精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市伊州区哈密市第十五中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学试卷 一、单选题(每题5分，共8小题40分) 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部. 【详解】由可得：，故的虚部为. 故选:D． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可判断各选项的正误. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，C错； 对于D，，D错. 故选：B. 3. 下列命题正确的是（    ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 两条直线可以确定一个平面 D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质求解. 【详解】三个不共线的点可以确定一个平面，A错误； 一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误； 两条异面直线不能确定平面，C错误. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确. 故选：D. 4. 下列叙述正确是（ ） A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C. 边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是 D. 直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱台、棱锥、圆锥的结构特征判断ABD；利用斜二测画法规则计算判断C. 【详解】对于A，棱台的所有侧棱延长线交于一点，而有两个面平行且相似， 其他各个面都是梯形的多面体中，这些梯形的腰的延长线不一定交于一点，A错误； 对于B，底面是正多边形的棱锥顶点在底面上的射影不一定是正多边形中心，B错误； 对于C，由水平放置的平面图形直观图面积是原面积的， 得边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是，C正确； 对于D，以直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底面的圆锥构成的组合体，D错误. 故选：C 5. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用余弦定理求，即可得解. 【详解】由，令，则角最大， 由余弦定理得， 又，则， 所以这个三角形的最大角的弧度数为. 故选：A 6. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可. 【详解】由题意知， 因为，所以，，， 故选：D． 7. 在中，，其面积为，则三角形外接圆的直径等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过面积公式计算出，再由余弦定理求出，最后通过正弦定理求出外接圆直径. 【详解】 ， . 故选：B 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共3小题18分） 9. i为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出判断A；求出对应点坐标为判断B；求出判断C；求出判断D错. 【详解】因为，所以，A错； 因为，所以，对应点坐标为，位于第三象限，B正确； 因为，所以，C正确； 因为，，因为虚数不能比较大小，所以D错. 故选：BC. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若向量与的夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量数量积坐标运算，结合平面向量的夹角、投影向量及向量共线的坐标运算求解即可． 【详解】若，则，即，A选项正确； 若，，则，B选项错误； 若，，则向量在上的投影向量为，C选项正确； 若，，向量与的夹角为，D选项结论错误. 故选：AC 11. 中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A. 若是中线,则 B. 若是高,则 C. 若是角平分线,则 D. 若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【解析】 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共3小题15分） 12. 给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 【答案】（4） 【解析】 【分析】根据复数概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 13. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由球的体积得到半径，根据正三棱柱底面三角形内切圆半径与球的半径相等，可得底面边长，从而可得侧面积和体积. 【详解】设球的半径为r，则，得r＝2，所以正三棱柱的高为2r＝4．又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，设底面边长为a，则，解得， 所以底面正三角形的边长为，所以正三棱柱的侧面积， 体积． 故答案为：； 14. 如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为_________海里. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意分别在中，利用正弦定理，勾股定理和余弦定理求解即可． 【详解】由题可知，， ， 在中，，， 在中，， 在中，， 故， 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分） 15. 已知是复数，求 （1） （2）若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的运算律计算即可； （2）设，根据均为实数，可得，由复数在复平面内对应的点位于第三象限，可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 设， 因为为实数， 所以，故， 又为实数， 所以，故， 因为在复平面内对应的点位于第三象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知向量，向量 （1）若向量与向量平行，求实数的值； （2）若向量向量垂直，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的结论求参数. （2）根据向量的数量积为0求参数. （3）根据数量积的定义求向量夹角的余弦. 【小问1详解】 由题意得， 因为向量与向量平行，所以， 解得． 【小问2详解】 由题意得， 因为向量向量垂直，所以， 解得． 【小问3详解】 由题意得，， 所以，，， 所以向量与向量夹角余弦值为． 17. 如图所示，在四边形中，，，，，E为的中点，连接. （1）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积； （2）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先判断封闭几何体的结构，几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱，然后计算出该几何体的表面积和体积. （2）判断封闭几何体的结构，几何体为圆台，然后计算出该几何体的表面积和体积. 【小问1详解】 依题意，因为，，所以四边形是直角梯形， 又，，E为的中点， 所以，. 将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示， 几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱. 表面积为. 体积. 【小问2详解】 将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体为圆台， 上底面半径为，下底面半径为，高为2， 体积为. 表面积为. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理可得，再利用余弦定理即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式可解出的值.再结合及完全平方公式可得，代入题中条件即可求解； （3）由，利用辅助角公式可解出的值，利用三角形内角的关系可得的值，利用正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，，∴由正弦定理得，化简得， ∴由余弦定理可得. 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知. 因为的面积为，解得. 由（1）可得，所以，即， 所以，解得（舍去）. 【小问3详解】 由（1）知. 由，得. 因为，所以，所以，即. ， 由正弦定理可知. 19. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理可求边. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求三角形面积和周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理，可得： ， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由. 由余弦定理：， 所以. 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理：. 因为，当且仅当时取“”， 所以. 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 又，且，当且仅当时取“”， 所以. 所以， 所以周长的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学试卷 一、单选题(每题5分，共8小题40分) 1. 复数，则虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. B. C D. 3. 下列命题正确的是（    ） A. 三个点可以确定一个平面 B. 一条直线和一个点可以确定一个平面 C. 两条直线可以确定一个平面 D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体 4. 下列叙述正确的是（ ） A. 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B. 底面是正多边形棱锥是正棱锥 C. 边长为2水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是 D. 直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥 5. 在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A. B. C. D. 6. 如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A. 1 B. -1 C. D. 7. 在中，，其面积为，则三角形外接圆的直径等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3小题18分） 9. i为虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在上的投影向量为 D. 若向量与的夹角为钝角，则 11. 中,,点在线段上,下列结论正确是（） A. 若是中线,则 B. 若是高,则 C. 若是角平分线,则 D. 若,则是线段的三等分点 三、填空题（每题5分，共3小题15分） 12. 给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 13. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为________，体积为________． 14. 如图所示，小明在D处观测到A岛屿和B岛屿分别在D处的北偏西15°和北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测到B岛屿在C处的正北方向，A岛屿在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为_________海里. 四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分） 15. 已知是复数，求 （1） （2）若均为实数，且复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 16. 已知向量，向量 （1）若向量与向量平行，求实数的值； （2）若向量向量垂直，求实数的值； （3）求向量与向量夹角的余弦值． 17. 如图所示，在四边形中，，，，，E为的中点，连接. （1）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积； （2）将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知. （1）求角的值； （2）若，的面积为，求的值； （3）若，，求的值. 19. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$