结合0国①可得（信-5-5广-+门-0 (低-对广=36+5广.代入2可得=号，结合华=子可箱气=专=号 4…15分 +y21 x2 联立 y=±-e) 有2-2江-1=0，由书达定理知6+写=6，进而为+另=+5+名-24)=号 c上手现角w*-导(g-.期-.mae反 +20分 法二： 由于A、BC、D网点均满足(---列=0和号+户-1=0，故过A,B,C、D周点的 周的方程化---功小侣+-小0，考擦可项的系可k+线-0，结金结可 得人=一人，=士 …15分 (下同法一)2025年重庆市高中数学联赛初赛试题 考试时间：80分钟 一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1,设集合A={1,2,3,2025},B={3x∈A},C={x3x后A},则B∩C的元索个数为 2.四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,没AB、BC、CD的中点分 别为L、M,N,则点M到直线LN的距离为 3.从面积为1的正六边形的6个顶点中随机选3个不同的点，它们构成的三角形的面积大于。的概率为， 4.已知双曲线的两个焦点分别为F,F,若过点F的直线与双曲线交于A,B两点，且∠AFB=30?, F,A=F,B,则双曲线的离心率为 5.在MBC中， 2sin2A+sin BsinC的最小值为 sin Asin Bsin C 6.若实数m,n使得关于x的方程x+x+月=0有模为3的虚根，则m+n的取值范国为 7.设函数f(x)=xsin(2xnx)在区国(0.，】上的最大植为a,在区间[山，2上的最大值为b,在区每[2,3)上的最 大值为c,则c 8.小明在注册紫号时想到一个问恩.他将这个问题简化如下：可以使用字符1,23a,b,C,A,B,C来组成五位密码， 要求必须包含数字、小写字母和大写字母，且不可以出现两个相同的字符相邻.例如密码可以设置为1234或 1aA12,但不能设置为123ab或112a4,则可以设置不同的密码的个数为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解容应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.(本题满分16分) 2,xs0 己知函数f（x) log:x+1x>0 设a,b,e是三个不同的实数，满足f[f(a]=f[f(b)]=f[f(c】: 求a+b+c的取值范围. 10.(本题满分20分) 已知数列a,}满足a=2neN)小数列b}满足么=4，Aea,-a≥2斗，S为数列他}前n项和. (2)对于给定的n∈N”,求所有可能的S。· 11.(本题满分20分) 在平面直角坐标系0中，桥丽号+少=口>)的右能点为F,已海片上有三个点A及.C满足因 边形OACB为平行四边形，C关于O的对称点为D,若A,B。C,D四点共圆，且直线AB过F,求实数a 的值.