精品解析：2025年江苏省常州九年级一模数学统考卷

九年级教学情况调研测试数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.请将答案全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键． 根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两全负数，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：D． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 3. 如图，直线， 的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据，得出，根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图所示： ∵直线， ∴， ∴． 故选：C． 4. 已知某几何体的主视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图．根据题意，逐项判断即可，具体见详解． 【详解】解：A.当长方体的宽与高相等时，主视图是正方形，此项不符合题意； B.正方体的主视图是正方形，此项不符合题意； C.当圆柱的高与底面直径相等时，主视图是正方形，此项不符合题意； D.三棱锥的主视图是三角形，不是正方形，此项符合题意． 故选：D． 5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数． 【详解】解：360÷45=8，所以这个正多边形是正八边形． 故选C． 6. 已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ） A. △ABC的边BC上的中线所在的直线 B. ∠ACB的平分线所在的直线 C. △ABC的边AB的垂直平分线 D. △ABC的边AC上的高所在的直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可以推出AB=AC，由此判断即可； 【详解】∵， ∴， ∴AB=AC， ∴△ABC的边BC上的中线所在的直线是△ABC的对称轴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了和等腰三角形的性质和轴对称的性质，准确分析判断是解题的关键． 7. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可. 【详解】解：将抛物线化为顶点式， 即： ， 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得： ， A选项代入，，不符合； B选项代入， ，符合； C选项代入， ，不符合； D选项代入，，不符合； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键． 8. 如图， 中，，，点是 中点，点 在 上且，将线段 绕点顺时针旋转得到线段 ，连接 ，则 的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接 并延长，过点E作交 于点G，过点F作交 延长线于点H，得到， 平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 并延长，过点E作交 于点G，过点F作交 延长线于点H ∵ 中，，，点是 中点， ∴， 平分， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵线段 绕点顺时针旋转得到线段 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了三线合一，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二.填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平方差公式．根据平方差公运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如果关于 的方程有实数根，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．对于一元二次方程有实数根，可得，得，即可求解． 【详解】解：在方程中，，，， 则． 因为方程有实数根，所以， 即， 解不等式， 得． 故答案为：． 11. 某班名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为______． 年龄（岁） 人数（人） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义和求法是解题的关键．由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数，求解即可． 【详解】解：由总人数为，可知该班学生年龄的中位数为从小到大排列后的第和个学生年龄的平均数， 由表可知，从小到大排列后的第和个学生年龄都是 ，平均数是 ， 故该班学生年龄的中位数为 ， 故答案为： ． 12. 如图，已知 是 的内接三角形，若，则___________度． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 13. 如图，将沿斜边向右平移得到， 与交于点H，延长 ， 交于点G，连结.若，，则的长为___. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，平移的性质，连接，根据题意及矩形的判定定理得出四边形为矩形，即可得到，再由平移的性质确定即可求解． 【详解】解：连接， 由平移可得：，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形， ∴， ∴， 故答案为：. 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设《周髀算经》用A表示、《算学启蒙》用B表示、《测圆海镜》用C表示、《四元玉鉴》用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种， ∴恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率． 故答案为：． 15. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 16. 如图，在正方形 中，E是对角线 上的一点，，连接 ．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形性质等．根据题意过点 作，设，则，，再利用勾股定理得出，继而求出未知数后，再利用面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：过点 作， ， ∵正方形 ，，， ∴，， 设，则，， ∴，解得：， ∴的面积：， 故答案为：． 17. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长 交 的延长线于点，作于点 ，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点，作于点 ， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 18. 如图1， 中，点D是边 的中点，点P从 的顶点A出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则 的长为___. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点P，则， 设，则， ∵，即， 解得：， ∴， ∴， ∵点D是边 的中点， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 三.解答题（本大题共10小题，共84分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘方运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，运用分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 21. 如图，在四边形 中，，是边 的中点，．求证：四边形 是矩形． 【答案】 证明：∵是边 的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是矩形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形 是矩形． 【详解】略 22. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用 表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 【答案】（1），， （2） 八年级学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下（写出一条理由即可）： ①因为八年级学生测试得分的中位数82大于九年级学生测试得分的中位数79； ②因为八年级学生测试得分的众数82大于九年级学生测试得分的众数78． （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是从扇形图与统计表中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体； （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有 人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案； （3）由九年级与八年级的总人数分别乘以“非常了解”的占比，再求和即可. 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有； 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有； ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， 所以中位数， 九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多， ， ∵八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有， ∴， ∴； 故答案为：82，20，78； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计此次问卷测试中，这两个年级学生对人工智能“非常了解”的共有名． 23. 小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为 ； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式、列表法或树状图法求概率； （1）若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌，根据概率公式可得答案； （2）画出相应的树状图，由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，然后根据概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：若小亮出“A”牌获胜，则小明需要亮出“B”牌， ∵小明亮出的牌有4种等可能性， ∴小明亮出“B”牌的概率为，即小亮获胜的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得：一共有16种等可能的情况，其中各出一次牌能分出胜负的有8种情况，分别为 、、、、，、、， 故小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为． 24. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于 轴的直线上有一动点 ，当的面积为时，求点 的坐标； （3）若，请直接写出关于 的不等式的解． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式， （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线 与直线的交点为 ，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，记直线 与直线的交点为 ， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点 坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 25. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】（1）每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤 （2）茶厂应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少 【解析】 【分析】（1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【小问1详解】 设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶3x斤， 根据题意得： 解得x＝10， 经检验，x＝10是原方程的解， 则熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶是：10×3＝30（斤）． 答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤． 【小问2详解】 设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 所以每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，依题意得， ， ． 6分 因为-20<0，所以y随m的增大而减小， 因为，且m为整数， 所以，当时，y有最小值， （名）． ∴茶厂一天应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． 26. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在 边上且，折痕为． 　 （1）若，求 的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）连接，根据折叠可得，从而得到然后设点M到 的距离为，点O到 的距离为，证明，利用，即可求解； （2）作的角平分线交 于点E，作线段的垂直平分线交 于点O， 于点M，则直线即为所求折痕． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∵ ∴ ∴ 设点M到 的距离为，点O到 的距离为， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 解得： 【小问2详解】 能，理由如下： 由（1）可得： 而 可得： 是的垂直平分线， ∴ ∴作的角平分线交 于点P，作线段的垂直平分线交 于点O，交 于点M，则直线即为所求折痕． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为 .点 为该抛物线上一点，其横坐标为. （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求点 到直线 的距离； （3）当时，设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为、，当时，求出的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合应用； （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）作轴，垂足为，连接， 作， 垂足为H，连接，根据 可得，然后根据平行可得，即可得到，设则，代入函数解析式求出a的值，得到点P的坐标，进而求出长，再利用解答即可； （3）过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E下方时，分别根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：由条件可得： ， 解得： ， ∴该抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：作轴，垂足为，连接， 作， 垂足为H，连接， ∵， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设则 ， 代入， 解得：或(舍去)， ∴， ， ∵，即 ， ∴点B到的距离为； 【小问3详解】 过点B作轴交抛物线于点E，此时点E与点B关于直线对称， ，如图所示： ①当时，最高点为点P，最低点为点B， 解得：(不合题意)：； ②当 时，最高点为点C，最低点为点B， ， 符合题意， ③当时，最高点为点C，最低点为点P， ∵， 或 解得：或或 ∵， 综上所述，m的取值范围为或 28. 如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ； （2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由； （3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值． 【答案】（1）45°； （2）如图3中， 在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC是等腰三角形， ∴∠PAC＝∠PCA， ∴∠DPC＝∠PAC+∠PPCA＝2∠PAC， ∵∠BAC＝2∠CAD， ∴∠BAC＝∠DPC， ∵∠BCA＝∠D， ∴△CBA∽△DCP， ∴△PAC是一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、“等腰邻相似三角形”的定义构建方程即可解决问题； （2）在线段AD上取一点P，使得PC＝PA，则△PAC即为所求； （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）如图2中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠D＝∠B＝45° ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AP＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC，∵∠BAC＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠CAP＝∠PCA， 在△ADC中，∠D+∠DCA+∠DAC＝180°， ∴3∠PCA＝135° ∴∠PCA＝45°． 故答案为45°． （2）略 （3）由题意△APC是等腰直角三角形， ∵△APC与△ABC，△ABC与△PCD相似， ∴△PDC，△ABC都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段AD上，∠ABC＝90°时，易证∠DAB＝90°，AB＝AP＝PD＝1，BD＝＝． 如图5中，当点P在线段AD上，∠BAC＝90°时，作BE⊥DA交DA的延长线于E．易知DE＝3，EB＝1，BD＝＝． 当∠ACB＝90°时，四边形ABCD不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，BD的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的BD的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学情况调研测试数学试题 注意事项： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.请将答案全部填写在答题卡上，在本试卷上答题无效. 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列有理数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线， 的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某几何体的主视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 5. 一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是( ) A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 6. 已知△ABC的周长为m，BC=m-2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（ ） A. △ABC的边BC上的中线所在的直线 B. ∠ACB的平分线所在的直线 C. △ABC的边AB的垂直平分线 D. △ABC的边AC上的高所在的直线 7. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 中，，，点 是 中点，点 在 上且，将线段 绕点 顺时针旋转得到线段 ，连接 ，则 的长为（　　） A. B. C. D. 二.填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 计算：___________． 10. 如果关于 的方程有实数根，那么 的取值范围是___________． 11. 某班名学生的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该班学生年龄的中位数为______． 年龄（岁） 人数（人） 12. 如图，已知 是 的内接三角形，若，则___________度． 13. 如图，将沿斜边向右平移得到， 与交于点H，延长 ， 交于点G，连结.若，，则的长为___. 14. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为________． 15. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________． 16. 如图，在正方形 中，E是对角线 上的一点，，连接 ．若，则的面积为________． 17. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 18. 如图1， 中，点D是边 的中点，点P从 的顶点A出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点Q是曲线部分的最低点，则 的长为___. 三.解答题（本大题共10小题，共84分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组并写出它的正整数解． 21. 如图，在四边形 中，，是边 的中点，．求证：四边形 是矩形． 22. 某校就“的知晓程度”对全校学生进行问卷测试.现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用 表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95. 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中　　　，　　　，　　　； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对的知晓程度更高?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有450名学生，九年级有500名学生，估计此次问卷测试中，这两个年级学生对 “非常了解”的共有多少名? 23. 小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负． （1）若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为 ； （2）求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率． 24. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若过点且平行于 轴的直线上有一动点 ，当的面积为时，求点 的坐标； （3）若，请直接写出关于 的不等式的解． 25. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天． （1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； （2）某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 26. 如图1，在纸片中，，将该纸片折叠，使得点C的对应点P落在 边上且，折痕为 ． 　 （1）若，求 的长； （2）请在图2中探究思考，用无刻度的直尺和圆规作出符合题意的折痕 ．（不需要写出作法，但要保留作图痕迹） 27. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为 .点 为该抛物线上一点，其横坐标为 . （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求点 到直线 的距离； （3）当时，设该抛物线在点 与点 之间（包含点 和点 ）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为、 ，当时，求出 的取值范围. 28. 如图1，在四边形ABCD中，AC为四边形对角线，在ACD的CD边上取一点P，连接AP，如果APC是等腰三角形，且ABC与APD相似，则我们称APC是该四边形CD边上的“等腰邻相似三角形”． （1）如图2，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，若APC是CD边上的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC，∠BAC＝∠DAP，则∠PCA的度数为 ； （2）如图3，在四边形ABCD中，若∠BCA＝∠D＝3∠CAD，∠BAC＝2∠CAD，请在图3中画出一个AD边上的“等腰邻相似三角形APC”，并说明理由； （3）已知RtAPC，若RtAPC是某个四边形ABCD的“等腰邻相似三角形”，且AP＝PC＝1，ABC与APC相似，求出对角线BD长度的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $